复变函数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

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页数:0

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出版时间:1900-01-01

价格:9.0

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isbn号码:9787040003154

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卷首语：在数学的无垠疆域中遨游 我们生活的世界，是如此的丰富多彩，充满了各种奇妙的现象。从行星的运行轨迹到水流的漩涡，从电磁波的传播到热量的散佚，这些看似互不相关的物理过程，往往都能被抽象为严谨的数学语言所描述。而当我们深入到那些微观的、精妙的结构之中时，我们便不可避免地会遇到一个强大的数学工具——复数。 本书并非一部关于复变函数的专著，它将目光投向了更广阔、更基础的数学结构，旨在为读者构建一个坚实的分析学基石，并引导其领略纯粹数学的魅力与力量。我们相信，只有理解了数学语言的内在逻辑与严密性，才能更好地驾驭那些复杂的应用领域。 --- 第一章：实数系的精细雕琢与极限的审慎考察 本章是通往高等数学殿堂的“入门砖”。我们不再满足于对实数直观的理解，而是着手于对其进行公理化的构建。从皮亚诺公理出发，我们探寻自然数如何孕育出整数，再通过有理数的稠密性定义出实数域 $mathbb{R}$。这里强调的不是计算技巧，而是严谨的逻辑推导。 极限，作为微积分的灵魂，在本章中受到了最细致的审视。我们不仅仅讨论 $lim_{n oinfty} a_n$ 的存在性，更深入探究 $epsilon-N$ 语言的精确含义。序列的收敛与发散，函数的连续性（开区间与闭区间上的定义及性质），都被置于严格的逻辑框架下进行检验。我们详细探讨了单调有界定理的强大威力，以及柯西收敛准则在处理无限过程中的不可替代性。 重点分析了“一致收敛”的概念，将其与“逐点收敛”进行对比，揭示了为什么在进行极限运算时，交换求和符号与求极限符号的位置需要格外谨慎。傅立叶展开的初步构想，也以一致收敛的视角被引入，预示着后续对函数空间的探索。 中值定理的讨论，从洛必达法则的严密证明到泰勒公式的精确表达，展示了如何利用微小的局部信息来推断函数的全局行为。我们花了大量篇幅处理了在某些“病态”函数中，直觉可能产生的误导，强调了数学推理的不可替代性。 --- 第二章：度量空间与拓扑的萌芽：结构之美 在完成了对实数轴的精细分析后，我们将视野拓展到更一般的空间——度量空间。我们定义了距离函数（度量），并探讨了它如何自然地继承了实数系中的“接近”概念。 本章的重点在于抽象化。我们引入了开球、闭球、开集、闭集等基本拓扑概念。这些概念的优美之处在于，它们允许我们在不依赖于坐标系的情况下，讨论空间的内在结构。例如，一个函数的连续性，可以用邻域的概念在任意度量空间中得到普适的定义，这比传统的 $epsilon-delta$ 语言在更广阔的背景下更具表达力。 