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出版者:陕西西北工业大学

作者:任保文

出品人:

页数:76

译者:

出版时间:2006-6

价格:8.00元

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isbn号码:9787561220610

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《空间几何的语言：探索三维世界的奥秘》 在浩瀚的宇宙中，无数肉眼可见或不可见的现象，从星辰的运转到微观粒子的互动，从地球的磁场到流体的运动，无不遵循着一套严谨而优美的数学规律。要理解并驾驭这些规律，我们必须掌握一门能够精确描述和分析三维空间中各种“场”及其相互作用的语言。本书《空间几何的语言：探索三维世界的奥秘》正是这样一本致力于揭示这门语言精髓的著作，它将带领读者深入领略数学在描绘和理解我们所处空间中的各种分布量（如温度、压力、电场、磁场、引力场等）及其变化的强大力量。 本书并非对特定物理学分支的浅尝辄止，而是聚焦于驱动这些分支理解的底层数学工具——向量分析和微分几何。我们将从最基础的向量概念出发，逐步构建起理解和操作多维空间中数量和向量场的方法。这意味着，无论您是物理学、工程学、计算机科学，还是其他需要处理空间问题的领域的探索者，本书都将为您提供坚实的概念基础和灵活的应用技巧。 第一部分：向量的基石——绘制空间蓝图 我们首先将建立对向量这一核心概念的深刻认识。向量不仅仅是带有方向的箭头，更是承载信息的多功能数学实体。本书将详细阐述向量的代数运算，包括加法、减法、标量乘法，以及点积（内积）和叉积（外积）。通过丰富的几何和代数解释，读者将理解点积如何度量向量间的夹角和投影，以及叉积如何产生一个垂直于原向量的新的向量，并揭示其在计算面积和判断向量共面性等问题中的应用。 接着，我们将引入坐标系的概念。从最熟悉的笛卡尔坐标系，到更灵活的极坐标系、柱坐标系和球坐标系，本书将详细介绍它们之间的转换方法。更重要的是，我们将探讨如何将向量的运算和概念在这些不同的坐标系中进行表达和推广，这对于处理实际问题中各种形状和对称性的场景至关重要。 本书还将深入探讨向量函数的概念。当一个向量的各个分量都依赖于一个或多个参数时，它就构成了向量函数。我们将学习如何对向量函数进行求导和积分，这在描述粒子在空间中的运动轨迹、计算曲线的长度等方面发挥着关键作用。曲线的切线向量、法向量以及曲率等几何性质，都将通过向量函数的分析得到清晰的揭示。 第二部分：场论的脉络——洞察空间分布的规律 在打下坚实的向量基础后，我们将正式步入场论的殿堂。场，本质上是空间中各点都赋予一个数量或向量值的函数。本书将聚焦于两种核心的场：标量场和向量场。 标量场，例如空间中的温度分布、大气压力分布、或者物体密度分布，其特点是空间中的每一点都对应着一个唯一的数值。我们将学习如何描述和分析标量场，例如如何找到等温线、等压线，以及理解标量场的变化率。 向量场则更加丰富，例如风速场、电场、磁场、引力场，它意味着空间中的每一点都对应着一个向量。我们将深入研究向量场的基本性质，理解场的方向和大小如何随空间变化。 本书的核心内容之一将是梯度（Gradient）。梯度是描述标量场在某一点上变化最快方向和变化率的向量。我们将详细解析梯度的几何意义和代数计算，并阐述其在最优化问题、物理学中的势能梯度等方面的广泛应用。通过梯度，我们能够“感知”标量场的高低起伏，找到其“坡度”最陡的路径。 接下来，我们将探讨散度（Divergence）。散度衡量的是向量场在某一点“发散”或“汇聚”的程度。正散度意味着该点是向量场的“源”，负散度意味着该点是向量场的“汇”（或“阱”），零散度则表示该点向量场既不发散也不汇聚。本书将通过直观的流体模型等例子，帮助读者理解散度的物理含义，并学习其在描述流体流动、电荷分布等问题中的重要性。 旋度（Curl）是本书另一项核心内容。旋度衡量的是向量场在某一点“旋转”的程度。它表示向量场在某一点附近是否具有“涡旋”的性质。本书将通过水流的涡旋等例子，生动地展示旋度的概念，并探讨其在描述磁场、流体涡旋等现象中的应用。 第三部分：积分的深度——度量和累加空间的信息 理解了场的局部性质后，我们需要掌握如何对场进行积分，以获取其在整个空间或某一部分上的整体信息。本书将系统介绍不同类型的场积分： 线积分（Line Integral）：沿着一条曲线对标量场或向量场进行积分。这可以用来计算沿曲线运动物体所做的功（向量场，如力场），或者计算曲线的总质量（标量场，如密度）。我们将学习如何参数化曲线，并计算沿着曲线的线积分。 面积分（Surface Integral）：在曲面上对标量场或向量场进行积分。这可以用来计算通过曲面的总流量（向量场，如流速场或电场），或者计算曲面的总质量（标量场，如表面密度）。本书将详细介绍曲面的参数化方法以及如何进行面积分。 体积分（Volume Integral）：在三维区域内对标量场或向量场进行积分。这可以用来计算一个区域内的总质量（标量场，如密度），或者计算一个区域内的总电荷（向量场，如电荷密度）。 第四部分：核心定理——连接局部与整体的桥梁 在掌握了积分的工具后，本书将隆重介绍场论的几个核心定理，这些定理是连接场在局部性质（如梯度、散度、旋度）与场在整体积分之间的关键桥梁，极大地简化了计算和深化了理解。 格林公式（Green's Theorem）：它将平面上的线积分与二重积分联系起来。本书将介绍其在二维平面上的应用，以及如何利用它来简化曲线积分的计算。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）：这是格林公式在三维空间中的推广，它将一个向量场在某曲面上的面积分与其在该曲面边界上的线积分联系起来。我们将深入理解斯托克斯公式的几何意义，并展示其在计算磁场环路积分等问题中的强大威力。 高斯公式（Gauss's Theorem，也称散度定理）：它将一个向量场在某闭合曲面上的面积分与其在曲面所包围区域内的散度之积的体积分联系起来。高斯公式是理解电场、引力场等与源项直接相关的物理量的基石，我们将详细解析其物理含义和数学推导。 第五部分：应用与拓展——数学语言在现实世界的回响 为了巩固所学知识，本书的最后部分将展示向量分析和场论在各个领域的经典应用。我们将看到如何利用这些数学工具来： 描述和分析电磁场：理解电场线、磁感线，计算电势和磁势，以及利用麦克斯韦方程组的微分形式来刻画电磁场的行为。 理解流体力学：分析流体的速度场、压力场，计算流体的涡量和散度，理解伯努利方程等基本原理。 探索引力场：运用牛顿万有引力定律，计算引力势和引力场强度，理解行星轨道运动等。 应用于计算机图形学：例如，光照模型的计算、曲面渲染、物理模拟等。 在工程领域：热传导、结构力学、信号处理等。 本书的写作风格将力求清晰、严谨且富有启发性。我们将避免晦涩的术语，并通过大量的图示和具体的例子来帮助读者理解抽象的数学概念。每章都将配有精心设计的练习题，涵盖从基础计算到概念应用的不同难度，以帮助读者巩固和检验学习成果。 《空间几何的语言：探索三维世界的奥秘》旨在为读者构建一个坚实的数学框架，让您能够以更深刻、更系统的视角去观察、理解和改造我们所处的三维世界。这本书不仅仅是数学公式的堆砌，更是开启探索宇宙奥秘的钥匙，是理解自然界无数现象的通用语言。无论您是初学者还是希望加深理解的进阶者，都将在这趟数学之旅中获得丰富的收获。

