实验班提优辅导教程（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国少年儿童出版社

作者:

出品人:

页数:110

译者:

出版时间:2012-1

价格:12.80元

装帧:

isbn号码:9787500757658

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深入探索：现代高等数学核心概念与应用精讲 本书概述： 本书旨在为具有一定微积分基础的理工科学生、研究生以及需要进行深入数学学习和研究的专业人士，提供一套全面、系统且富有洞察力的高等数学进阶教程。我们聚焦于传统高等数学课程中深度不足、或在实际应用中需要更精细化处理的核心理论，力求在概念的严谨性与应用的直观性之间达到完美平衡。本书不仅是理论的梳理，更是思维方式的训练，引导读者跨越“会做题”的阶段，真正理解数学背后的逻辑结构与美感。 第一部分：实数系统与拓扑基础的深化 本部分将读者从基础的实数轴概念提升到更抽象的度量空间和拓扑空间的一般理论，为后续高级分析打下坚实的理论基石。 第一章：完备性与序列的极限 本章详细剖析了实数集的完备性公理，并阐述了它在保证数列收敛性中的关键作用。我们将深入探讨柯西序列、有界闭子集序列的性质，并引入了巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）的严谨证明及其在微分方程解的存在性论证中的应用。特别地，我们会对比有理数域与实数域在拓扑性质上的根本差异，并通过构造性方法展示实数的完备化过程。 第二章：基本拓扑概念的建立 超越欧几里得空间的基础，本章引入了开集、闭集、邻域、内点、外点、边界点的通用定义。我们详细讨论了拓扑空间的定义、基、子基，以及如何从度量空间自然地导出拓扑结构。重点内容包括紧致性（Compactness）的定义及其与可数紧致集、列紧致集的关系，特别是在非有限维空间中的重要性。我们将阐释 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的意义，并推广至更一般的拓扑空间。 第二章习题特色： 设计了若干“非标准空间”的拓扑练习，例如可数补拓扑（Cofinite Topology）和缝合空间（Wedge Sum），以训练读者摆脱直觉上的依赖，纯粹基于公理进行推理。 第二部分：多元函数微积分的严谨展开 本部分超越了对偏导数和梯度的机械计算，着重于理解多变量函数在更高维度空间中的行为，特别是微分的本质。 第三章：多元函数的微分与微分形式 本章的核心在于泛函微分（Total Derivative）的概念。我们将严格区分偏导数、方向导数与全微分。雅可比矩阵的引入，不仅是计算工具，更是局部线性近似的精确表达。本章详述了多元函数的链式法则在不同坐标系变换下的普适性表达，并引入了微分形式（Differential Forms），将外微分、楔积等概念引入，为后续的矢量分析和几何积分做铺垫。 第四章：隐函数定理与反函数定理的几何意义 我们将从代数层面深入探讨隐函数定理和反函数定理的证明，并着重剖析其背后的几何直觉：在局部范围内，函数映射如何保持或改变空间的维度和定向。我们将详细分析这些定理的失效条件（奇异点），并通过奇异性理论的初步思想来解释这些现象。 第四章应用侧重： 探讨了拉格朗日乘子法在约束优化问题中的严格推导，并将其置于对偶问题的框架下进行审视。 第三部分：黎曼-斯蒂尔切斯积分与勒贝格积分的桥梁 传统的黎曼积分在处理不连续函数或在函数空间上进行分析时表现出局限性。本部分将引导读者迈向更强大的积分理论。 第五章：黎曼-斯蒂尔切斯积分的理论构建 本章详细介绍了黎曼-斯蒂尔切斯积分的定义、上和与下和、可积性的判别准则。我们将重点分析被积函数 $f(x)$ 和权函数 $g(x)$ 的性质对积分存在性的影响。此外，本章阐述了黎曼-斯蒂尔切斯积分在概率论中计算期望值的自然地位。 第六章：勒贝格测度论的初步接触 为理解勒贝格积分，我们需要测度论的基础。本章从直觉出发，定义了 $mathbb{R}$ 上的长度（Lebesgue Measure），并讨论了可测集的性质，如可加性、可测集的代数运算。我们将通过“有理数集”等反直觉的例子，解释为什么需要超越传统的区间测度。 第六章核心： 介绍简单函数（Simple Functions）及其积分，并阐述勒贝格积分与黎曼积分在连续函数上的等价性，以及勒贝格积分在处理不连续函数时的优越性。 第四部分：序列与级数的深入分析——一致收敛与函数空间 本部分关注函数序列和级数的收敛性质，这是泛函分析的起点。 第七章：一致收敛性及其对运算的影响 本章强调了一致收敛与逐点收敛的本质区别。我们将证明一致收敛如何保证极限运算、微分运算和积分运算可以相互交换位置——这是微积分中许多重要定理（如泰勒级数展开的有效性）成立的关键。本章引入了等度连续性（Equicontinuity）的概念，并阐述了 Arzela-Ascoli 定理在函数空间中的重要地位。 第八章：傅立叶级数的收敛性理论 本章以傅立叶级数作为应用实例，探讨更复杂的函数空间的收敛问题。我们将详细讨论狄利克雷（Dirichlet）条件，以及在什么条件下傅立叶级数能够收敛到原函数。重点分析了均方收敛（$L^2$ 收敛）的概念，并将傅立叶级数的展开视为函数在特定基函数集合上的投影，为后续的希尔伯特空间理论埋下伏笔。 第五部分：常微分方程的定性分析 本部分从解的存在性与唯一性出发，转向对解的长期行为和稳定性的定性研究。 第九章：解的存在性与唯一性定理的提升 除了皮卡-林德洛夫（Picard-Lindelöf）定理的基本形式，本章将研究常微分方程组（ODE Systems）在更一般函数空间上的解的存在性，特别是利用Peano存在性定理的弱化条件。我们将利用比较定理（Comparison Theorem）来分析解的单调性和上下界。 第十章：线性系统与稳定性理论 本章专注于线性常微分方程组 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的求解，重点分析矩阵 $A$ 的特征值和特征向量对系统解轨线的影响。我们将引入相平面分析（Phase Plane Analysis），对二维系统的平衡点进行分类（结点、鞍点、焦点、中心），并使用李雅普诺夫（Lyapunov）函数方法来判断非线性系统的稳定性，避免直接求解复杂的非线性方程。 结语： 本书的结构设计旨在引导读者完成从“计算者”到“分析者”的转变。每一章的理论推导都紧密联系着实际问题，确保读者在掌握抽象概念的同时，也能洞察其在工程、物理、经济建模中的实际价值。通过对这些核心概念的系统性学习，读者将具备应对更深层次数学挑战的理论素养与分析能力。

