Elementary probability theory with stochastic processes (Undergraduate texts in mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Kai Lai Chung

出品人:

页数:325

译者:

出版时间:1974

价格:USD 12.00

装帧:Unknown Binding

isbn号码:9780387900964

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• Probability
• Stochastic Processes
• Mathematics
• Undergraduate Text
• Probability Theory
• Random Processes
• Measure Theory
• Mathematical Statistics
• Probability Distributions
• Statistical Inference

好的，这是一本名为《高等数学分析：从极限到测度论》的图书简介，内容旨在为读者提供一个扎实且深入的数学分析基础，涵盖从微积分核心概念到现代分析学前沿的知识体系。 --- 《高等数学分析：从极限到测度论》 内容概要 本书旨在为数学、物理学、工程学及相关学科的高年级本科生和研究生提供一个全面、严谨且富有洞察力的数学分析基础。我们不再满足于微积分课本中直观的“证明”和“计算”，而是深入探究极限、连续性、微分和积分背后的深刻结构与理论基础。全书结构清晰，从经典分析的基石——实数系统与 $epsilon-delta$ 论证出发，逐步构建起现代分析学的宏伟蓝图，最终导向测度论和勒贝格积分的理论框架。 第一部分：实数系统与拓扑基础 本部分致力于为后续的分析奠定坚实的逻辑基础。我们从实数的构造开始，采用戴德金截或柯西序列等方法，严谨地建立起完备的实数域 $mathbb{R}$。这不仅是形式化的练习，更是理解收敛性本质的关键。 随后，我们进入拓扑空间的讨论，这是理解“邻域”和“收敛”的通用语言。我们将详细介绍拓扑空间的定义、开闭集、紧致性（以及 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 中的体现）、连通性等核心概念。紧致性和完备性的引入，为后续处理函数空间中的极限问题提供了必要的工具。 第二部分：经典分析的严谨性重塑 在拓扑基础之上，本部分对微积分中的核心概念进行重新审视和严密化。 序列与级数： 我们将深入探讨收敛性的各种判别法，重点分析函数项级数的均匀收敛性，以及均匀收敛性与逐点收敛性的关键区别（例如，连续函数列的极限不一定连续）。 连续函数： 连续性的定义将被提升到拓扑空间的框架下，讨论函数的开闭集保持性。我们将详细分析在紧致集上的连续函数的性质，如最大值原理和一致连续性。 微分学： 导数的定义被推广至函数空间中的方向导数和全微分。我们深入探讨了中值定理的严谨证明，并详细分析了 $C^k$ 类的性质。在 $mathbb{R}^n$ 中，反函数定理和隐函数定理的证明构成了本节的高潮，它们是理解微分几何和隐式定义的关键。 黎曼积分的局限： 黎曼积分的定义将被精确回顾，并着重讨论其局限性——尤其是在处理不规则函数序列的极限时。这将自然地引出下一部分对更强大积分工具的需求。 第三部分：泛函分析的序章——赋范线性空间 在这一过渡部分，我们开始将分析的视野从具体的 $mathbb{R}^n$ 推广到抽象的函数空间。 赋范空间： 我们引入范数的概念，定义赋范线性空间。这使得距离和收敛的概念可以应用于函数本身。 完备性： 巴拿赫空间的引入是现代分析的核心。完备性保证了柯西序列总能收敛到空间内的一个点，这对于许多迭代方法和极限交换的有效性至关重要。我们将探讨 $C[a,b]$ 和 $L^p$ 空间的初步性质。 线性算子： 初步探讨有界线性算子的概念，及其在函数空间中的作用，为后续的泛函分析奠定基础。 第四部分：测度论与勒贝格积分的革命 本部分是全书的核心，它彻底革新了我们对“可积性”的理解，并为概率论、傅里叶分析和偏微分方程提供了坚实的分析基础。 从可数集到可测集： 我们首先定义外测度，并利用 Carathéodory 定理构建出 $sigma$-代数和勒贝格测度。集合的“大小”概念被提升到一个更高的抽象层次。 可测函数： 定义可测函数，它们是使得我们可以安全地进行函数运算和取极限的对象。我们证明了简单函数的稠密性。 勒贝格积分： 勒贝格积分的定义基于对可测函数的逼近。本书将清晰地展示勒贝格积分与黎曼积分的关系（即黎曼可积函数必然勒贝格可积，且积分值相同）。 三大收敛定理： 本部分的理论支柱——单调收敛定理 (MCT)、法图引理 (Fatou's Lemma) 和 占优收敛定理 (DCT) 将被严格证明。这些定理是分析中交换极限与积分顺序的强大工具，也是本书区别于传统微积分教材的关键所在。 Lp 空间： 重新审视 $L^p$ 空间，讨论其完备性（即 $L^p$ 是巴拿赫空间），并介绍闵可夫斯基不等式和赫尔德不等式，这些是泛函分析和概率论中处理函数空间的重要不等式。 读者对象与特点 本书适合已经学完标准微积分课程，希望进入更深层次数学学习的学生。它不仅是关于“计算什么”的指南，更是关于“为什么这些工具是必要的”的哲学探讨。 本书的特点包括： 1. 严谨性优先： 每一个定理的证明都力求完整和清晰，注重逻辑链条的完整性。 2. 概念的统一性： 强调拓扑学和泛函分析的思想如何统一处理不同类型的收敛问题。 3. 从具体到抽象的过渡： 确保读者能够理解从 $mathbb{R}$ 上的 $epsilon-delta$ 语言，到抽象测度空间上的收敛理论的自然演进。 4. 丰富的例题与习题： 每章末尾精心设计的习题，从计算验证到理论探索，旨在巩固和拓展读者的理解深度。 通过研读本书，读者将获得驾驭现代高等数学和理论物理研究所需的分析技能，并为更高级的领域如调和分析、随机过程理论打下坚不可摧的基础。

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