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出版者:黑龙江哈尔滨工业大学

作者:匡正主编

出品人:

页数:282

译者:

出版时间:2005-9

价格:16.80元

装帧:

isbn号码:9787560322131

丛书系列:

图书标签:

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好的，为您撰写一本名为《几何变换与空间想象》的图书简介，内容详实，力求自然流畅，不含任何关于您提到书籍《组合数学习题精解》的信息。 --- 几何变换与空间想象 ——从欧几里得平面到高维拓扑的视觉构建 图书简介 作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版信息： [此处留空，或填写虚构出版社名] ISBN： [此处留空，或填写虚构ISBN] 一、 本书概述与定位 《几何变换与空间想象》是一部深度聚焦于二维和三维空间几何的理论基础、实用技巧以及前沿拓扑思想的综合性著作。本书旨在构建一座坚实的桥梁，连接经典欧氏几何的严谨证明与现代数学、工程学、计算机图形学中对空间操作的直观理解。我们不满足于仅仅罗列定理和公式，而是致力于剖析几何变换背后的深刻数学结构，培养读者在复杂空间结构中进行精确视觉构建和逻辑推理的能力。 全书内容结构精密，从最基础的刚体变换（平移、旋转、反射）入手，逐步深入到仿射变换、投影变换，最终触及非欧几何的初步概念，以及拓扑学中“形变不变性”的核心思想。它不仅是一本面向数学专业学生、物理学研究人员的教材或参考书，更是对所有需要精确处理空间关系（如建筑设计、机械制造、动画制作或数据可视化）的工程师和技术人员极具价值的工具书。 二、 核心章节与内容深度剖析 本书共分为六大部分，层层递进，确保读者能够建立起稳固的知识体系。 第一部分：欧氏空间基础与刚体运动（The Foundations of Euclidean Space and Rigid Motion） 本部分奠定了全书的理论基石。我们首先回顾向量空间、内积空间的基本概念，重点阐述了欧几里得空间$mathbb{R}^n$的度量结构。核心内容集中于刚体变换，即保持点间距离不变的变换。 旋转矩阵的构造与性质： 深入探讨二维平面（$SO(2)$群）和三维空间（$SO(3)$群）的旋转矩阵，详细分析其正交性、行列式为+1的物理意义。特别地，我们详细推导了欧拉角的表示方法及其固有的万向节死锁问题，并引入了更稳定的四元数（Quaternions）表示法来解决三维旋转的复杂性，这是图形学和机器人学中的关键技术。 变换的复合与李群初步： 讲解如何通过矩阵乘法复合多个变换，并引入欧氏群的概念，初步接触李群的离散结构。 第二部分：坐标系转换与变换的矩阵表示（Coordinate Systems and Matrix Representation） 几何变换的威力在于其代数表达。本部分着重于如何将复杂的空间操作转化为矩阵运算。 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）： 详细介绍齐次坐标如何优雅地统一平移、缩放、旋转这三种线性变换，使所有变换都可以通过一个单一的矩阵乘法完成。