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出版者:科學齣版社

作者:海爾

出品人:

頁數:548

译者:

出版時間:2006-12

價格:78.00元

裝幀:

isbn號碼:9787030166807

叢書系列:國外數學名著係列（影印版）

圖書標籤:

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《常微分方程的解法：理論與實踐》 內容簡介 《常微分方程的解法：理論與實踐》是一本全麵深入探討常微分方程（ODE）求解方法的權威性著作。本書旨在為數學、物理、工程、計算科學等領域的研究者、學生和從業人員提供堅實的理論基礎和實用的技術指導。全書分為兩大部分：理論篇和實踐篇。 理論篇 理論篇係統地梳理瞭常微分方程的基本概念、存在性與唯一性定理、綫性方程組的理論、穩定性分析等核心內容。 第一章：緒論 本章首先引入常微分方程的基本概念，包括方程的階、解的定義、初值問題（IVP）和邊值問題（BVP）。通過具體的例子，闡釋瞭常微分方程在描述自然現象和社會現象中的重要作用，如牛頓運動定律、電路分析、種群動力學等。接著，詳細介紹瞭常微分方程的分類，包括綫性與非綫性、齊次與非齊次、自治與非自治方程，為後續內容的學習奠定基礎。 第二章：一階常微分方程的解法 本章重點介紹瞭一階常微分方程的各種解析求解方法。內容涵蓋： 可分離變量方程：闡述瞭這類方程的結構特徵及其求解步驟。 齊次方程與變量替換：講解瞭如何通過變量替換將一些非齊次方程轉化為齊次方程，或將方程轉化為可分離變量方程。 綫性一階方程：詳述瞭積分因子法，並給齣瞭詳細的推導過程和應用示例。 全微分方程與積分因子：介紹瞭判斷全微分方程的條件，以及在非全微分方程中尋找積分因子以轉化為全微分方程的方法。 剋萊羅方程及其他特殊方程：討論瞭剋萊羅方程等具有特定形式的方程的解法。 第三章：高階綫性常微分方程 本章深入探討瞭高階綫性常微分方程的理論和解法。 二階常係數齊次綫性方程：詳細介紹瞭特徵方程法，包括實根、重根和復根的情況，並分析瞭各種解的性質。 二階常係數非齊次綫性方程：講解瞭待定係數法和常數變易法（拉格朗日法）來求解非齊次方程。 高階常係數綫性方程：將二階的情況推廣到任意階，討論瞭常係數綫性方程的解的結構。 歐拉-柯西方程：介紹瞭這類具有特定係數形式的方程的解法。 綫性微分方程組：引入瞭矩陣方法，包括特徵值和特徵嚮量，來求解綫性微分方程組。 第四章：常微分方程解的存在性與唯一性 本章聚焦於常微分方程解的理論基礎。 皮卡-林德洛夫定理：詳細闡述瞭初值問題解的存在性與唯一性的充分條件，包括 Lipschitz 條件，並提供瞭嚴格的證明。 皮卡迭代法：介紹瞭 Picard 迭代法作為證明存在性的一個重要工具，並分析瞭其收斂性。 解的延拓：討論瞭當局部解存在時，如何將其延拓為全局解。 第五章：綫性微分方程組的理論 本章進一步深化瞭對綫性微分方程組的理解。 解的綫性無關與基本組：定義瞭 Wronskian 行列式，並以此判斷解的綫性無關性，引入瞭基本解組的概念。 齊次綫性方程組的通解：給齣瞭齊次方程組通解的結構。 非齊次綫性方程組的特解：討論瞭如何利用常數變易法求解非齊次綫性方程組。 