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这部著作，初捧于手，便觉分量不凡，纸张的触感温润而扎实，装帧设计素雅大气，透露着一股严谨的学风。我原本是带着对经典理论的敬畏之心来翻阅的，期待能在这浩瀚的数学海洋中找到指引航向的灯塔。然而，实际的阅读体验却远超预期。书中对基础概念的阐述，如同涓涓细流，层层递进，毫不含糊。尤其是关于偏微分方程在物理学中的应用部分，作者似乎有着化繁为简的魔力，将那些看似高不可攀的公式，通过精妙的几何直观和贴切的物理图像，化解成了触手可及的知识点。例如，它对柯西黎曼方程的几何意义的剖析，以及如何利用格林函数来解决边界值问题，都展现了作者深厚的学术功底和卓越的教学能力。合上书本，感觉胸中的丘壑已然开阔，那种豁然开朗的喜悦，是任何速成秘籍都无法给予的。它更像一位循循善诱的良师，引导你一步步攀登知识的高峰，而非简单地喂食既成的结论。这种沉浸式的学习体验，让人甘之如饴，也让我对后续的学习充满了信心。我尤其欣赏作者在例题选择上的独到眼光，每一个案例都恰到好处地印证了前文的理论，没有一丝赘余，却又涵盖了核心的要点。

