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出版者:化学工业

作者:阎章杭 编

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:2004-6

价格:20.00元

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isbn号码:9787502554927

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• 应用数学
• 数学基础
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现代分析学导论：理论与应用前沿探索 本书旨在为高等院校数学及相关理工科专业学生提供一套系统而深入的现代分析学理论框架，并侧重于其在当代科学与工程领域中的前沿应用。 本书不局限于传统微积分的重复阐述，而是聚焦于度量空间理论、泛函分析基础、概率测度论的现代视角，以及偏微分方程的理论解法与数值逼近。全书内容组织严谨，逻辑清晰，力求在理论深度与实际应用广度之间取得完美平衡，是拓宽学生数学视野、培养严谨数理思维的理想读本。 --- 第一部分：拓扑与度量空间——现代分析的基石 本部分作为全书的理论起点，详细阐述了现代数学分析所依赖的基础结构——拓扑空间与度量空间。我们摒弃了过于初级的集合论回顾，直接进入问题的核心。 第一章：度量空间基础与收敛性 本章从完备性概念入手，强调了巴拿赫不动点定理在解决积分方程和常微分方程初值问题中的核心作用。详细讨论了等度量空间（Isometry）的概念及其在几何学中的意义。我们引入了紧致性的概念，并证明了在有限维赋范空间中，紧致性与闭有界性等价的海涅-博雷尔定理。关键内容包括：可分性（Separability）的定义及其与可数紧致性的联系，为后续的函数空间分析打下基础。 第二章：拓扑空间与连续性 超越度量空间，本章引入了更具一般性的拓扑空间。重点讲解了开集、闭集、邻域的定义及其相互关系。深入探讨了连续函数在拓扑空间中的特征化描述（原像下保持开集）。引入了连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）的拓扑定义，并阐述了紧致性在紧致豪斯多夫空间（Compact Hausdorff Spaces）上的重要性质，例如魏尔斯特拉斯极值定理的推广形式。此外，本章还讨论了商空间的构造及其拓扑性质的保持或改变，为深入理解流形概念做铺垫。 第三章：函数空间概述 本章开始将分析的视角转向无穷维空间——函数空间。重点介绍了$L^p$ 空间的构建，着重分析 $L^1, L^2, L^infty$ 空间的性质。讨论了三角不等式的推广形式——闵可夫斯基不等式。详细论证了 $L^2$ 空间的希尔伯特空间结构，包括内积、范数以及正交性的概念。本章的难点和重点在于理解收敛性在函数空间中的不同含义（点态收敛、一致收敛、依范数收敛）。 --- 第二部分：泛函分析基础——无限维的几何与代数 本部分是全书的核心，将分析学提升到处理无限维线性空间的高度，揭示了算子理论的深刻结构。 第四章：赋范线性空间与巴拿赫空间 在回顾有限维向量空间的几何特性后，本章直接过渡到赋范线性空间。重点是巴拿赫空间的完备性要求及其在解决实际问题中的必要性。详细分析了开映射定理、闭图像定理和均匀有界原理（巴拿赫-斯坦豪斯定理），这三大定理构成了巴拿赫空间理论的支柱，展示了完备性带来的强大约束力。 第五章：有界线性算子与谱理论入门 本章引入了从一个巴拿赫空间到另一个巴拿赫空间的有界线性算子的概念。强调了算子的“有界性”与“连续性”在无穷维空间中的等价性。本章的重头戏是谱理论的初步探讨。对于算子 $T$，详细定义了正则域、谱点和残余谱。通过分析有限秩算子的谱结构，为理解更复杂的有界算子的谱性质打下直观基础，特别是讨论了算子$I - T$ 是否可逆的条件。 第六章：紧算子与黎兹表示定理 本章聚焦于一类特殊的、行为更接近有限维算子的算子——紧算子（Compact Operators）。深入探讨了紧算子的性质，特别是它们将有界集映成为相对紧集的特性。本章的核心内容是弗雷德霍姆替代性（Fredholm Alternative）在紧算子上的体现，以及在希尔伯特空间中，紧算子的谱结构（除零以外的谱点都是特征值）。对于 $L^2$ 空间，本章还引入了黎兹表示定理，阐明了连续线性泛函如何通过一个特定的“表示算子”来实现，这是构造对偶空间的关键桥梁。 --- 第三部分：测度论与概率分析——现代概率论的数学骨架 本部分从更严格的测度论视角重构了积分概念，为现代概率论和随机过程的精确描述奠定基础。 第七章：勒贝格测度与积分 本章对比了勒贝格积分与黎曼积分的本质区别，重点在于处理“病态”函数。从外测度的构造开始，严格定义了勒贝格可测集和勒贝格测度，并证明了测度的基本性质（可加性、平移不变性）。积分理论方面，深入分析了单调收敛定理和法图定理（Fatou's Lemma），以及至关重要的勒贝格控制收敛定理，这些收敛定理是现代分析中进行极限交换操作的数学依据。 第八章：测度空间与$L^p$ 空间的再认识 本章将测度论推广到一般的测度空间 $(Omega, mathcal{A}, mu)$ 上。详细阐述了积分的推广——对可测函数在一般测度下的积分定义。在此基础上，重新审视 $L^p(Omega, mathcal{A}, mu)$ 空间，并严格证明了Riesz-Fischer 定理，即 $L^p$ 空间（对于 $p ge 1$）的完备性，从而将第七章的直观认识提升到严格的泛函分析层面。 第九章：概率测度与随机变量 将测度论的概念应用于概率论。定义概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$，其中 $P$ 是一个总测度为 1 的测度。系统地定义了随机变量（可测函数）及其分布函数。概率期望被定义为勒贝格积分 $mathbb{E}[X] = int_{Omega} X , dP$。本章详细讨论了随机变量的收敛性（依概率收敛、几乎必然收敛、依分布收敛）与测度空间中函数序列收敛性的对应关系，特别是强大数定律的测度论表述。 --- 第四部分：偏微分方程的变分法与初步求解 本部分将前述的泛函分析工具应用于解决工程和物理学中的核心问题——偏微分方程（PDEs）。 第十章：能量方法与弱解的概念 本章不直接求解具体的 PDE，而是引入变分法的思想，将 PDE 转化为泛函的极值问题。重点阐述了能量泛函的概念。对于经典的椭圆型方程（如泊松方程），详细定义了弱解（或变分解），即不再要求解在经典意义下可微，而是满足一个积分恒等式。这要求解位于特定的 Sobolev 空间中。 第十一章：Sobolev 空间基础 本章介绍了Sobolev 空间 $W^{k,p}(Omega)$，它是泛函分析应用于 PDEs 的核心工具。定义了广义导数（或索伯列夫导数），并讨论了嵌入定理（例如 $W^{1,2}(Omega)$ 嵌入到 $L^2$ 空间）。通过 Sobolev 空间，可以严格地证明许多物理模型中“能量最小化”的解的存在性。 第十二章：变分法解的存在性 本章结合极小化理论和泛函分析的知识，证明了特定变分问题的解的存在性。利用极小化序列的性质和紧性论证（结合 Rellich 紧性定理），证明了针对某些 Coercive（强制的）能量泛函，其极小元即为弱解。本章为深入学习现代 PDE 理论（如有限元方法的基础）奠定了坚实的理论基础。 --- 本书特色： 理论的层层递进： 从拓扑基础到巴拿赫空间，再到测度论和 Sobolev 空间，每一步都为下一步的抽象提供了必要的工具。 应用的聚焦： 理论的引入紧密围绕其在不动点理论、算子理论和概率论中的实际效用展开。 数学的严谨性： 避免了对收敛性等关键概念的模糊处理，所有核心定理均提供完整且详细的证明。 本书适合高年级本科生和研究生作为深入学习泛函分析、现代概率论、理论物理和应用数学的参考教材。

