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出版者:冶金工业出版社

作者:刘春凤

出品人:

页数:175

译者:

出版时间:2006-4

价格:26.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787502439286

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 数值方法
• 科学计算
• 算法
• 数学
• 高等数学
• 工程计算
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• MATLAB
• 教程

《计算方法与算法基础》 本书旨在为读者提供一套系统扎实的计算方法和算法基础。我们深入浅出地探讨了数值计算的核心原理，并通过大量精心设计的实例，引导读者理解算法的构建、分析与实现。全书涵盖了从基础的数值误差分析到复杂的多维数值积分等广泛内容，力求让读者在掌握理论知识的同时，也能熟练运用计算工具解决实际问题。 第一部分：数值计算的基石 本部分将带领读者走进数值分析的奇妙世界，理解计算机在处理连续数学问题时所面临的挑战，以及如何通过数值方法来克服这些挑战。 引言：数字时代的计算思维 为何需要数值分析？从现实世界中的问题出发，例如天气预报、金融建模、工程设计等，阐述数值计算在现代科学技术中的不可或缺性。 数值分析的基本概念：精确解与近似解，数值误差的来源（截断误差、舍入误差），误差的衡量标准（绝对误差、相对误差）。 数值计算的常用工具：介绍本书将主要使用的编程语言（例如Python）及其在科学计算领域的优势，以及相关的库（如NumPy, SciPy）的基本用法。 第一章：数据的表示与误差分析 浮点数的表示：深入理解计算机如何存储和处理实数，包括二进制表示、规格化、指数和尾数。 数值误差的量化与传播：如何分析误差在运算过程中的累积和放大效应，以及如何选择数值稳定性好的算法。 误差的控制策略：讨论如何通过选择合适的算法、提高精度或采用特殊技巧来减小误差的影响。 第二章：方程的求根 单变量方程的根：介绍几种经典的求根方法，包括二分法、不动点迭代法、牛顿法（Newton-Raphson法）和割线法。 方法的比较与选择：分析不同方法的收敛速度、收敛域、计算复杂度以及对初值敏感度等，帮助读者选择最适合特定问题的算法。 多重根与复数根的求解：探讨如何处理具有重根或复数根的方程，并介绍相应的数值算法。 实例分析：通过求解实际问题中的方程，如曲线与坐标轴的交点、物理模型中的平衡点等，巩固所学知识。 第二部分：线性代数与函数逼近 线性代数是许多科学和工程领域的基础，本部分将重点关注如何用数值方法求解线性方程组以及如何对函数进行逼近。 第三章：线性方程组的求解 直接法：详细讲解高斯消元法（Gauss Elimination）及其消元过程，包括行变换、主元选择（部分选主元、全选主元）的重要性。 LU分解：介绍LU分解的原理、计算步骤及其在求解多组线性方程组中的优势。 迭代法：引入雅可比迭代法（Jacobi Method）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Method），讨论其收敛条件和应用范围。 矩阵的性质与条件数：解释矩阵的病态性（ill-conditioning）对求解精度的影响，以及如何评估和改善。 实际应用：展示如何用线性方程组模型解决电路分析、结构力学计算等问题。 第四章：矩阵的特征值与特征向量 特征值问题的定义与意义：解释特征值和特征向量在动力系统分析、数据降维（如PCA）等领域的应用。 幂法（Power Method）：介绍求解最大特征值和对应特征向量的简单迭代算法。 QR分解法：深入理解QR分解在计算所有特征值和特征向量中的作用，并介绍其稳定性。 对称矩阵的特殊性：讨论对称矩阵的特征值性质以及更高效的求解方法。 