具體描述
《數學分析》(原書第2版)是美國著名的數學分析教材，涵蓋瞭初等微積分以及實變函數論和復變函數論等內容，涉及現代分析的最新進展。書中包含大量覆蓋各個方麵、各級難度的習題，通過習題的訓練，可以培養學生的運算技能和對數學問題的思維能力。《數學分析》(原書第2版)條理清晰，內容精練，言簡意賅，可作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學等專業學生的教材，同時也可作為數學工作者和科技人員的參考書。
作者簡介
Tom M. Apostol 是加州理工學院數學係榮譽教授。他於1946年在華盛頓大學西雅圖分校獲得數學碩士學位，於1948年在加州大學伯剋利分校獲得數學博士學位。他的著述很多，除本書外，還著有《Calculus, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra》、《Calculus, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications》等。
目錄資訊
1.1引言
1.2域公理
1.3序公理
1.4實數的幾何錶示
1.5區間
1.6整數
1.7整數的唯一因數分解定理
1.8有理數
1.9無理數
1.10上界，最大元，最小上界(上確界)
1.11完全公理
1.12上確界的某些性質
1.13從完全公理推演齣的整數性質
1.14實數係的阿基米德性質
1.15能用有限小數錶示的有理數
1.16用有限小數逼近實數
1.17用無限小數錶示實數
1.18絕對值與三角不等式
1.19柯西施瓦茨不等式
1.20正負無窮和擴充的實數係R*
1.21復數
1.22復數的幾何錶示
1.23虛數單位
1.24復數的絕對值
1.25復數排序的不可能性
1.26復指數
1.27復指數的進一步性質
1.28復數的輻角
1.29復數的整數冪和方根
1.30復對數
1.31復冪
1.32復正弦和復餘弦
1.33無窮遠點與擴充的復平麵C*
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第2章集閤論的一些基本概念
2.1引言
2.2記號
2.3序偶
2.4兩個集閤的笛卡兒積
2.5關係與函數
2.6關於函數的進一步的術語
2.711函數及其反函數
2.8復閤函數
2.9序列
2.10相似(對等)集閤
2.11有限集與無限集
2.12可數集與不可數集
2.13實數係的不可數性
2.14集閤代數
2.15可數集的可數族
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第3章點集拓撲初步
3.1引言
3.2歐氏空間Rn
3.3Rn中的開球與開集
3.4R1中開集的結構
3.5閉集
3.6附貼點，聚點
3.7閉集與附貼點
3.8波爾查諾魏爾斯特拉斯定理
3.9康托爾交定理
3.10林德勒夫覆蓋定理
3.11海涅博雷爾覆蓋定理
3.12Rn中的緊性
3.13度量空間
3.14度量空間中的點集拓撲
3.15度量空間的緊子集
3.16集閤的邊界
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第4章極限與連續性
4.1引言
4.2度量空間中的收斂序列
4.3柯西序列
4.4完備度量空間
4.5函數的極限
4.6復值函數的極限
4.7嚮量值函數的極限
4.8連續函數
4.9復閤函數的連續性
4.10連續復值函數和連續嚮量值函數
4.11連續函數的例子
4.12連續性與開集或閉集的逆象
4.13緊集上的連續函數
4.14拓撲映射(同胚)
4.15波爾查諾定理
4.16連通性
4.17度量空間的分支
4.18弧連通性
4.19一緻連續性
4.20一緻連續性與緊集
4.21壓縮的不動點定理
4.22實值函數的間斷點
4.23單調函數
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第5章導數
5.1引言
5.2導數的定義
5.3導數與連續性
5.4導數代數
5.5鏈式法則
5.6單側導數和無窮導數
5.7具有非零導數的函數
5.8零導數與局部極值
5.9羅爾定理
5.10微分中值定理
5.11導函數的介值定理
5.12帶餘項的泰勒公式
5.13嚮量值函數的導數
5.14偏導數
5.15復變函數的微分
5.16柯西黎曼方程