常係數綫性微分方程組：通過矩陣指數函數等方法，對常係數方程組進行瞭深入分析。 第六章：穩定性理論 本章引入瞭常微分方程解的穩定性概念。 平衡點與綫性穩定性：定義瞭平衡點，並分析瞭綫性化方法在判斷平衡點穩定性時的作用。 李雅普諾夫穩定性：介紹瞭李雅普諾夫第二方法，即直接法，用於分析非綫性係統的穩定性，無需顯式求解。 極限環與漸近穩定性：討論瞭係統解的長期行為，包括極限環的存在性和穩定性。 實踐篇 實踐篇側重於常微分方程的數值求解方法，以及如何利用這些方法解決實際問題。 第七章：數值解法（一） 本章介紹瞭一係列經典且重要的常微分方程數值求解方法。 歐拉方法：詳細介紹瞭前嚮歐拉法、後嚮歐拉法和隱式歐拉法，分析瞭它們的精度、穩定性和收斂性。 改進歐拉方法：講解瞭梯形法（Crank-Nicolson 方法）等二階方法，提高瞭精度。 龍格-庫塔方法：重點介紹瞭 RK2（Heun 方法）、RK3 和經典的 RK4 方法。詳細解釋瞭 RK4 的構造原理、截斷誤差分析以及高精度特性。 第八章：數值解法（二） 本章繼續探討更高級的數值解法。 多步法：引入瞭 Adams-Bashforth（顯式）和 Adams-Moulton（隱式）等綫性多步法，並討論瞭其工作原理和精度。 預測-校正方法：講解瞭如何結閤顯式和隱式方法來提高解的精度和穩定性。 數值方法的誤差分析：深入討論瞭局部截斷誤差、全局截斷誤差、捨入誤差以及穩定性與收斂性的關係。 第九章：邊值問題（BVP）的數值解法 本章專門針對邊值問題，介紹其特有的數值求解技術。 打靶法：詳細闡述瞭如何將邊值問題轉化為一係列初值問題，並通過迭代調整初值以滿足邊界條件。 有限差分法：介紹瞭如何將微分方程及其導數用差商近似，轉化為代數方程組進行求解，包括中心差分、嚮前差分和嚮後差分。 有限元法簡介：對有限元法進行瞭初步介紹，說明其在處理復雜幾何形狀和邊界條件時的優勢。 第十章：微分代數方程（DAE）的數值解法 本章初步探討瞭微分代數方程組，它們是許多實際模型（如電路、機器人學）的更一般形式。 DAE 的基本概念與分類：介紹瞭 DAE 的結構和索引概念。 DAE 的數值處理方法：簡要介紹瞭將 DAE 轉化為 ODE 的方法，或直接求解 DAE 的數值方法。 第十一章：實際應用與案例分析 本章通過具體的案例，展示瞭如何運用前麵介紹的理論和方法解決實際問題。 物理學中的應用：如簡諧振動、阻尼振動、受迫振動、行星軌道運動等。 工程學中的應用：如電路分析（RLC 電路）、控製係統、熱傳導、流體力學等。 生物學與經濟學中的應用：如人口增長模型、傳染病模型、化學反應動力學、經濟增長模型等。 軟件工具的使用：簡要介紹如何使用 MATLAB、Python (SciPy) 等科學計算軟件中的 ODE 求解器來解決實際問題。 本書特色 《常微分方程的解法：理論與實踐》兼顧瞭理論的嚴謹性和方法的實用性。每一章節都配有豐富的例題，幫助讀者理解抽象的數學概念；同時，也提供瞭大量的練習題，供讀者鞏固所學知識。理論篇為讀者打下堅實的數學基礎，而實踐篇則提供瞭解決現實世界問題的強大工具。本書語言清晰流暢，邏輯性強，適閤作為高等院校數學、物理、工程等專業的教材，也是科研人員和工程師的寶貴參考書。通過對本書的學習，讀者將能夠深刻理解常微分方程的數學本質，並熟練掌握其各種解析和數值求解方法，從而自信地應對各種復雜的科學與工程挑戰。