第五章：函数插值与逼近 多项式插值：介绍拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛顿插值（Newton Interpolation）方法，理解插值多项式的唯一性。 样条插值：讲解三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）的优势，如何保证插值函数的连续性和光滑性，以避免龙格现象（Runge's phenomenon）。 最佳逼近：引入最小二乘法（Least Squares Approximation）的思想，讲解如何找到最“接近”给定数据点的函数。 函数逼近的应用：展示在数据平滑、曲线拟合、信号处理等领域的应用。 第三部分：微积分的数值处理与优化 本部分将深入探讨如何用数值方法处理微积分中的核心问题，包括求导与积分，以及如何利用数值优化技术解决实际问题。 第六章：数值微分 导数的有限差分逼近：推导前向差分、后向差分和中心差分公式，并分析其截断误差。 高阶导数的计算：介绍如何通过组合低阶差分来计算高阶导数。 数值微分的稳定性：讨论在噪声数据上进行数值微分时可能遇到的困难。 应用实例：例如在物理学中计算速度和加速度，在经济学中计算边际效应等。 第七章：数值积分 牛顿-科特斯公式：介绍梯形法则（Trapezoidal Rule）和辛普森法则（Simpson's Rule）等基本求积公式，并分析其误差。 复化公式：讲解如何通过分割积分区间来提高精度。 高斯求积（Gaussian Quadrature）：介绍其基本思想和优势，如何选择合适的节点和权重以达到更高的精度。 多重积分的数值计算：探讨二重积分、三重积分等如何通过数值方法求解。 应用场景：例如计算曲线下的面积、体积、物理量等。 第八章：常微分方程的数值解法 初值问题（IVP）的数值方法：讲解欧拉法（Euler's Method）及其改进方法（如改进欧拉法），以及更精确的四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）。 多步法：介绍 Adams-Bashforth 和 Adams-Moulton 等多步法的基本思想和优缺点。 边界值问题（BVP）的数值解法：简要介绍打靶法（Shooting Method）和有限差分法（Finite Difference Method）等。 实际应用：通过模拟物理系统的演化过程，如物体运动、电路响应等，展示常微分方程数值解法的强大威力。 第四部分：算法进阶与实践 本部分将进一步拓展读者的视野，介绍更高级的算法概念，并强调在实际编程中的注意事项。 第九章：函数优化 单变量函数的优化：介绍一维搜索方法，如黄金分割法（Golden Section Search）和抛物线搜索法。 多变量函数的优化：讲解梯度下降法（Gradient Descent）和牛顿法（Newton's Method）在多维空间中的应用。 约束优化简介：初步介绍如何在有约束条件下的函数进行优化。 优化问题在机器学习和工程中的应用。 第十章：算法的效率与复杂性 算法复杂度分析：介绍大O表示法（Big O notation），用于描述算法的渐近行为（时间复杂度和空间复杂度）。 排序算法的比较：通过比较冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序和归并排序等，理解不同算法的效率差异。 查找算法：分析线性查找和二分查找的效率。 选择高效算法的重要性：强调在处理大规模数据时，算法的选择对性能的影响至关重要。 附录 常用数值算法的伪代码示例 数值计算中常见的陷阱与避免策略 推荐的参考文献与在线资源 本书的编写目标是让读者不仅掌握数值计算的理论，更能具备独立分析和解决实际计算问题的能力。通过理论讲解、算法推导、实例分析和代码实践相结合的方式，我们希望能为读者打开一扇通往计算科学世界的大门。