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第6章有界變差函數與可求長麯綫
6.1引言
6.2單調函數的性質
6.3有界變差函數
6.4全變差
6.5全變差的可加性
6.6在［a，x］上作為x的函數的全變差
6.7有界變差函數錶示為遞增函數之差
6.8有界變差連續函數
6.9麯綫與路
6.10可求長的路與弧長
6.11弧長的可加性及連續性性質
6.12路的等價性，參數變換
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第7章黎曼斯蒂爾切斯積分
7.1引言
7.2記號
7.3黎曼斯蒂爾切斯積分的定義
7.4綫性性質
7.5分部積分法
7.6黎曼斯蒂爾切斯積分中的變量替換
7.7化為黎曼積分
7.8階梯函數作為積分函數
7.9黎曼斯蒂爾切斯積分化為有限和
7.10歐拉求和公式
7.11單調遞增的積分函數，上積分與下積分
7.12上積分及下積分的可加性與綫性性質
7.13黎曼條件
7.14比較定理
7.15有界變差的積分函數
7.16黎曼斯蒂爾切斯積分存在的充分條件
7.17黎曼斯蒂爾切斯積分存在的必要條件
7.18黎曼斯蒂爾切斯積分的中值定理
7.19積分作為區間的函數
7.20積分學第二基本定理
7.21黎曼積分的變量替換
7.22黎曼積分第二中值定理
7.23依賴於一個參數的黎曼斯蒂爾切斯積分
7.24積分號下的微分法
7.25交換積分次序
7.26黎曼積分存在性的勒貝格準則
7.27復值黎曼斯蒂爾切斯積分
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第8章無窮級數與無窮乘積
8.1引言
8.2收斂的復數序列與發散的復數序列
8.3實值序列的上極限與下極限
8.4單調的實數序列
8.5無窮級數
8.6插入括號和去掉括號
8.7交錯級數
8.8絕對收斂與條件收斂
8.9復級數的實部與虛部
8.10正項級數收斂性的檢驗法
8.11幾何級數
8.12積分檢驗法
8.13大O記號和小o記號
8.14比值檢驗法和根檢驗法
8.15狄利剋雷檢驗法和阿貝爾檢驗法
8.16幾何級數∑zn在單位圓｜z｜=1上的部分和
8.17級數的重排
8.18關於條件收斂級數的黎曼定理
8.19子級數
8.20二重序列
8.21二重級數
8.22二重級數的重排定理
8.23纍次級數相等的一個充分條件
8.24級數的乘法
8.25切薩羅可求和性
8.26無窮乘積
8.27對於黎曼ζ函數的歐拉乘積
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第9章函數序列
9.1函數序列的點態收斂性
9.2實值函數序列的例子
9.3一緻收斂的定義
9.4一緻收斂與連續性
9.5一緻收斂的柯西條件
9.6無窮函數級數的一緻收斂
9.7一條填滿空間的麯綫
9.8一緻收斂與黎曼斯蒂爾切斯積分
9.9可以被逐項積分的非一緻收斂序列
9.10一緻收斂與微分
9.11級數一緻收斂的充分條件
9.12一緻收斂與二重序列
9.13平均收斂
9.14冪級數
9.15冪級數的乘法
9.16代入定理
9.17冪級數的倒數
9.18實的冪級數
9.19由函數生成的泰勒級數
9.20伯恩斯坦定理
9.21二項式級數
9.22阿貝爾極限定理
9.23陶伯定理
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第10章勒貝格積分
10.1引言
10.2階梯函數的積分
10.3單調的階梯函數序列
10.4上函數及其積分
10.5黎曼可積函數作為上函數的例子
10.6一般區間上的勒貝格可積函數類
10.7勒貝格積分的基本性質
10.8勒貝格積分和零測度集
10.9萊維單調收斂定理
10.10勒貝格控製收斂定理
10.11勒貝格控製收斂定理的應用
10.12無界區間上的勒貝格積分作為有界區間上的積分的極限
10.13反常黎曼積分
10.14可測函數
10.15由勒貝格積分定義的函數的連續性
10.16積分號下的微分法
10.17交換積分次序
10.18實綫上的可測集
10.19在R的任意子集上的勒貝格積分
10.20復值函數的勒貝格積分
10.21內積與範數
10.22平方可積函數集閤L2(I)
10.23集閤L2(I)作為一個半度量空間
10.24關於L2(I)內的函數級數的一個收斂定理
10.25裏斯費希爾定理
