具体描述
This book is meant as a text for a first-year graduate course in analysis. In a sense, the subject matter covers the same topics as elementary calculus - linear algebra, differentiation, integration - but treated in a manner suitable for people who will be using it in further mathematical investigations. The book begins with point-set topology, essential for all analysis. The second part deals with the two basic spaces of analysis, Banach and Hilbert spaces. The book then turns to the subject of integration and measure. After a general introduction, it covers duality and representation theorems, some applications (such as Dirac sequences and Fourier transforms), integration and measures on locally compact spaces, the Riemann-Stjeltes integral, distributions, and integration on locally compact groups. Part four deals with differential calculus (with values in a Banach space). The next part deals with functional analysis. It includes several major spectral theorems of analysis, showing how one can extend to infinite dimensions certain results from finite-dimensional linear algebra; a discussion of compact and Fredholm operators; and spectral theorems for Hermitian operators. The final part, on global analysis, provides an introduction to differentiable manifolds. The text includes worked examples and numerous exercises, which should be viewed as an integral part of the book. The organization of the book avoids long chains of logical interdependence, so that chapters are as independent as possible. This allows a course using the book to omit material from some chapters without compromising the exposition of material from later chapters.
作者简介
Serge Lang (May 19, 1927 – September 12, 2005) was a French-born American mathematician. He is known for his work in number theory and for his mathematics textbooks, including the influential Algebra. He was a member of the Bourbaki group.