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坦白说，这本书最让我眼前一亮的是它对实际工程问题的建模视角。它似乎有意避开了纯数学理论的纯粹性，而是将大量的笔墨放在了“现实世界中的数据”是如何被数值方法处理的。比如，在处理微分方程时，作者不仅仅讲解了欧拉法和龙格-库塔法，还引入了物理系统中常见的刚性问题（Stiffness），并探讨了半隐式方法的必要性。这种将数学工具置于真实约束条件下的讨论，极大地拓宽了我的应用视野。以往我总觉得数值分析是孤立的计算技巧，但这本书让我意识到，如何选择和设计算法，本质上是对物理或工程系统特性的深刻理解。书中对数据拟合部分的处理也非常出色，从最小二乘到样条插值，讲解了每种方法背后对函数光滑性的隐含假设。阅读过程中，我不断地在思考：我手头上的数据究竟更接近于哪种数学模型？这种思考的转变，是其他只停留在公式推导层面的教材难以给予的。

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这本书的作者群（如果是一个团队完成的）显然具有丰富的跨学科背景，这使得其内容具有极强的包容性。我发现书中对某些算法的介绍，融入了现代计算科学的最新进展，例如与高性能计算（HPC）的结合点。虽然它不是一本专门的并行计算教材，但在讲解大型稀疏矩阵求解时，作者还是提示了诸如向量化操作和缓存友好的数据布局的重要性，这些都是在传统教材中鲜少涉及的“工程优化细节”。再者，它对非线性方程求解器的讨论，不仅限于牛顿法及其变体，还巧妙地引入了拟牛顿法（如BFGS）的推导思路，展现了一种渐进式的优化策略。这种广度和深度的平衡把握得非常巧妙，既保证了基础知识的扎实，又适度地为有更高追求的读者指明了进阶的方向。阅读过程中，我数次停下来，去查阅那些被简要提及的、但极其重要的外部参考文献，可见其引用和知识网络的构建也是相当成熟的。

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如果要用一个词来概括这本书的特点，我会选择“务实中蕴含深刻”。它不像某些入门书籍那样过于简化以至于失真，也不像某些顶层理论书籍那样高不可攀。它采取了一种非常中庸而高效的路径——每一步的引入都有其明确的计算动机。例如，在讲解傅里叶变换在信号处理中的应用时，作者没有直接跳到FFT的算法细节，而是先用截断误差和周期延拓的概念解释了DFT的局限性，从而自然而然地引出了FFT作为加速工具的地位。这种“带着问题去学习”的编排思路，让我在阅读时始终保持着极高的专注度。对于那些希望将数值分析应用于机器学习、数据科学或者工程模拟的读者来说，这本书提供了一个非常坚实且全面的基础。它教会的不是死记硬背算法步骤，而是培养一种审慎的、能够独立评估和选择数值方法的“分析师”思维模式，这才是这本教材最宝贵的财富。

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拿到这本新书，我首先被它扎实的理论基础深深吸引住了。作者没有急于展示那些花哨的数值算法，而是花了大量的篇幅去构建严谨的数学框架，这对于我这种喜欢刨根问底的读者来说，简直是福音。书中对误差分析的论述尤其到位，它不仅仅告诉你“会出错”，更深入地剖析了误差是如何在每一步计算中累积和传播的，这一点在很多同类书籍中往往一带而过。我特别欣赏它对稳定性、收敛性这些核心概念的阐释，语言精准而不失温度，即便是初次接触这些概念的读者，也能通过清晰的逻辑推导构建起完整的认知。例如，在讲解迭代法时，作者没有简单地给出公式，而是结合了实际的函数特性，通过几何直观和拓扑学原理，展示了为什么某些算法在特定条件下会失效，而另一些则能保证收敛。这种深度挖掘的写作风格，让我感觉自己不是在简单地学习如何“使用”工具，而是在理解工具背后的“哲学”。后续章节中对矩阵分解方法的讨论，也体现了作者深厚的功底，从LU分解到QR分解，每种方法的适用场景和计算复杂度的权衡都分析得井井有条，为我后续的工程应用提供了可靠的理论支撑。

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这本书的排版和图示设计，简直是业界良心。市面上很多教材，为了追求内容的密度，常常把公式堆砌得让人喘不过气，但这本书显然在这方面做了大量的优化。阅读体验极其舒适，关键的定义和定理都用醒目的字体或边框突出显示，即便是需要反复查阅的公式，也能迅速定位。更值得称赞的是那些精心制作的示意图。很多抽象的数值过程，比如有限差分法的网格剖分，或者优化算法的搜索路径，通过清晰的二维或三维图示展现出来后，瞬间变得立体起来，极大地降低了理解难度。我印象最深的是它对收敛速度的图示对比，不同的收敛阶次（线性、二次）在同一坐标系下被描绘出来，那种差距一目了然，比单纯看$O(cdot)$的数学符号有效得多。此外，书中大量的示例代码片段，虽然没有像专业编程书那样详尽展开，但足够作为理解算法流程的“脚手架”，让理论学习与实践操作之间搭建了坚实的桥梁。整体感觉，作者是真正站在学习者的角度来构思内容，注重知识的“可消化性”。

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