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第11章傅裏葉級數與傅裏葉積分
11.1引言
11.2正交函數係
11.3最佳逼近定理
11.4函數相對於一個規範正交係的傅裏葉級數
11.5傅裏葉係數的性質
11.6裏斯費希爾定理
11.7三角級數的收斂性與錶示問題
11.8黎曼勒貝格引理
11.9狄利剋雷積分
11.10傅裏葉級數部分和的積分錶示
11.11黎曼局部化定理
11.12傅裏葉級數在一個特定的點上收斂的充分條件
11.13傅裏葉級數的切薩羅可求和性
11.14費耶定理的推論
11.15魏爾斯特拉斯逼近定理
11.16其他形式的傅裏葉級數
11.17傅裏葉積分定理
11.18指數形式的傅裏葉積分定理
11.19積分變換
11.20捲積
11.21對於傅裏葉變換的捲積定理
11.22泊鬆求和公式
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第12章多元微分學
12.1引言
12.2方嚮導數
12.3方嚮導數與連續性
12.4全導數
12.5全導數通過偏導數來錶示
12.6對復值函數的一個應用
12.7綫性函數的矩陣
12.8雅可比矩陣
12.9鏈式法則
12.10鏈式法則的矩陣形式
12.11用於可微函數的中值定理
12.12可微的一個充分條件
12.13混閤偏導數相等的一個充分條件…
12.14用於從Rn到R1的函數的泰勒公式
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第13章隱函數與極值問題
13.1引言
13.2雅可比行列式不取零值的函數
13.3反函數定理
13.4隱函數定理
13.5一元實值函數的極值
13.6多元實值函數的極值
13.7帶邊條件的極值問題
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第14章多重黎曼積分
14.1引言
14.2Rn內有界區間的測度
14.3在Rn內的緊區間上定義的有界函數的黎曼積分
14.4零測度集與多重黎曼積分存在性的勒貝格準則
14.5多重積分通過纍次積分求值
14.6Rn內的若爾當可測集
14.7若爾當可測集上的多重積分
14.8若爾當容度錶示為黎曼積分
14.9黎曼積分的可加性
14.10多重積分的中值定理
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第15章多重勒貝格積分
15.1引言
15.2階梯函數及其積分
15.3上函數與勒貝格可積函數
15.4Rn內的可測函數與可測集
15.5關於階梯函數的二重積分的富比尼歸約定理
15.6零測度集的某些性質
15.7對於二重積分的富比尼歸約定理
15.8可積性的托內利霍布森檢驗法
15.9坐標變換
15.10多重積分的變換公式
15.11對於綫性坐標變換的變換公式的證明
15.12對於緊立方體特徵函數的變換公式的證明
15.13變換公式證明的完成
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第16章柯西定理與留數計算
16.1解析函數
16.2復平麵內的路與麯綫
16.3圍道積分
16.4沿圓形路的積分作為半徑的函數
16.5對於圓的柯西積分定理
16.6同倫麯綫
16.7圍道積分在同倫下的不變性
16.8柯西積分定理的一般形式
16.9柯西積分公式
16.10迴路關於一點的捲繞數
16.11捲繞數為零的點集的無界性
16.12用圍道積分定義的解析函數
16.13解析函數的冪級數展開
16.14柯西不等式與劉維爾定理
16.15解析函數零點的孤立性
16.16解析函數的恒等定理
16.17解析函數的最大模和最小模
16.18開映射定理
16.19圓環內解析函數的洛朗展開
16.20孤立奇點
16.21函數在孤立奇點處的留數
16.22柯西留數定理
16.23區域內零點與極點的個數
16.24用留數的方法求實值積分的值
16.25用留數計算的方法求高斯和的值
16.26留數定理對於拉普拉斯變換反演公式的應用
16.27共形映射
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特殊符號索引
索引
· · · · · · (收起)
讀後感
数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群28...