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这本书的排版和设计，简直是教科书界的典范。通常，过于专业的理工科书籍，为了追求信息密度，往往在版式上显得拥挤不堪，阅读起来如同在迷宫中摸索。然而，这部作品却显得格外清爽透气。页边距的留白恰到好处，使得读者在演算或做笔记时，有足够的空间。公式的编号清晰有序，图表的绘制更是精美绝伦，那些复杂的向量场流线图，不仅准确无误，而且充满了动态的美感。我特别关注了其中的符号约定，这往往是造成初学者困惑的元凶之一。作者在这方面做得极其细致，开篇就用专门的章节对全书统一使用的符号系统进行了详尽的解释和标注，极大地降低了阅读初期的认知负荷。这绝不是一本随随便便编纂的讲义，它体现了一种对知识的尊重，以及对读者学习体验的深切关怀。当我把这本书放在书架上时，它不仅仅是一本工具书，更像是一件值得收藏的艺术品，它的存在本身就象征着对严谨学术的追求。

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如果用一个词来形容这本书带给我的感受，那就是“系统性”。我曾阅读过好几本关于类似主题的教材，它们往往侧重于某一特定应用领域，或者在数学工具的介绍上有所偏颇，导致知识体系支离破碎。这部作品则像是构建了一个完整的知识生态系统，从最基础的向量代数出发，稳步地搭建起微分几何、变分原理和广义相对论的理论基础，所有的章节都如同精心设计的齿轮，紧密咬合，驱动着整个理论框架向前运转。它最大的优点在于，它不仅告诉你如何计算，更重要的是，它构建了一个理解物理世界运作模式的思维框架。阅读过程中，我不断地停下来思考，作者是如何将看似不相关的概念——比如保守场、环流量与线积分——巧妙地串联起来的。这种全局观的建立，对于那些希望未来从事理论研究的人来说，是至关重要的。它培养的不是解题机器，而是能够独立构建理论模型的思想家。

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这本书的文字风格，我必须用“凝练而富有韵味”来形容。它没有冗余的叙述和空泛的赞美，每一个句子都像经过了千锤百炼的黄金，沉甸甸的，信息量巨大。作者的笔触老辣而自信，尤其是当他需要快速过渡到一个复杂的新概念时，往往寥寥数语，便能勾勒出其核心要义，留给读者思考的空白。这种“留白”的艺术，极大地激发了读者的主动探索欲。我深知，好的教材应当是引导者而非填鸭者，而这部作品恰恰做到了这一点。它要求读者积极参与到知识的构建过程中，而不是被动接受。我曾多次因为一个巧妙的措辞而停笔沉思良久，比如对“场”这一概念的定义，作者给出了一个极具洞察力的描述，这个描述甚至超越了我之前接触过的任何定义。对于那些追求知识深度而非表面光鲜的严肃学习者来说，这本书无疑是一份宝藏，它需要投入时间去品味，去反复研读，但每一次的回访，都会带来新的领悟。

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说实话，这本书的阅读过程是一场对心智耐力的严峻考验，但它所带来的回报却是无可估量的精神财富。我并非初学乍练之辈，对相关领域已有一定的涉猎，但本书的深度和广度依然令我感到震撼。它没有回避那些晦涩难懂的数学证明，反而将其视为构建理论大厦不可或缺的基石，进行了详尽而清晰的推导。我花了数个下午，反复咀嚼书中关于张量分析的章节，特别是那些关于协变导数和里奇张量的论述，每当感觉思绪即将涣散时，作者总能用一句精炼的总结将我的注意力重新拉回。这种对细节的极致追求，使得即便是最抽象的概念，也变得有迹可循。更值得称道的是，书中对不同数学工具在物理现象描述中的适用边界的探讨，这超越了单纯的“是什么”和“怎么做”，深入到了“为什么选择这个工具”的哲学层面。每次攻克一个难点，我都仿佛能听到知识在脑海中相互连接、碰撞出火花的声响，这种智力上的成就感，是其他娱乐活动难以比拟的。它强迫你慢下来，用最虔诚的态度去对待每一个符号和每一个假设。

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