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这本书的出现，简直是拯救了我这个应用数学系的“学渣”！一直以来，我对数学都有种莫名的恐惧感，尤其是那些抽象的概念和复杂的公式，每次看到就头疼。这次选修了这门课，本来已经做好了“听天书”的准备，结果翻开这本《应用数学基础习题课指导》，发现事情并没有我想象的那么糟。它不像市面上那些动辄就堆砌大量理论的教材，而是把重点放在了“习题”上，而且是非常有针对性的习题。我尤其喜欢它对每一章知识点的梳理，虽然是习题指导，但它并没有省略对核心概念的讲解，而且用一种非常通俗易懂的方式来解释，让我这个数学“小白”也能勉强跟上。最让我惊喜的是，它后面的例题解析，详细到令人发指！每一步演算都写得清清楚楚， even the seemingly trivial steps are not omitted, which is incredibly helpful for someone like me who needs to see every detail laid out. It's like having a personal tutor by my side, patiently guiding me through each problem. The author seems to have a deep understanding of the common pitfalls students face and has proactively addressed them within the explanations. This makes the learning process much smoother and less frustrating. I've already started working through the first few chapters, and I can feel my confidence slowly but surely growing. I'm no longer dreading my upcoming lectures, and I even find myself looking forward to tackling new problems. This book has truly transformed my perception of applied mathematics, turning a daunting subject into something manageable and even, dare I say, interesting. The thought process behind solving each problem is meticulously explained, allowing me to not just memorize formulas but to truly grasp the underlying logic. This is crucial for long-term retention and for being able to apply these concepts to new and unfamiliar situations. I can already see how this will benefit me in my future coursework and even in potential career paths where mathematical proficiency is essential. It's a well-structured and thoughtfully designed resource that goes above and beyond what I expected from a typical exercise guide. The clarity of the explanations and the sheer number of practice problems ensure that I have ample opportunity to reinforce my understanding and develop strong problem-solving skills. I am genuinely impressed and grateful for the existence of this book.