这是理解计算机图形学管线的基础。 基底变换与相似变换： 区分坐标系固定下对物体的变换与物体固定下对坐标系的变换。讨论相似变换（保持角度不变的变换）的特征值分解在理解变换行为中的作用。 第三部分：仿射变换与尺度效应（Affine Transformations and Scaling Effects） 在刚体变换的基础上，本部分引入了保持平行性但不保持长度和角度的仿射变换。 剪切（Shear）与缩放（Scaling）： 细致分析剪切矩阵如何扭曲空间结构，以及缩放矩阵对体积的拉伸效应。探讨仿射变换对空间结构的影响，例如直线仍是直线，平面仍是平面，但平行线可能不再平行（在投影几何中）。 保持面积/体积的变换： 通过行列式的值来判断仿射变换对面积或体积的影响因子，这是物理模拟和网格变形分析中的重要工具。 第四部分：透视投影与非线性空间（Perspective Projection and Non-Euclidean Spaces） 本部分将读者从欧氏空间带入到更具真实世界模拟特性的投影几何。 中心投影模型： 详细建立相机模型，讲解如何使用投影矩阵将三维空间中的点映射到二维图像平面上。特别关注“无穷远点”和“消失点”的几何成因。 非欧几何的引入： 初步介绍黎曼几何和双曲几何的基本思想，通过二维曲面上的测地线（如球面上两点间的大圆弧）来展示“直线”概念在弯曲空间中的泛化，为更高级的微分几何学习打下直观基础。 第五部分：拓扑学直观：形变与不变量（Intuitive Topology: Deformation and Invariants） 本部分从变换的本质出发，探讨什么是“本质上相同”的空间。 同胚（Homeomorphism）的概念： 引入“连续形变”的思想，即不撕裂、不粘连的映射。通过对圆盘、环面、球面等基本拓扑空间的分析，展示拓扑不变量（如连通性、亏格）如何抵抗各种复杂的连续形变。 可定向性与边界： 探讨Möbius带等非可定向曲面的构造与性质，强调理解空间结构层次的差异。 第六部分：应用案例与计算实现（Application Case Studies and Computational Implementation） 理论的价值在于应用。最后一部分将前述所有变换技术应用于具体的工程和科学领域。 3D建模与渲染管线： 详细描述从模型空间到世界空间、观察空间、裁剪空间，最终到屏幕空间的完整变换流程，展示本书所有矩阵知识的实际汇合点。 数据降维中的几何意义： 简要讨论主成分分析（PCA）与线性变换的关系，说明如何通过最佳线性变换来捕捉数据的主要“形状”或“方向”。 三、 本书的特色与价值 1. 深度与广度的平衡： 本书不仅涵盖了工程界广泛使用的四元数和齐次坐标，更深入到拓扑学和非欧几何的初步概念，实现了从应用到理论的无缝过渡。 2. 直观性优先： 所有的抽象概念都配有丰富的几何图示、物理类比和直观的例子，确保读者能够“看见”数学在空间中发生的作用。 3. 计算思维培养： 强调所有几何操作的矩阵化，引导读者将几何问题转化为高效的线性代数求解过程，直接服务于数值计算需求。 《几何变换与空间想象》旨在让读者超越简单的坐标计算，真正掌握理解和塑造我们所处（或所模拟）的空间所需的数学语言和几何直觉。阅读本书，将是您在探索多维世界时一次关键的思维飞跃。