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我一直觉得，学习不仅仅是掌握知识，更是培养一种解决问题的能力。这本书，在这方面给我留下了非常深刻的印象。它不是那种简单地堆砌知识点或者公式的书，而是更侧重于培养我的思维方式。在讲解每一个新概念的时候，它都会先抛出一个“问题情境”，让我去思考，去探索，而不是直接告诉我“应该是什么”。然后，它会引导我一步一步地分析这个情境，如何运用已有的知识去解决它。我尤其喜欢书中对一些复杂问题进行“拆解”的部分。它会把一个大的、看起来很吓人的问题，分解成几个小的、 manageable 的子问题，然后逐个击破。这种方法，不仅让我能理解问题的本质，更重要的是，它教会了我一种系统性的解决问题的思维模式。我发现，这种能力不仅仅适用于学习，在生活中遇到一些难题时，我也会不自觉地运用书里学到的方法去分析和解决。这种“潜移默化”的成长，让我觉得这本书的价值远超出了仅仅是“辅导学习”的范畴。它更像是一个良师益友，在潜移默化中塑造着我的学习态度和思维习惯。

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这套教程简直是我学习生涯的一场及时雨！我一直感觉在学校里学到的知识，虽然打下了基础，但总觉得有些地方不够深入，或者说，老师们讲课的速度和深度，很难满足我想“抠细节”的心。尤其是到了初中阶段，很多知识点就像一个巨大的迷宫，基础课就像是入口，而我总想找到那条直通核心的捷径，把那些“为什么”都弄明白。这本书，我真心觉得，它就是那个“向导”。我拿到书后，最先被吸引的是它那种循序渐进的讲解方式，不像有些辅导书直接抛出难题，而是从最基本、最容易被忽视的原理讲起，然后层层递进，让我能一点点把那些看似复杂的问题拆解开。而且，书里的例题设计得太巧妙了，每一个例题都像是在为后续的难点铺路，看完例题再去做练习，那种豁然开朗的感觉，真的太棒了！我曾经在某个数学概念上卡了好几天，翻遍了学校教材和一些普通辅导书都找不到突破口，最后偶然看到了这本书的某个章节，里面的解释让我瞬间茅塞顿开，原来之前是自己钻了牛角尖，没有抓住问题的本质。这种“拨云见日”的学习体验，对于提升学习自信心太重要了。我现在感觉自己对某些学科的理解，已经远远超过了同龄人的平均水平，这种进步，这本书功不可没。