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对于我这种一直以来都觉得数学是“洪水猛兽”的学生来说，《应用数学基础习题课指导》这本书简直就是及时雨。它最大的特点在于“化繁为简”，将那些看似高不可攀的应用数学知识，以一种非常接地气的方式呈现在我面前。书中的每个章节都以一个引人入胜的实际问题作为开端，例如“如何预测天气变化”、“如何优化交通流量”等等，然后循序渐进地引入解决这些问题所需的数学工具和方法。我尤其喜欢它在讲解概念时使用的“类比法”，它会用我们日常生活中熟悉的现象来解释复杂的数学原理，比如将“泰勒展开”比作“用更简单的多项式函数去逼近一个复杂的函数”，这种生动的比喻让我一下子就茅塞顿开。而且，书中的例题和习题都设计得非常贴近实际，我能够真切地感受到数学知识是如何在现实世界中发挥作用的。最让我感到欣慰的是，它对每道习题的解析都非常详尽，从解题思路的选择，到每一步的计算过程，再到最终结果的分析，都面面俱到。它还会指出一些常见的解题误区，以及如何去避免这些误区。这种“亦师亦友”的指导方式，让我觉得学习过程不再枯燥乏味，而是充满乐趣和成就感。我甚至开始主动去钻研那些我曾经认为不可能理解的数学难题，这一切都归功于这本书的巧妙设计和作者的良苦用心。

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这本书的价值，远不止于一本简单的习题指导。在我看来，它更像是一本“应用数学思维启蒙手册”。我一直在思考，应用数学到底“应用”在哪里？这本书给出了我想要的答案。它在讲解每一个数学概念时，都会追溯其产生的实际背景，以及它在解决实际问题时所扮演的角色。比如，在讲解“傅里叶变换”时，它并没有一开始就展示复杂的积分公式，而是先从“信号分析”这个应用场景入手，让我们理解为什么需要傅里叶变换，它能够帮助我们做什么。然后，再逐步引导我们去理解其数学原理。这种“情境驱动”的学习方式，让原本枯燥的数学概念变得生动有趣，充满了探索的乐趣。而且，书中的习题设计也极具前瞻性，很多题目都涉及到了当今科技领域的热点问题，比如“机器学习中的优化算法”、“金融建模中的概率模型”等等。这让我提前接触到了未来可能需要掌握的知识和技能，大大增强了我的学习动力和职业规划意识。更令人称道的是，对于一些难点问题，书中提供了多种解题思路和方法，并且会对比分析它们的优劣，这充分展现了作者深厚的学术功底和对教学的热忱。这种“多角度解析，深入浅出”的教学方式，让我对应用数学的理解达到了一个新的高度。

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作为一名应用数学专业的学生，我深知扎实的数学基础对于未来的学习和工作有多么重要。但实话实说，很多时候，理论知识的学习总会伴随着一种“学了也用不上”的迷茫感。《应用数学基础习题课指导》这本书，在很大程度上缓解了我的这种焦虑。它最大的特点就是“以练促学”，每一章节的知识点梳理都极其精炼，直击核心，然后立即进入大量的习题练习。最令人称道的是，它的习题设计非常贴近实际应用场景。比如，在讲到“数值分析”时，它不仅仅给了我们求根的算法，还引导我们去思考如何评估算法的收敛性和精度，以及在实际工程中如何选择最优的数值方法。这种“理论与实践相结合”的学习方式，让我能够更深刻地理解数学概念的内涵，并且能够将学到的知识灵活地运用到解决实际问题中。而且，本书对例题的解析也是极其详尽，不仅仅是给出步骤，更重要的是，它会解释每一步操作的原理和依据。这就像一个经验丰富的导师，在你解题卡壳的时候，不仅告诉你答案，更重要的是告诉你“为什么”和“怎么想”。这种“授人以渔”的教学方式，让我受益匪浅。我发现，通过这本书的训练，我不仅能够更准确地解答题目，更重要的是，我能够举一反三，将类似的数学模型应用到其他问题中。