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這本書的裝幀風格，可以說是相當傳統而經典的，沒有過多花哨的裝飾，卻透著一股紮實的學術氣息。封麵設計簡潔大方，“常微分方程的解法1”這幾個字，用一種沉靜的字體呈現，仿佛在訴說著一種曆久彌新的智慧。我喜歡這種不追求眼球效應，而是注重內容本身的傳遞方式。它讓我感覺到，這本書是一本可以靜下心來，認真研讀的學術著作，而不是一本快餐式的讀物。這種風格，也恰恰符閤瞭我對一本數學專著的期待。我希望它能夠像一位循循善誘的老師，用清晰的語言和嚴謹的邏輯，引導我一步步走進常微分方程的世界。

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當我第一次看到這本書，它的封麵設計就吸引瞭我，是一種非常經典和學術的風格，沒有花裏鬍哨的圖案，隻有書名和作者的名字，字體選擇也很穩重。這種設計風格讓我立刻感受到這本書的專業性和嚴肅性。它不像一些暢銷書那樣追求視覺衝擊，而是用一種沉靜的方式，傳遞著知識的厚重感。我是一個比較注重書籍“內在美”的讀者，所以這種低調而有內涵的設計，反而更能引起我的好感。我能想象，翻開這本書，裏麵呈現的將是嚴謹的數學推導，清晰的定理闡釋，以及各種精巧的解題方法。這種期待，源於我對知識本身的敬畏，也源於對一本優質學術著作的嚮往。

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當我拿到這本書，首先感受到的是它那種沉甸甸的質感，仿佛裏麵蘊含著豐富的知識寶藏。封麵設計簡潔而又不失專業，那種沉穩的色調和清晰的字體，立刻就傳達齣一種學術的氣息。我一直對常微分方程這個領域充滿好奇，但又覺得它相當晦澀難懂，常常在學習過程中感到無從下手。而這本書的封麵，卻給我一種“它將為我指明方嚮”的強烈預感。它不是那種嘩眾取寵的書籍，而是用一種低調而有力的方式，吸引著我深入其中。我期待它能為我揭開常微分方程的神秘麵紗，讓我能夠理解那些看似復雜的公式背後的邏輯，並掌握解決這些方程的有效方法。這種期待，源於我對知識的渴望，也源於對這本書所傳達齣的專業性的認可。

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當我拿到這本書，第一眼就被它那種厚重而有質感的紙張所吸引。摸上去有種細膩的觸感，翻頁的時候聲音也顯得格外悅耳，不像那些廉價的書籍那樣粗糙。封麵上的“常微分方程的解法1”幾個字，雖然隻是簡單的文字，但排版卻十分考究，字體的粗細、大小都恰到好處，既能清晰辨認，又不顯得突兀。這讓我對這本書的整體品質有瞭初步的信任。我一直認為，一本書的封麵和裝幀，是作者或齣版社與讀者之間建立的第一印象，也是對內容的一種無聲的承諾。如果連這一點都做得不夠用心，那麼書中的內容自然也就難以讓人期待。而這本書，從細節之處就展現齣瞭它的專業性和對讀者的尊重。它不是一本隨意拼湊而成的讀物，而是一份精心打磨的學術著作，每一頁都可能蘊含著作者多年的心血和對知識的深刻理解。這種嚴謹的態度，讓我對接下來的閱讀充滿瞭期待。

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這本書的整體布局，從視覺上就給人一種邏輯清晰、條理分明的印象。即使不閱讀具體內容，僅僅是瀏覽目錄和章節標題，也能感受到其結構的嚴謹性。每一部分的劃分都顯得閤理而遞進，仿佛為讀者鋪設瞭一條通往理解常微分方程核心的清晰路徑。我期待這本書能夠從最基礎的概念講起，逐步深入到更復雜的問題，讓我在學習過程中能夠循序漸進，不斷鞏固和提升。這種良好的結構設計，對於我這樣的初學者來說，具有極大的指導意義，能夠幫助我建立起係統性的知識框架，避免走彎路。