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坦白说，我是一个对学习内容充满好奇，但又常常因为找不到正确的路径而感到焦虑的学生。学校里的课程，虽然能覆盖大部分的考点，但总觉得缺少了那么一点“深度”和“趣味性”。我渴望能够对所学的知识有更深入的理解，甚至能够触及到一些更前沿的领域。这本书，恰恰满足了我的这种“求知欲”。它不仅仅是在讲解教材上的内容，更是在拓展我的视野。它会适当地引入一些与教材内容相关的延伸知识，或者是一些最新的研究成果，让我了解到，我所学的知识是如何与更广阔的世界联系起来的。而且，书里的语言风格非常活泼，不像一些枯燥的学术著作，它会用一些引人入胜的例子和比喻，让那些原本可能让人望而生畏的知识，变得生动有趣。我记得有一次，我在读关于某个科学原理的章节时，作者用了一个非常形象的比喻，让我一下子就明白了那个复杂的概念，那种“豁然开朗”的惊喜感，至今记忆犹新。这本书，让我觉得学习不再是一件枯燥的任务，而是一场充满探索和发现的精彩旅程。

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我个人在学习上一直追求的是那种“举一反三”的能力，而不只是死记硬背。很多时候，学校里的教学节奏太快，老师们讲解的例题也相对单一，导致我做题的时候，一旦遇到稍微变化一点的题型，就束手无策了。这本书，可以说彻底改变了我的这种困境。它的题目设计太有水平了！不仅仅是数量多，关键在于题目的“质量”非常高。它会把一个核心的考点，用十几种甚至几十种不同的形式呈现出来，让你从各个角度去理解它。我做完书里的一个章节，感觉自己对那个知识点的掌握，已经到了“滚瓜烂熟”的地步，即使再复杂的变式题，我都能从中找到熟悉的影子，然后迎刃而解。而且，书中还特别设置了一些“陷阱题”或者“易错题”的分析，这对于我这种容易犯粗心大意错误的学生来说，简直是福音！它会明确地指出我们常犯的错误，然后给出正确的思路和方法，这让我能够在未来的学习中，有意识地避开这些“雷区”。现在，我在考试中，面对那些“千变万化”的题目，不再感到恐慌，反而会有一种“来者不拒”的自信，因为我知道，我在这本书上花的每一分努力，都在为我积累应对各种挑战的“弹药”。

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说实话，我刚开始接触这本书的时候，心里是有点忐忑的。我是一个基础相对薄弱的学生，很多时候，别人学一遍就能懂的东西，我可能需要花费好几倍的时间去消化。我害怕这类“提优”性质的书籍会让我更加挫败，以为它们都是为学霸准备的，里面充斥着我根本看不懂的内容。然而，事实完全出乎我的意料。这本书的开头部分，虽然是“提优”，但它非常贴心地从很多基础概念重新梳理，并且用一种非常清晰、易懂的语言进行阐述。我感觉作者就像一个非常有经验的老师，他知道我在哪里会遇到困难，所以他会在讲解的时候，提前给我打好“预防针”，或者用类比、生活化的例子来帮助我理解那些抽象的概念。最让我惊喜的是，它并没有直接给我答案，而是引导我思考，让我自己去发现解题的思路。比如，在解决某个物理问题时，它会一步一步地引导我分析已知条件，寻找隐含的公式，最后我恍然大悟，原来解题的关键点在这里！这种“授人以渔”的教学方式，让我感觉自己不仅仅是在被动地接收信息，而是在主动地构建知识体系。这种学习过程，比单纯地背诵公式、记住定理要有效得多，也让我对学习本身产生了更大的兴趣。

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