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評分和楼上一样，自己虽然是管理系的，但是对数学情有独钟，研究生考了统计，数学自然离不开。尽管书很难，和以前学的数学理论基础上不太一样，看起来很累~~正看到第六章，还是坚持，呵呵~~
用戶評價
《數學分析》這本書不僅傳授瞭知識，更重要的是它塑造瞭我對數學的認知。它讓我明白，數學不僅僅是計算和公式，更是一種嚴謹的邏輯思維，一種對事物本質的探究，一種對美的追求。通過這本書，我學會瞭如何用精確的語言錶達自己的思想，如何用嚴密的邏輯構建論證，如何從看似混亂的現象中發現規律。它讓我意識到，數學分析不僅僅是一門學科，更是一種生活態度和思維方式。它教會我如何麵對復雜的問題，如何分解它們，如何一步步找到解決的辦法。這種能力，對我未來的學習和工作都有著深遠的影響。我不再害怕那些看起來難以理解的數學問題，而是充滿瞭信心去迎接挑戰。這本書，就像是我學習數學道路上的一盞明燈，照亮瞭我前行的方嚮。
评分《數學分析》這本書給我的另一個深刻印象是它所蘊含的數學之美。它讓我看到瞭數學的嚴謹、和諧與統一。那些精巧的定理，優雅的證明，無不展現齣一種超越功利的藝術魅力。我時常會被一些數學證明的簡潔性和對稱性所打動，仿佛看到瞭一個精密的藝術品。比如，在講解柯西積分定理時，書中會用一係列圖示和語言，生動地描繪齣函數在復平麵上沿著閉閤麯綫積分的結果，以及為什麼會等於零。這種直觀的解釋，讓我感受到數學的邏輯之美和視覺之美。它讓我明白，數學不僅僅是冷冰冰的邏輯符號，更是一種對事物本質的深刻洞察和藝術化的錶達。它不僅僅是教會瞭我如何計算，更讓我學會瞭如何欣賞數學的美，如何從數學的語言中感受到智慧的光芒。在完成一個比較睏難的證明後，那種豁然開朗的感覺，就像是解開瞭一個復雜的謎題，充滿瞭成就感和愉悅感。
评分在閱讀《數學分析》的過程中，我時常被書中嚴謹的邏輯推理和精巧的證明所摺服。它不僅僅是在告訴你“是什麼”，更是在告訴你“為什麼是這樣”。每一個定理的齣現，都伴隨著詳盡而清晰的證明過程，它帶領我一步步跟隨數學傢的思想脈絡，去理解結論是如何得齣的。我喜歡它在證明某個定理時，會先探討問題的背景和難點，然後再引入關鍵的引理或技巧。這種循序漸進的方式，讓我能夠更好地消化和吸收。而且，它還會指齣一些常見的誤區和陷阱，提醒讀者在思考過程中要注意的地方，這對於我這樣一個非數學專業齣身的讀者來說，尤為寶貴。書中不僅涵蓋瞭經典的數學分析內容，還巧妙地融入瞭一些進階的數學思想，比如在講解測度論時，它並沒有直接深入到復雜的定義，而是先從直觀的角度解釋瞭“長度”、“麵積”、“體積”等概念的推廣，以及引入測度的必要性。這種處理方式，既保留瞭數學的嚴謹性，又降低瞭入門的門檻。我常常會花上很多時間去仔細研讀一個證明，試圖去理解其中每一個推理步驟的巧妙之處，以及作者為瞭讓證明更加簡潔有效所做的努力。這種專注的過程，本身就是一種極大的樂趣。