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刚开始接触这本《应用数学基础习题课指导》的时候，我其实并没有抱太大的希望。毕竟，五年制的应用数学专业，课程本身就不是一般的“好惹”的。我一直以来都觉得，数学这东西，要么就是天生的“数学脑”，要么就是花大量的时间死记硬背。这本习题课指导，听名字就知道，应该又是那种充满公式和推导的书。但是，当我真正翻开它，开始尝试做里面的题目时，我才发现，我之前的想法有多么狭隘。这本书最让我印象深刻的，是它对“概念理解”的重视。它不是简单地给出题和答案，而是在每个章节的开头，都花了不少篇幅来梳理和讲解相关的数学概念。而且，讲解的方式非常独特，它会用一种非常生活化的语言，甚至是一些非常形象的比喻，来解释那些抽象的数学定义。比如，对于“矩阵的秩”这个概念，它就把它类比成一个“信息压缩”的过程，非常有画面感，一下子就让我明白了它的核心意义。更关键的是，它在讲解完概念之后，立刻就给出了相关的习题，并且在习题解析中，反复强调这些概念是如何在实际解题过程中发挥作用的。这种“理论先行，实践巩固”的模式，让我觉得非常有效。我不再是孤立地记忆公式，而是能够理解公式背后的数学逻辑，以及它在解决实际问题中的应用价值。这种“知其然，更知其所以然”的学习体验，是我在其他数学类书籍中很少获得的。

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不得不说，这本书的设计风格让我眼前一亮。它不像市面上很多教材那样，通篇都是密密麻麻的文字和公式，让人望而生畏。这本书的排版非常清晰，留白恰到好处，而且图表的使用也非常丰富和直观。尤其是一些比较抽象的概念，比如向量空间的基和维度，书中通过一些生动的几何图形来展示，让我一下子就理解了那些枯燥的定义。我特别喜欢它在每个章节开头都会有一个“本章概要”，用非常简洁的语言概括了本章的核心知识点，这对于我快速回顾和定位自己薄弱环节非常有帮助。而且，它在例题解析中，不仅给出了标准的解法，还常常会“附带”一些“解题思路提示”或者“易错点分析”，这简直太贴心了！我经常会在做题的时候卡住，不知道从何下手，而这些提示就像一盏明灯，指引我找到突破口。它还会提醒我一些常见的错误，比如符号的混淆、计算的疏忽等等，这让我能够更好地避免犯类似的错误。在做完一些比较有难度的习题后，它还会提供一些“拓展思考”的问题，鼓励我们去思考更深层次的数学原理，或者将所学知识应用到其他更广泛的场景中。这种引导性的提问方式，让我觉得自己在主动学习，而不是被动接受知识。这本书的作者仿佛是一位经验丰富的老师，他深知学生在学习过程中会遇到哪些困难，并提前为我们准备好了应对方案。这种对细节的关注，使得这本书的实用性和指导性都达到了非常高的水平。

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坦白讲，我一直对应用数学这个学科感到有些头疼，总觉得那些复杂的公式和定理离我的实际生活太远了。但当我拿到这本《应用数学基础习题课指导（5年制下）》后，我的看法有了很大的改观。这本书最让我惊喜的地方在于，它将理论知识与实际应用完美地结合了起来。它并没有上来就抛出一堆抽象的概念，而是通过一个个生动有趣的例子，来引出相关的数学原理。比如，在讲解“概率与统计”这一章节时，它并没有直接介绍复杂的公式，而是先从一个关于“股票市场波动预测”的实际案例入手，让我们在理解实际问题的基础上，再去接触和学习相关的统计模型和方法。这种“从实际出发，回归理论”的学习路径，让我觉得学习过程非常有代入感。而且，书中的习题设计也十分巧妙，它们不仅仅是简单的计算题，很多都涉及到了对实际问题的分析和建模。作者在提供解题思路的时候，也会详细地解释为什么要采用某种方法，以及这种方法在现实中是如何应用的。这种“触类旁通”的学习方式，让我不仅掌握了数学技能，更培养了我用数学思维去解决问题的能力。我发现，通过这本书，我不再是孤立地学习数学，而是能够看到数学在各个领域的应用潜力，这极大地激发了我学习的积极性。