Lang was born in Paris in 1927, and moved with his family to California as a teenager, where he graduated in 1943 from Beverly Hills High School. He subsequently graduated from the California Institute of Technology in 1946, and received a doctorate from Princeton University in 1951. He held faculty positions at the University of Chicago and Columbia University (from 1955, leaving in 1971 in a dispute). At the time of his death he was professor emeritus of mathematics at Yale University.
目录信息
读后感
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用户评价
《Real Analysis》这本书，它在我心中留下了深刻的烙印。作者以其渊博的学识和清晰的逻辑，将实数分析这一复杂而精妙的领域呈现在我面前。我尤其欣赏书中对“连续性”概念的深入剖析。从ε-δ定义到各种连续性的刻画，每一步都让我感受到数学的严谨与优美。作者并没有满足于给出定义，而是进一步探讨了连续函数在紧集上的性质，以及它们如何保持空间的结构。例如，书中对“一致连续”和“逐点连续”的区分，以及它们在函数逼近中的作用，让我印象深刻。作者的写作风格，与其说是“教授”，不如说更像是一位“向导”，他善于引导读者思考，鼓励质疑，并适时地提供关键线索。我常常会在阅读某个证明时，尝试自己去推导，或者对作者的证明进行变通，看看是否能得到其他的结果。这种积极参与的学习方式，让我对书中内容有了更深刻的理解和更牢固的记忆。这本书也让我看到了数学的内在逻辑和美感。作者对每一个概念的定义，对每一个定理的证明，都仿佛是精心雕琢的艺术品，充满了智慧的光芒。我会在阅读的过程中，想象这些抽象的概念在更广阔的数学领域中的应用，思考它们如何与其他分支学科相互影响，从而拓展我认知的边界。《Real Analysis》这本书，不仅为我提供了扎实的数学知识，更重要的是，它培养了我独立思考和解决问题的能力，也让我对数学这门学科产生了由衷的热爱。
评分拿到《Real Analysis》这本书，我脑子里首先浮现的是那些在午后阳光下，我独自一人坐在书桌前，与那些抽象的定义和精妙的证明搏斗的场景。这本厚重的书，不仅仅是纸张和墨水的集合，它更像是一扇通往数学深邃世界的窗户，让我得以窥见那些看似遥不可及的真理是如何被严谨地构建起来的。从一开始的实数集合的完备性，到后面层出不穷的收敛性、连续性、可微性，每一个概念都如同精心打磨的宝石，闪耀着智慧的光芒。我尤其喜欢作者对每一个定理的证明，它们并非冷冰冰的逻辑推演，而是充满了巧妙的构思和深刻的洞察。有时，一个看似微不足道的细节，却能成为整个证明的关键。阅读的过程，与其说是学习，不如说是一场与数学智慧的对话，我试图理解作者的思路，模仿他们的严谨，最终将这些抽象的概念内化成自己的理解。这本书让我明白，数学的美丽，不仅仅在于其结果的简洁和优雅，更在于其过程中展现出的无与伦比的逻辑力量和思维深度。每一次翻开它，都像是在进行一次智力上的探险，我总是带着一种期待，期待着被那些精巧的证明所折服，期待着在理解一个新概念后，能够欣喜地看到它如何与其他知识点融会贯通，构建起一个更为宏大的数学图景。这本书的语言风格也很值得称赞，虽然内容艰深，但作者的表述清晰而富有条理，很少有令人费解的歧义。即使是面对那些复杂的证明，我也能从中找到一条清晰的思路，不至于迷失在符号的海洋中。总而言之，《Real Analysis》不仅仅是一本教材，它更是我数学学习道路上一位不可或缺的伴侣，它塑造了我的思维方式，提升了我的逻辑能力，也让我对数学这门学科产生了更深层次的敬畏和热爱。
评分初次捧读《Real Analysis》，我便被其深邃的理论体系所震撼。作者以极其审慎的态度，引领我进入实数分析的奇妙世界。书中关于“可积性”的论述，尤其是对勒贝格积分的介绍，让我对“求和”与“积分”的理解达到了新的高度。不同于黎曼积分的直观性，勒贝格积分所展现出的普遍性和强大分析能力，让我为之折服。作者并没有直接抛出复杂的定理，而是循序渐进地引导读者理解测度的概念，然后通过对可测函数和可积函数的定义，逐步构建起勒贝格积分的理论框架。书中的证明，如同一幅幅精美的数学画卷，每一个步骤都环环相扣，严丝合缝。我曾在学习“单调收敛定理”时，反复揣摩作者的思路，试图理解为何这样一个看似简单的定理，却能在后续的推导中发挥如此重要的作用。这种对证明过程的深入剖析，不仅提升了我解决问题的能力，也让我看到了数学家们非凡的智慧。这本书的叙事方式也极具特色，作者并不像是在“教导”你，而更像是在与你“切磋”，他提出问题，引导你思考，并在你陷入困境时，适时地给予点拨。这种教学方式，让我始终保持着学习的积极性和主动性。每一次完成一个章节的学习，都像是在攀登一座新的高峰，我看到了更广阔的数学风景，也感受到了自身能力的提升。《Real Analysis》不仅是一本书，它更像是我在数学领域的一位启蒙者，引领我走向更深邃的知识海洋。