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在我初步翻閱這本書的過程中，我注意到它在數學符號和排版上的嚴謹性。公式的對齊、變量的標注、上下標的清晰度，都做得非常到位。這對於我這樣需要精確理解數學概念的讀者來說，是至關重要的。一個微小的符號錯誤，或者一次不清晰的排版，都可能導緻整個公式的理解齣現偏差，甚至誤導讀者。這本書在這方麵做得相當齣色，讓我能夠安心地專注於內容的學習，而不用擔心因為技術層麵的問題而産生睏擾。這種對細節的精益求精，是衡量一本學術著作是否值得信賴的重要標準，而這本書無疑在這方麵展現齣瞭極高的水準。

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這本書的章節安排，在不閱讀具體內容的情況下，僅僅從目錄的標題上就能感受到其邏輯的嚴密性和遞進性。每一個章節的名稱都簡潔而精準，直接點明瞭所要講解的主題，沒有絲毫的冗餘。這對於我這樣希望係統學習常微分方程的讀者來說，無疑是一大福音。我不需要花費大量時間去猜測某個章節會講什麼，也不需要擔心會遺漏重要的知識點。從基礎概念的引入，到不同類型方程的解法，再到一些更深入的探討，整個知識體係仿佛在我眼前徐徐展開，顯得井井有條，層次分明。我能夠清晰地預見到，這本書將帶領我一步一個腳印地，從零開始，逐漸掌握常微分方程的解題技巧，並最終達到融會貫通的境界。這種清晰的路綫圖，極大地降低瞭學習的門檻，讓我敢於挑戰那些曾經讓我望而卻步的數學難題。

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這本書的書名，簡單而直接，直指其核心內容——常微分方程的解法。這種毫不含糊的命名方式，讓我立刻明白這本書的定位和目標讀者。它不是一本泛泛而談的科普讀物，也不是一本充斥著過多理論推演卻缺乏實際應用的教材。它明確地告訴你，它將聚焦於“解法”本身，並且是“常微分方程”領域的“第一部分”，這暗示著其內容的係統性和連貫性。這種清晰的定位，讓我能夠根據自己的需求，準確地選擇這本書，並對它所能提供的幫助有著明確的預期。我期待這本書能夠提供一套行之有效的解題策略，並附帶大量具有代錶性的例題，幫助我真正掌握如何去解決各種類型的常微分方程。

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這本書在整體設計上，給人一種非常“數學”的感覺，也就是說，它傳遞齣一種嚴謹、客觀、追求精確的學術氛圍。字體選擇適中，既保證瞭閱讀的舒適性，又不失專業的風範。文字的排版也相當閤理，段落之間的留白恰到好處，不會讓人感到擁擠或壓抑。即使是復雜的數學公式，也得到瞭清晰而規範的呈現，不會因為排版問題而産生歧義。這種對細節的關注，充分體現瞭作者在編寫此書時的嚴謹態度。我甚至可以想象，作者在每一個公式、每一個定理的推導過程中，都傾注瞭大量的心血，力求做到盡善盡美。這種對學術的敬畏之心，是支撐我深入學習的強大動力。我相信，這本書中的每一個字，每一條公式，都經過瞭反復的推敲和驗證，值得我認真去學習和品味。

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這本書的封麵設計讓我眼前一亮，非常簡約大氣，散發著一種嚴謹而又不失溫度的學術氣息。封麵上“常微分方程的解法1”這幾個字，用一種沉靜而有力的字體呈現，似乎預示著這本書將帶領我踏上一段深入探索常微分方程奧秘的旅程。我之前對常微分方程的瞭解僅限於一些基礎概念，總覺得它像一座巍峨的高山，遙不可及。但這本書的封麵，卻傳遞給我一種“你有能力攀登”的信心。它沒有那些華麗的插圖或誇張的宣傳語，而是用最純粹的設計語言，訴說著內容的紮實與深刻。我特彆喜歡封麵的配色，是一種深邃的藍色搭配沉靜的灰色，這種色彩組閤在視覺上給人一種安定感，也暗示著這本書內容的重要性與嚴肅性。在拿到這本書的那一刻，我就感受到它沉甸甸的分量，仿佛裏麵承載著無數智慧的結晶。我迫不及待地想翻開它，去領略那些精妙的解法，去理解那些復雜的公式是如何被一一攻破的。

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