Combinatorial Theory (Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons

作者:Marshall, Jr. Hall

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1986-04

价格:USD 151.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780471091387

丛书系列:

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 图论
• 排列组合
• 数学
• Wiley
• 组合优化
• 算法
• 数学基础
• 高等数学

Combinatorial Theory (Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics) 图书简介 本书深入探讨了组合数学的核心概念、经典理论及其在现代数学和相关领域的广泛应用。作为“Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics”系列的一部分，本书旨在为读者提供一个全面而严谨的组合学知识体系，尤其侧重于计数原理、图论、设计理论以及离散结构的研究。 本书的结构设计旨在引导初学者逐步深入到更复杂的理论前沿，同时为有经验的研究人员提供详实的参考资料。全书内容丰富，逻辑清晰，力求在理论深度与实用性之间取得完美的平衡。 --- 第一部分：基础与计数原理 本部分奠定了组合学的理论基础，重点关注如何精确地计算离散对象的数量。 1. 集合论与基本计数工具 首先回顾了集合论的基础知识，这是所有离散结构分析的基石。随后引入了基本的计数原理：和值原理（Sum Rule）和乘积原理（Product Rule）。这些看似简单的工具是解决复杂组合问题的出发点。 2. 排列与组合的精细分析 详细探讨了排列（Permutations）和组合（Combinations）的各种形式，包括带有重复元素的排列、循环排列以及特定约束条件下的排列组合问题。特别强调了二项式系数（Binomial Coefficients）的性质、帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）的结构以及它们在二项式定理（Binomial Theorem）中的应用。 3. 容斥原理（The Principle of Inclusion-Exclusion, PIE） 容斥原理是组合计数中的一个强大工具，用于处理具有“至少一个”或“没有”特定性质的对象的计数问题。本书详细阐述了该原理的理论基础，并通过大量实例（如错排问题、抽屉原理的推广）展示了其强大的解决能力。 4. 生成函数（Generating Functions） 生成函数被视为一种将离散序列转化为连续函数的强大代数工具。本书深入讲解了普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OGFs）的构建、运算（加法、乘法、复合）及其在求解线性递推关系（如斐波那契数列）中的应用。同时，探讨了指数生成函数（Exponential Generating Functions, EGFs）在处理带标签对象计数问题中的独特优势。 5. 递推关系（Recurrence Relations） 系统性地分析了一阶和高阶线性齐次与非齐次递推关系，展示了如何利用特征方程法求解封闭形式。通过与生成函数的结合使用，读者将掌握处理复杂序列定义的全面方法。 --- 第二部分：图论基础与应用 图论是组合学的核心分支，本书用大量篇幅系统介绍了图论的基本概念、结构和关键算法。 1. 图的基本概念与表示 定义了图（Graphs）、有向图（Digraphs）和无向图，阐述了邻接矩阵（Adjacency Matrix）和关联矩阵（Incidence Matrix）等表示方法。详细讨论了图的度数、子图、同构等基本概念。 2. 连通性与路径 分析了图的连通性、割点（Cut Vertices）和桥（Bridges）。重点研究了欧拉路径（Eulerian Paths）和哈密顿回路（Hamiltonian Cycles）的存在性条件，并引入了相关的必要和充分条件（如欧拉定理）。 3. 树（Trees） 树作为无环连通图，在计算机科学和网络结构中占据重要地位。本书详细讨论了树的性质，并深入讲解了生成树（Spanning Trees）的概念。关键内容包括普鲁弗序列（Prüfer Sequences）及其与带标签树计数的联系，以及基尔霍夫定理（Kirchhoff's Theorem）在计算生成树数量中的应用。 4. 图的着色问题 图着色是组合优化中的经典问题。本书介绍了图的色数（Chromatic Number）、边着色（Edge Coloring）和面着色（Face Coloring）。重点分析了四大颜色猜想（Four Color Theorem）的历史背景和图论证明思路，并探讨了柏奇定理（Brooks' Theorem）等关键结果。 5. 平面图与欧拉公式 专门章节用于介绍平面图（Planar Graphs）、库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）对平面图的刻画，以及著名的欧拉公式 $V - E + F = 2$ 及其在推导不等式和证明图论性质中的应用。 --- 第三部分：结构设计与极值组合学 本部分转向更具结构性的组合对象，探讨了如何系统地设计满足特定要求的结构，以及在最坏情况下可能达到的最优结果。 1. 设计理论（Design Theory） 设计理论关注如何布置实验、安排日程或构造代数组合结构。书中详细介绍了平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Block Designs, BIBDs）的结构、参数和存在性条件。此外，也覆盖了有限射影平面（Projective Planes）和仿射平面（Affine Planes）等代数结构。 2. 组合优化与极值问题 此部分聚焦于寻找组合对象集合中最大或最小的实例。 Ramsey Theory (拉姆齐理论): 介绍了拉姆齐数的概念，阐述了“完全的无序是不可能的”这一核心思想，并探讨了经典结果如 $R(3, 3)$ 和 $R(4, 4)$ 的界限。 Erdős-Szekeres 定理: 讨论了序列中的单调子序列问题。 Turán 定理: 极值图论的基石之一，用于确定一个不包含特定子图（如 $K_r$）的最大图的大小。 3. 匹配与网络流 本章将组合学与图论中的算法分析相结合。介绍了二分图（Bipartite Graphs）中的完美匹配（Perfect Matching）问题。重点阐述了霍尔婚姻定理（Hall's Marriage Theorem）作为匹配存在性的充要条件。随后，引入了最大流最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）及其在解决二分匹配、网络可靠性等问题中的应用。 --- 第四部分：高级主题与现代连接 最后一部分将读者带入组合学的前沿领域，展示其与其他数学分支的交叉。 1. 概率组合学（Probabilistic Combinatorics） 本书强调了概率方法在证明组合存在性时的重要性，尤其是概率方法（The Probabilistic Method）。通过对随机变量的期望和概率的分析，可以证明某些结构的存在性，即使无法直接构造它们。 2. 编码理论简介 简要介绍了组合学在信息论中的应用，如汉明码（Hamming Codes）和分组码的基础知识，展示了组合结构如何用于设计具有纠错能力的系统。 3. 代数组合学基础 探讨了组合对象与代数结构（如群论）之间的深刻联系，例如使用Burnside's Lemma或Polya Enumeration Theorem来解决具有对称性的计数问题。 --- 目标读者 本书适合于数学、计算机科学、工程学、统计学及物理学等领域的高年级本科生、研究生以及希望深入研究离散数学的专业人士。对微积分和线性代数有基本了解的读者将能最佳地掌握本书内容。 通过对这些核心主题的全面覆盖，本书不仅提供了坚实的理论基础，更培养了读者运用组合思维解决复杂离散问题的能力。

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