评分这本书，我必须说，它真正地挑战了我对数学的认知边界。从初识《Real Analysis》这本厚重的书时，我就明白这将是一段不平凡的旅程。作者以一种近乎艺术的方式，将实数分析这一领域最核心的概念——如测度、积分——展现在读者面前。我记得第一次接触勒贝格积分时，那种豁然开朗的感觉。相较于黎曼积分的繁琐和局限性，勒贝格积分以其优美的理论框架，彻底革新了我对“面积”和“求和”的理解。书中对单调收敛定理和控制收敛定理的详细阐述，让我看到了数学在处理无限过程时的强大能力。这些定理并非仅仅是抽象的公式，它们是数学家们智慧的结晶，是解决复杂问题的有力工具。我常常会在阅读过程中，将书中的概念与实际问题联系起来，思考它们在物理、工程等领域的应用。例如，书中对傅里叶级数的讨论，让我看到了数学分析在信号处理和图像识别等领域的关键作用。作者的写作风格，与其说是教授，不如说更像是一位引路人，他不会直接告诉你答案，而是通过精心设计的步骤，让你自己去发现和理解。这种“授之以渔”的方式，对我来说是一种宝贵的学习经历。每一次遇到难题，我都会尝试回忆书中的相关概念和证明思路，然后尝试自己去构建解决方案。这个过程虽然充满挑战，但每次的突破都让我收获满满。这本书不仅让我掌握了实数分析的知识，更重要的是，它培养了我独立思考和解决问题的能力，也让我更加热爱数学这门充满魅力的学科。
评分老实说，《Real Analysis》这本书的封面设计给我留下了深刻的印象，简洁而富有力量，仿佛预示着里面内容的严谨和深刻。当我真正开始阅读时，这种感觉得到了进一步的印证。从实数轴的构建开始，我就被书中对每一个概念的细致入微的讲解所吸引。作者并没有急于引入复杂的理论，而是循序渐进地引导读者理解每一个基本概念的含义和重要性。例如，关于集合的开集、闭集、紧集等概念，书中的阐释就显得尤为清晰，配以大量的例子，使得这些抽象的概念变得触手可及。我记得我在学习“上确界”和“下确界”的时候，曾经卡顿了很久，觉得它们不过是最大值和最小值的一种泛化，但这本书通过对柯西序列和巴那赫不动点定理等更深层次的讨论，让我明白了上确界和下确界在实数完备性中的核心作用。它让我意识到，数学的精妙之处往往体现在这些基础概念的严谨定义上，而正是这些定义，构成了后续一切复杂理论的基石。书中的证明部分，更是让我体会到了数学的魅力。作者并没有直接给出成品，而是像一位经验丰富的向导，带领我一步步地走向真相。我会反复推敲每一个推理步骤，感受其中逻辑的环环相扣，以及如何巧妙地利用已有的定义和定理来解决问题。这种过程，与其说是在学习知识，不如说是在锻炼思维，提升分析问题的能力。这本书也让我对“证明”这个概念有了全新的认识。它不仅仅是证明一个命题的正确性，更是展示了数学思维的严谨性和创造性。当我成功地独立完成一个证明时，那种成就感是无与伦比的。它让我看到了自己潜力，也让我对未来继续探索数学充满信心。
评分《Real Analysis》这本书，它在我心中留下了难以磨灭的印记。从它那质感细腻的封面开始，我就感受到了一种沉甸甸的学术分量。书中对于“收敛”这一核心概念的阐释，可以说是我阅读过的最清晰、最透彻的。作者并没有停留在简单的极限定义，而是深入探讨了序列的收敛性、函数的收敛性，以及它们在不同空间中的表现。特别是关于函数列和幂级数的逐点收敛与一致收敛的比较，让我深刻理解了两者之间的区别以及一致收敛的重要性。书中对“紧集”的性质的阐述，尤其是海涅-博雷尔定理，更是让我看到了数学的内在逻辑和优雅。作者通过精巧的证明，将看似复杂的概念巧妙地联系起来，展现了数学严谨而又富有创造力的一面。我常常会在阅读一个证明时，停下来思考作者的思路，尝试理解每一步推理背后的逻辑。这种主动学习的方式，让我对书中内容有了更深刻的理解和记忆。这本书也让我意识到，数学并非枯燥乏味的数字游戏，而是一门充满智慧和艺术的学科。书中对各种数学对象的定义和性质的细致描述，以及它们之间相互关联的方式，都让我感受到了一种数学之美。我会在阅读的过程中，想象这些抽象的概念在更广阔的数学世界中的应用，思考它们如何与其他分支学科相互影响。总而言之，《Real Analysis》这本书为我提供了一个坚实的数学基础，也让我对未来的数学学习充满了期待。