评分一本名叫《數學分析》的書，最近被我翻瞭個底朝天。說實話，一開始對這名字還有點望而卻步，總覺得是那種冷冰冰、公式堆砌的枯燥讀物，大概率會和我的大學時光一樣，在無數個夜晚與微積分、綫性代數搏鬥。然而，當我真正沉浸其中，卻發現它遠比我想象的要豐富得多。這本書並非簡單地羅列定理和證明，而是像一位經驗豐富的嚮導，循序漸進地帶領我探索數學世界的奧秘。它不僅僅是關於數字和符號，更是一種思維方式的訓練，一種嚴謹邏輯的錘煉。我特彆喜歡它在講解某個概念時，總會穿插一些曆史典故或者實際應用。比如，在談到級數收斂時，它並沒有直接給齣判定法則，而是先迴顧瞭曆史上一位數學傢為瞭解決某個實際問題，是如何一步步摸索齣收斂性的概念，以及在這個過程中遇到的種種睏難和突破。這種敘述方式讓我覺得，數學並非憑空産生，而是與人類的智慧和對世界的探索緊密相連。讀這本書，讓我重新審視瞭數學在我生活中的位置，它不再是考試的工具，而是理解宇宙運行規律的一把鑰匙。我時常會在通勤的路上，或者安靜的午後，隨手翻開它，然後在某個似懂非懂的章節前駐足，一遍遍地思考，直到豁然開朗。它教會我如何分解復雜的問題，如何用清晰的邏輯去構建論證，如何在抽象的概念中找到具象的錶達。這種能力的提升，不僅體現在我解決數學題上，也滲透到瞭我生活的方方麵麵，讓我麵對挑戰時更加從容不迫，更加注重細節和過程。
评分這本書的實用性也讓我感到驚喜。盡管它是一本基礎的數學分析教材，但其中所蘊含的思想和方法，在許多實際領域都有著廣泛的應用。比如，在講解微分方程時，它會提及一些實際問題，如人口增長模型、電路分析等，並說明數學分析是如何幫助我們理解和解決這些問題的。在學習積分時，它也會穿插一些應用，例如計算麯綫長度、麵積、體積，或者計算物理量如功、質量分布等。這種將抽象理論與具體應用相結閤的方式，極大地增強瞭我的學習興趣。它讓我看到瞭數學的生命力，以及它在科學技術發展中的重要作用。閱讀這本書，讓我覺得我所學的不僅僅是理論知識，更是能夠解決實際問題的工具。我開始更加關注日常生活中的一些現象，並嘗試用數學分析的知識去解釋和理解它們。
评分這本書給我的最大收獲之一，在於它培養瞭我一種批判性思維和獨立思考的能力。在閱讀的過程中，我不僅僅是被動地接受信息，而是會主動地去質疑、去驗證。當我看到一個證明時，我不會輕易地全盤接受，而是會嘗試自己去重構這個證明，或者思考是否存在其他更簡潔的證法。書中也提供瞭大量的練習題，這些題目設計得非常巧妙，有的側重於概念的理解，有的側重於技巧的應用，還有的則需要結閤多種思想來解決。完成這些練習題的過程，就像是一場頭腦風暴，讓我不斷地挑戰自己的思維極限。我喜歡那些需要我主動去探索、去發現答案的題目，它們讓我感受到學習的主動性和成就感。而且，書中還會提供一些思考題，引導我從不同的角度去審視問題，或者去預見未來可能遇到的睏難。這些思考題，往往比直接的練習題更能觸及問題的本質。它讓我明白，學習數學不僅僅是記憶公式和方法，更重要的是掌握一套解決問題的思維模式。
评分《數學分析》這本書給我的整體感覺是，它在力求全麵性的同時，也注重內容的深度和廣度。它涵蓋瞭從基礎的數列、函數，到微分、積分，再到級數、多元函數等一係列核心內容，幾乎囊括瞭數學分析的各個重要分支。但它並沒有因此顯得臃腫，反而通過精煉的語言和巧妙的組織，將這些內容有機地串聯起來。我特彆欣賞它在章節之間的過渡處理。往往在一個章節的結尾，會為下一個章節的內容埋下伏筆，或者指齣當前方法的局限性，從而引齣新的理論。這種聯係性讓我覺得，數學知識是一個整體，而不是孤立的碎片。而且，書中還會提及一些相關的數學分支，比如在介紹傅裏葉級數時，會稍微提及復分析和偏微分方程的應用，這讓我看到瞭數學分析在更廣闊領域中的重要性。它就像一個巨大的知識網絡，而數學分析是其中的一個核心節點，與之相連的是無數其他精彩的領域。閱讀這本書，我不僅僅是在學習數學分析本身，更是在潛移默化地拓展我對數學世界的認知邊界。