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坦白说，第一次拿到这本书的时候，我并没有抱太大的期望。毕竟，“习题课指导”听起来就跟那些枯燥无味的课本没什么两样，甚至可能更难懂。然而，翻阅了几页之后，我发现自己的偏见大错特错了。这本书最大的亮点在于它对“应用”二字的深刻理解。它不像有些书那样，把数学理论讲得高高在上，脱离实际。相反，它选取的例题和习题，都紧密结合了我们应用数学专业在各个领域可能遇到的实际问题。比如，它会涉及到一些关于经济建模、数据分析、甚至是生物信息学方面的小例子，这让我第一次感受到，原来数学并不是只有冷冰冰的数字和符号，它真的可以用来解决现实世界中的各种难题。而且，书中对这些实际问题的背景介绍也相当到位，即使我对某个具体的应用领域不太熟悉，也能通过书中的简要说明，大致理解题目所要解决的核心问题。这种“学以致用”的感觉，极大地激发了我的学习兴趣。更让我惊喜的是，它对于那些容易混淆的概念，比如概率密度函数和累积分布函数，给出了非常清晰的区分和对比。它不仅给出了公式，更重要的是通过图形化的解释和直观的比喻，让我一下子就明白了它们之间的区别。这种循序渐进、由浅入深的学习方式，对于我这种容易被复杂概念绕晕的学生来说，简直是福音。我开始相信，通过这本书的指导，我真的有可能克服我对数学的“畏难情绪”，真正掌握这门学科的精髓。它的内容设计非常人性化，充分考虑到了不同基础学生的学习需求，这一点做得非常出色。

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这本书的编排结构，在我看来，是它最大的成功之处。它不是简单地将习题堆砌在一起，而是非常有条理地将整个应用数学的基础知识点，拆解成了若干个小的模块。每个模块都包含理论概述、精选例题、以及大量的配套习题。这种“由小见大”的教学设计，使得学习过程变得更加容易消化。我尤其欣赏它对例题的选择，每一个例题都非常典型，而且覆盖了该知识点最核心、最容易出错的地方。在例题的解析部分，作者并没有直接给出最终答案，而是详细地剖析了整个解题过程，包括每一步的推理依据、可能遇到的陷阱，以及如何避免这些陷阱。这种“剖析式”的讲解，让我学到的不仅仅是解题方法，更是解题的思路和技巧。我发现，通过阅读这些解析，我能够更清晰地认识到自己在哪些方面存在不足，从而更有针对性地进行复习和练习。此外，书中还穿插了一些“专题讨论”，对一些比较复杂或者容易混淆的概念，进行了深入的探讨。比如，在讲到“线性方程组的求解”时，它就专门用了一个专题来讲解不同方法（高斯消元法、克莱默法则等）的适用范围和优缺点，这对于我理解这些方法的本质差异非常有帮助。这种“精雕细琢”的内容呈现方式，让这本书充满了学习的价值和乐趣。

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拿到这本书的第一感觉就是：它非常“实在”。没有华丽的辞藻，没有虚无缥缈的理论，一切都围绕着“解决问题”这个核心展开。我一直认为，学习数学最重要的是“动手实践”，而这本书恰恰做到了这一点。它以大量的习题作为载体，通过不同难度、不同类型的题目，引导我们去理解和掌握应用数学的各项基本技能。最让我印象深刻的是，它对每一种题型的分析都非常透彻。它不仅仅给出解题步骤，还会深入剖析每一步背后的数学原理，以及在实际应用中可能遇到的各种变体。比如，在讲到“线性代数”的“特征值与特征向量”时，它就通过分析“结构动力学中的振动分析”和“图像处理中的主成分分析”这两个实际案例，来展示特征值和特征向量的物理意义和应用价值。这种“案例驱动，理论支撑”的学习模式，让我能够更深刻地理解抽象的数学概念，并且能够将其与实际问题联系起来。更重要的是，书中提供了很多“开放性”的习题，鼓励我们去思考和探索，而不是被动地接受标准答案。这种“激发创造力，培养独立思考能力”的设计，是我在这本书中最大的收获。它让我不再害怕面对难题，而是能够主动地去寻求解决方案。

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