我们详细研究了紧致性的概念。在 $mathbb{R}^n$ 中，海涅-博雷尔定理给出了紧致集的直观描述，但在一般的度量空间中，我们将通过利阿普诺夫（Liapunov）的覆盖定义来理解其内在的有限性。紧致性的重要性在于，它保证了连续函数的最值定理和依函数序列的收敛性（Arzela-Ascoli 定理的初步探讨）。 此外，我们还探讨了完备性。为什么巴拿赫代数和许多重要的分析理论都要求空间是完备的？我们通过构造性地引入柯西序列，证明了在完备空间中，任何“有希望收敛”的序列都能真正收敛，从而保障了解的“存在性”。 --- 第三章：赋范空间与线性算子的剖析：泛函分析的序章 如果说第二章是关于“点”的结构，那么第三章则开始关注“线”和“面”——即线性结构。我们将度量空间的概念与向量空间的线性运算结合起来，构建了赋范线性空间。范数（Norm）不仅提供了距离，还提供了长度和角度的概念。 本章的核心是对线性算子的研究。在有限维空间中，线性算子可以用矩阵表示，其性质相对清晰。然而，当我们将研究对象转向无限维空间时（例如函数空间 $C[a,b]$），矩阵的概念便失效了。 我们引入了有界线性算子的概念，并探讨了其重要性：一个算子的有界性等价于其在原点处的连续性。我们详细分析了巴拿赫空间（完备的赋范线性空间）的特性，并引入了开映射定理和闭图像定理等基本但威力强大的工具，这些定理是处理无限维线性问题的关键。 一个重要的讨论点在于强收敛与弱收敛的区分。在许多物理应用中，函数序列的积分可能收敛，但函数本身可能并不收敛，这促使我们必须精确区分不同的收敛模式，为后续更高级的泛函分析（如希尔伯特空间理论）打下概念基础。 --- 第四章：测度论的基石：为积分学赋予真正的严谨性 黎曼积分，虽然在初学微积分时非常直观，但在处理不规则函数或处理极限操作时，其局限性暴露无遗。本章将带领读者进入勒贝格测度论的世界，这是现代分析学的核心基石。 我们从直觉出发，探讨如何更有效地“测量”集合的大小。我们构建了外测度，并展示了如何利用可加性公理来定义可测集。这一构建过程是极其精妙的，它通过限制测度的定义范围，成功避开了集合论中的“不可测集”悖论。 随后，我们定义了勒贝格积分。不同于黎曼积分对被积函数连续性的高要求，勒贝格积分从更简单的函数（简单函数）开始，通过递增逼近的极限来定义积分。我们详细证明了勒贝格控制收敛定理（DCT）——这是现代分析中最常用、最强大的工具之一，它精确地说明了在何种条件下可以安全地交换积分与极限的顺序。 本章的深入讨论还包括测度空间的完备性，以及Lp 空间的引入。$L^p$ 空间作为一类重要的函数空间，其完备性（即它们是巴拿赫空间）是傅里叶分析和偏微分方程理论能够顺利展开的关键前提。 --- 结语：通往应用之门的视野 本书在测度论的坚实基础之上戛然而止，意在为读者提供一套用于严格论证的工具箱。我们所构建的实分析、拓扑基础和测度论框架，是所有现代高等数学分支的共同语言。 掌握了这些概念，读者便获得了理解概率论的严格基础（概率空间即是特殊的测度空间）、泛函分析的强大力量、傅里叶分析与调和分析对函数空间的深入洞察，以及偏微分方程解的存在性与唯一性证明的钥匙。 本书旨在培养读者的数学直觉与逻辑的严密性，而非仅仅停留在对特定方程的求解上。它是一次对数学思维本质的深度探索。