评分《Real Analysis》这本书，是我数学学习道路上一座重要的里程碑。它的内容之丰富、论证之严谨，让我对其充满了敬畏。作者在讲解“拓扑”这一概念时，下了极大的功夫，从基本的邻域、开集、闭集，到更复杂的连通集、紧集，每一步都设计得恰到好处，让你在不知不觉中就掌握了理解和运用拓扑概念的精髓。更令人惊叹的是，书中并没有止步于表面的理解，而是深入探讨了序列的收敛性、函数的连续性，以及它们之间微妙而深刻的联系。我曾为“度量空间”和“拓扑空间”的区别而苦恼，但通过书中精心设计的例子和证明，我终于拨开了迷雾，明白了它们在不同数学情境下的重要性。这本书的语言风格也十分独特，既有学术的严谨，又不失一丝人文的关怀。作者似乎在用一种对话的方式与读者交流，引导你思考，鼓励你质疑，并在你困惑的时候给予恰当的提示。我常常会在阅读过程中停下来，反复咀嚼某些段落，试图从中挖掘出更深层的含义。这种沉浸式的阅读体验，让我在学习过程中感受到了前所未有的乐趣。书中的习题设计也十分有挑战性，它们并非简单的计算练习，而是需要你运用书中所学的概念和证明技巧来解决。每一次成功地解出一道难题，都让我对自己的能力有了新的认知，也让我对数学这门学科充满了探索的渴望。这本书为我打开了一扇认识实数世界的大门，让我看到了数学逻辑之美，也让我体会到严谨思维的力量。
评分《Real Analysis》这本书，在我看来，它不仅仅是一本学术著作，更是一次思想的启蒙。作者以极其严谨的笔触，为我描绘了实数分析的宏伟蓝图。我尤其被书中对“收敛性”的深入探讨所吸引。从序列的收敛到函数的收敛，再到级数的收敛，每一个概念都被作者剖析得淋漓尽致。我记得初次接触“一致收敛”时，对其与“逐点收敛”的区别感到困惑，但通过书中大量精心设计的例子，以及对一致收敛在极限运算中的重要作用的论证，我终于拨开了迷雾。作者的写作风格，既有严谨的逻辑推导，又不乏生动的语言描绘，让那些抽象的概念变得不再枯燥。我常常在阅读一个证明时，会尝试在脑海中构建一个直观的画面，或者将书中的概念与我所知的其他知识点进行类比，试图从中找到更深层次的联系。这种主动思考的学习方式，让我对数学的理解不再局限于表面的公式和定理，而是能够触及到其内在的逻辑和思想。书中的习题设计也极具挑战性，它们并非简单的计算题，而是需要你运用所学的概念和证明技巧来独立解决。每一次成功地攻克一道难题，都让我感到无比的欣喜和自信，也让我对数学这门学科的热爱更加深厚。《Real Analysis》这本书，为我构建了一个坚实的数学基础，也让我对未来更广阔的数学世界充满了探索的渴望。
评分《Real Analysis》这本书，在我看来，是一场关于数学思维的深度洗礼。它以一种令人敬畏的方式，将原本抽象的数学概念具象化，并以严谨的逻辑链条将其一一串联。我特别欣赏作者在讲解“极限”这个概念时所下的功夫。从ε-δ语言的引入，到各种极限存在的判定方法，每一步都设计得恰到好处，让你在不知不觉中就掌握了理解和运用极限的精髓。更令人惊叹的是，书中并没有止步于表面的理解，而是深入探讨了序列的收敛性和函数的连续性，以及它们之间微妙而深刻的联系。我曾为“一致连续”和“逐点连续”的区别而苦恼，但通过书中精心设计的例子和证明，我终于拨开了迷雾，明白了它们在实际应用中的重要性。这本书的语言风格也十分独特，既有学术的严谨，又不失一丝人文的关怀。作者似乎在用一种对话的方式与读者交流，引导你思考，鼓励你质疑，并在你困惑的时候给予恰当的提示。我常常会在阅读过程中停下来，反复咀嚼某些段落，试图从中挖掘出更深层的含义。这种沉浸式的阅读体验，让我在学习过程中感受到了前所未有的乐趣。书中的习题设计也十分有挑战性，它们并非简单的计算练习，而是需要你运用书中所学的概念和证明技巧来解决。每一次成功地解出一道难题，都让我对自己的能力有了新的认知，也让我对数学这门学科充满了探索的渴望。这本书为我打开了一扇认识实数世界的大门，让我看到了数学逻辑之美，也让我体会到严谨思维的力量。
评分拿到《Real Analysis》这本书，我便知道这将是一场关于智力的马拉松。作者以一种令人肃然起敬的态度，将实数分析的精髓一一展现。书中的“测度论”部分，尤其让我印象深刻。从简单的长度、面积概念，到更抽象的测度，再到勒贝格积分，每一步都充满了数学的创造力和严谨性。我记得在学习“可测函数”时，曾经感到一丝困惑，但作者通过大量的例子，特别是关于判别函数是否可测的方法，让我逐渐拨开了迷雾。书中对“概率”这一概念的数学化处理，也让我看到了实数分析在统计学领域的强大应用。作者对每一个定理的证明都力求严谨，但又不失清晰易懂。他善于运用类比和直观的解释，帮助读者理解那些抽象的概念。我常常会在阅读过程中，尝试自己去构建证明，或者对作者的证明进行变体思考。这种主动参与的模式，极大地提升了我的学习效率和对数学的理解深度。这本书的语言风格也十分独特，既有学术的严谨，又不失一丝人文的关怀。作者似乎在用一种对话的方式与读者交流，引导你思考，鼓励你质疑，并在你困惑的时候给予恰当的提示。我常常会在阅读过程中，停下来反复咀嚼某些段落，试图从中挖掘出更深层的含义。这种沉浸式的阅读体验，让我在学习过程中感受到了前所未有的乐趣。总而言之，《Real Analysis》这本书为我打开了一扇认识实数世界的大门，让我看到了数学逻辑之美，也让我体会到严谨思维的力量。
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