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说实话，现在市面上关于数学的辅导资料多如牛毛，但大多都是中规中矩，毫无新意，要么就是难度设置极不合理，初学者看了心灰意冷，高手看了觉得浪费时间。《组合数学习题精解》给我的感觉是，它精准地找到了一个绝佳的平衡点。它的难度梯度设置得非常科学，从最基础的计数原理开始，逐步引入二项式系数的性质、卡特兰数的应用、到后面更复杂的生成函数和指数型母函数。每一个章节的过渡都自然流畅，不会让人产生“怎么突然就跳到这个内容了”的错愕感。我特别注意到，作者在讲解一些需要用到高等代数或者离散概率知识的题目时，会非常贴心地提供必要的背景回顾，避免了读者为了一个辅助知识点而不得不翻阅其他参考书的麻烦。这种集成化的学习体验，极大地提高了我的复习效率。特别是对于准备参加数学建模或者专业竞赛的同学来说，这本书简直就是一本“实战演练宝典”。我用它来准备我们学校的期末考试，结果发现，考卷上的大部分难题，都能在书中的某个相似变体中找到清晰的解题思路。

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这本书最让我欣赏的一点是其对“思维方式”的培养，而非仅仅是“技巧的堆砌”。许多组合数学问题，如果找不到正确的切入点，往往会陷入无休止的分类讨论中，最终耗费大量时间却得不到一个优雅的结论。我通过阅读这本书中对几个核心例题的剖析，才真正领悟到，组合数学的魅力在于如何巧妙地将一个看似复杂的计数问题，转化为一个已知的数学结构——比如一个特殊的路径计数问题，或者一个已知数列的递推关系。书中对“映射”和“双射”的应用分析得尤为精彩，它教会我如何在两个看似不相关的集合之间建立联系，从而利用已知集合的性质来解决未知集合的问题。例如，在处理涉及循环排列的问题时，作者没有直接套用公式，而是先通过一个形象的场景描述，然后引导我们去构造一个等价的、更易于处理的线性排列模型。这种层层递进、引导思考的叙述风格，彻底改变了我对“解题”的看法，从“找到公式套进去”变成了“构建模型找规律”。

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我对这本书的装帧和排版也想说上几句，这在学习资料中往往是被忽略的细节，但对于长时间面对数学公式的读者来说，却是至关重要的。《组合数学习题精解》的纸张质量上乘，即使用荧光笔做了大量标记，也不会透墨，这让我可以肆无忌惮地在书上演算。更重要的是，它的版式设计非常清爽、专业。数学公式的排版严谨规范，特别是那些需要多层嵌套的求和符号、积分符号或者复杂的下标上标，都清晰可辨，绝不会出现印刷模糊导致符号混淆的情况。这看似是小事，但对于精确性要求极高的数学学习来说，能够减少视觉疲劳和因误读公式而导致的思考中断，其价值是无法估量的。对比我以前买的那本某出版社的习题集，公式常常挤在一起，读起来非常费劲，每次都要花额外的精力去“破译”符号。这本书则完全没有这种困扰，让人可以心无旁骛地专注于逻辑推理本身。这种对细节的极致追求，体现了编著者对读者学习体验的尊重。

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坦白说，我过去在学习组合数学时，最怕的就是遇到那些“没有标准解法”的开放式问题，总是觉得自己的思路不够开阔。但《组合数学习题精解》在这方面也提供了极大的帮助。它并非只收录了那些已经被大学教材定论的经典难题，而是包含了许多近年来在各种数学竞赛中出现过的高质量变体和选做题。更重要的是，在解析这些难题时，作者常常会提供不止一种的解题思路，比如用生成函数解决后，再用递推关系验证，或者从代数角度阐述，再用组合意义解释。这种多角度的审视，极大地拓宽了我的视野。它让我明白，数学的严谨性并不意味着只有一条“正确的路”。通过对比不同方法的优劣和适用范围，我学会了如何在面对新问题时，快速筛选出最适合的工具箱里的工具。这本书的价值，已经远远超出了一个普通习题集的范畴，它更像是一本关于“如何像数学家一样思考计数问题”的入门指南，对于任何想在离散数学领域有所建树的人来说，都是一本不可或缺的案头常备书。

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这本《组合数学习题精解》的出版，对于我这个深陷高等数学学习泥潭的本科生来说，简直是及时雨，甚至是救命稻草。我记得我刚开始接触组合数学这门课的时候，感觉就像是进入了一个由各种排列、组合、生成函数和容斥原理构筑的迷宫。书本上的定义晦涩难懂，定理的推导过程更是如同天书，让我一度怀疑自己是不是真的适合走学术这条路。然而，当我翻开这本书，看到那些清晰的步骤、详尽的解析时，心中的疑虑瞬间烟消云散。它不是那种只罗列公式和标准答案的“冷冰冰”的习题集，而是真正地站在学习者的角度，将每一个知识点都拆解得极其透彻。尤其是一些需要巧妙构造的模型问题，书里不仅给出了最优解法，还对比了其他几种不太高效的方法，用一种“为什么这个方法更好”的叙述方式，让读者不仅学会了怎么做，更理解了背后的思想。这种教学相长的设计，让我感觉自己不是在做题，而是在与一位经验丰富、耐心无比的导师对话。我尤其喜欢其中关于“鸽巢原理”的专题，很多经典变体的证明过程，我原先只能死记硬背，现在通过这本书的剖析，我竟然能自己推导出来了，那种茅塞顿开的喜悦，是任何高分都无法替代的。

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习题都来自几本经典书，有抄袭嫌疑。很多章节没有提及。

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