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我作为一个对数学史和数学思想发展历程比较感兴趣的读者，拿到这本《复变函数》，更多的是想了解这门学科是如何一步步发展起来的。这本书在内容编排上，给我一种“溯本求源”的感觉。它从复数的概念讲起，娓娓道来，让我能够理解为什么需要引入复数，以及复数在早期数学发展中扮演的角色。书中对于欧拉、高斯、柯西等数学巨匠的贡献，都有所提及，这让我在学习数学知识的同时，也能感受到数学家们探索未知、突破思维界限的魅力。我尤其喜欢作者在讲解解析函数时，所引用的那些几何直观的解释，比如保角映射的概念，这让我觉得抽象的数学理论并非空中楼阁，而是有着深刻的几何意义。虽然我可能不会深入到每一个定理的严格证明，但我被书中所展现出的数学思想的连贯性和深刻性所吸引。这本书让我觉得，学习数学不仅仅是记住公式和定理，更重要的是理解它们背后的思想逻辑和发展脉络，它让我看到了数学的“生命力”。

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坦白说，我拿到这本书时，内心是有点忐忑的。我一直觉得“复变函数”这个词听起来就很高大上，充满了复杂的公式和抽象的推理，感觉离我的日常接触到的数学领域有些遥远。然而，这本书的语言风格比我想象中的要温和许多。作者在引入每一个新概念时，都会先给出一个生动的比喻或者一个简单的例子，这大大降低了我对新知识的畏惧感。我尤其喜欢书中关于“多值函数”的讨论，以及如何通过“黎曼曲面”来统一处理这些函数。这个概念让我觉得非常有趣，它拓展了我对函数定义的理解。虽然有些章节的计算确实需要花费不少时间和精力去消化，但我发现，每当我成功理解了一个复杂的定理或者解决了一个练习题，都会有一种巨大的成就感。这本书让我意识到，即使是看似晦涩的数学理论，只要方法得当，也能够被理解和掌握。它让我对学习更复杂的数学工具充满了信心，也让我看到了数学在解决实际问题中的强大潜力。

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说实话，我一开始抱着一种“挑战一下自己”的心态来翻阅这本《复变函数》。我之前接触过一些工程数学的课程，对于实变函数和一些基础的微分方程还算熟悉，但“复变”这个概念，总是让我觉得有点摸不着头脑，好像是进入了一个更加广阔、更加抽象的空间。这本书的排版很舒服，大量的图示和例子，是我这种需要“具象化”思考的人的福音。我尤其喜欢那些关于复变函数几何解释的部分，比如复数的乘法如何对应于旋转和伸缩，这让我原本觉得抽象的复平面变得生动起来。作者在讲解拉普拉斯变换和傅里叶变换的复变函数应用时，真的让我眼前一亮，我之前只知道这些变换在信号处理和物理学中非常有用，但这本书详细地阐述了它们在复变函数理论中的根基，这让我对这些工具的理解提升了一个层次。虽然有些章节的证明推导过程，我还需要反复对照公式和讲解才能完全理解，但整体来说，这本书的逻辑非常清晰，循序渐进，即使是初学者，只要肯花时间，也能慢慢领略到复变函数的美妙之处。

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这本书的封面设计，老远看过去就带着一股严谨又神秘的气息，深蓝色的背景，金色的烫字，像是一扇通往未知数学世界的门。我承认，我最初是被它“复变函数”这个名字所吸引，它听起来就比普通的微积分、线性代数要高深莫测，带着一种“高阶”的味道。我是一个对数学理论本身充满好奇的人，总觉得那些抽象的符号和公式背后，隐藏着世界的运行规律。拿到这本书，翻开第一页，扑面而来的不是简单的计算题，而是一系列精妙的定义和定理，让我立刻进入了一种沉思的状态。我反复琢磨着那些关于解析函数、柯西-黎曼方程的描述，试图去理解它们在几何上、物理上可能代表的意义。虽然我还没有深入到每一个证明的细节，但仅仅是阅读这些基础概念的铺垫，就足以让我感到一种智力上的挑战和满足。我尤其喜欢作者在解释概念时，时不时地穿插一些历史背景的介绍，这让我觉得这些数学家们并非生活在真空中，而是也在不断探索和碰撞中创造出了这些伟大的理论。这本书，似乎不仅仅是一本教科书，更像是一本数学思想的史诗，让我对接下来的学习充满了期待。

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我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时我正在为我的研究项目寻找一些理论支撑，听说复变函数在某些领域有着不可忽视的作用。拿到这本书后，我首先注意到的是它强大的理论体系和严谨的数学语言。书中的内容涵盖了复数域上的函数论，从最基础的复数运算、复变函数定义，到复积分、留数定理，再到更深入的解析延拓和黎曼曲面。我最感兴趣的部分是关于积分变换的章节，特别是如何利用留数定理来计算一些复杂的积分，这在工程计算中有着极高的实用价值。这本书的数学推导非常详尽，每一步都给出了清晰的理由，让我能够追踪整个逻辑链条。对于我来说，这本书就像一本宝库，里面蕴藏着解决很多实际问题的数学工具。我发现，很多在其他学科中看似难以解决的问题，在复变函数的框架下，都能找到 elegant 的解法。这本书的深度和广度都令我印象深刻，我认为它不仅适合数学专业的学生，对于需要深入理解复杂系统和进行高级工程分析的工程师来说，也是一本不可或缺的参考书。

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