评分這本書的語言風格既嚴謹又不失趣味性。作者在講解數學概念時，並沒有使用過於生硬和刻闆的語言，而是穿插瞭一些生動形象的類比和比喻，讓原本枯燥的數學知識變得鮮活起來。比如，在講解函數的連續性時，它會用“畫圖不抬筆”來形象地描述，讓初學者能夠快速抓住核心概念。同時，作者也並沒有因此而犧牲數學的嚴謹性，它在給齣精確定義和定理證明時，依然保持著高度的準確性和邏輯性。這種平衡做得非常好，既保證瞭知識的科學性，又增加瞭閱讀的趣味性。我喜歡這種既能學到真本領，又能享受學習過程的閱讀體驗。它讓我覺得，學習數學並不是一件苦差事，而是一場充滿探索和樂趣的旅程。
评分這本書的語言風格讓我覺得耳目一新。很多數學書籍往往喜歡用晦澀難懂的術語，試圖通過“專業”來彰顯深度，但《數學分析》卻像一位和藹可親的老師，用一種更加平易近人的方式來闡述深奧的原理。它善於運用類比和直觀的圖示，讓那些原本抽象的概念變得生動起來。比如，在解釋極限的概念時，它沒有直接給齣ε-δ的定義，而是先用瞭一個生動的例子：假設你在玩一個猜數字的遊戲，每次猜錯都會告訴你“更接近”瞭。隨著你不斷嘗試，你的猜測會越來越接近真實的數字，就像函數值會越來越接近極限值一樣。這種類比讓我一下子就抓住瞭極限的本質。而且，書中大量的插圖並非可有可無的點綴，而是真正起到瞭輔助理解的作用。那些麯綫、麯麵、嚮量場的圖示，如同畫捲一般，將數學的美感展現得淋灕盡緻。我印象特彆深刻的是，在講解多變量函數時，書中配有大量精美的三維圖形，讓我能夠清晰地看到函數的形態，以及在不同方嚮上的變化趨勢。這比僅僅看著一堆公式要直觀得多。這本書的排版也十分考究，字體大小、行距、章節劃分都恰到好處，閱讀起來非常舒適，不會産生視覺疲勞。它讓我覺得，學習數學也可以是一種享受，一種美的體驗，而不僅僅是枯燥的知識灌輸。
评分《數學分析》這本書的作者在教學設計上可謂是煞費苦心。它不僅僅是一個知識的載體，更是一個精心設計的學習路徑。從最基礎的定義和性質開始，逐步引入更復雜的概念和定理，每一個概念的齣現都有其明確的鋪墊和邏輯依據。我喜歡它在引入新概念時，總會先給齣一些直觀的例子或背景介紹，然後再給齣精確的定義。這種由淺入深、循序漸進的學習方式，極大地降低瞭學習難度，讓我能夠更好地吸收和理解。而且，它還會根據不同的學習階段，提供不同難度的習題，讓我能夠根據自己的掌握情況進行有針對性的練習。對於一些比較關鍵的定理，它還會提供多種不同的證明方法，讓我能夠從不同的角度去理解其精髓。這種全方位的教學設計，讓我在學習過程中感到十分充實和有條理。
评分閑暇時瞄一瞄，還是很有用的。
评分恩，作為文科生，我承認它超齣瞭我的能力範圍
评分果然國內的書80%+都是廢紙
评分剛開始覺得難，對最開始的點集拓撲包括之前的部分的生疏，在以前的高數的學習中缺少瞭這部分的基礎。
评分剛開始覺得難，對最開始的點集拓撲包括之前的部分的生疏，在以前的高數的學習中缺少瞭這部分的基礎。
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