ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:不明供货商

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页数:656

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出版时间:2004-10-01

价格:220.0

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isbn号码:9780131219335

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• 线性代数
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《向量与空间：代数的维度探索》 本书旨在引导读者深入理解线性代数的核心概念，从基础的向量空间出发，逐步构建起严谨的理论体系。我们摒弃了繁杂的计算技巧，专注于概念的清晰阐释与逻辑的层层递进，旨在培养读者对数学抽象思维的敏感性，以及发现和解决问题的能力。 第一部分：向量空间的基石 我们将从构成线性代数世界的基石——向量开始。首先，我们将详细探讨向量的定义、几何意义以及它们在不同坐标系下的表示。通过丰富的实例，例如物理学中的位移、速度，以及经济学中的资源配置，读者将直观地感受到向量在描述现实世界中的强大能力。 接着，我们将引入向量空间的概念。什么是向量空间？它不仅仅是向量的简单集合，而是一组满足特定代数运算规律的“空间”。我们将深入剖析向量空间的八个公理，并展示如何验证一个集合是否构成向量空间。从最简单的二维和三维欧几里得空间，到更抽象的多项式空间、函数空间，我们将一步步揭示向量空间的普适性和强大之处。 第二部分：线性组合与张成：构建的艺术 线性组合是向量空间中最基本也是最重要的运算之一。我们将详细讲解如何通过标量乘法和向量加法来组合向量，并解释线性组合的几何意义——它描绘了一个由若干基本方向“张成”的子空间。 “张成”的概念是理解向量空间结构的关键。我们将定义张成集合，并探讨一组向量如何张成一个特定的子空间。通过对张成集的深入分析，读者将能够理解子空间的概念，例如直线、平面，乃至更高维度的空间。我们将通过实例，例如如何在二维平面上用两个不共线的向量张成整个平面，或者如何理解一个三次多项式空间是否可以被若干个特定多项式张成。 第三部分：线性无关与基：空间的坐标系 线性无关是向量空间中至关重要的概念。我们将严格定义线性无关的向量组，并阐述其几何意义：一组线性无关的向量，没有一个可以被其他向量表示出来，它们各自贡献着独特的“方向”。 基于线性无关和张成的概念，我们将引出“基”的概念。基是张成一个向量空间所需的最少线性无关向量组。我们将详细讲解如何寻找一个向量空间的基，以及为什么任何一个向量空间都可以找到一组基。基的概念如同为向量空间建立了一套“坐标系”，使得空间中的任何向量都可以用一组唯一的坐标来表示。我们将深入探讨不同基之间的转换关系，以及这种转换如何影响向量的坐标表示。 第四部分：维数：空间的“大小” 在理解了基之后，维数这个概念自然而然地浮现出来。我们将严格定义向量空间的维数，即其基中向量的个数。我们将证明，任何一个向量空间，其维数是唯一的。我们将通过计算不同向量空间的维数，例如 $R^n$ 的维数是 $n$，多项式空间 $P_n$ 的维数是 $n+1$，来加深理解。 我们将进一步探讨子空间的维数。如果一个子空间是另一个子空间的子集，那么其维数必然小于或等于父空间的维数。我们将通过实例，例如一个平面（二维）在一个三维空间中的子空间，或者一条直线（一维）在一个平面中的子空间，来具体说明。 第五部分：线性变换：空间的“形变” 向量空间中的“形变”是如何发生的？线性变换就是描述这种形变的数学工具。我们将定义线性变换，并阐述其核心性质：保持向量加法和标量乘法。我们将通过大量的几何例子，例如旋转、伸缩、投影，来直观理解线性变换的作用。 更重要的是，我们将展示如何用矩阵来表示线性变换。我们将讲解如何根据线性变换的作用于基向量来构造其对应的矩阵，以及如何通过矩阵乘法来复合线性变换。这将为后续的矩阵理论打下坚实的基础。 第六部分：矩阵与方程组：代数的运算 矩阵是线性代数中另一个核心概念，它既是线性变换的载体，也是描述数据和关系的强大工具。我们将详细讲解矩阵的定义、运算，包括矩阵加法、标量乘法、矩阵乘法以及矩阵的转置。我们将重点关注矩阵乘法，并揭示其与线性变换复合的深刻联系。 线性方程组是线性代数最实际的应用之一。我们将从简单的二元一次方程组出发，逐步推广到多元一次方程组。我们将通过高斯消元法等方法，展示如何求解线性方程组。我们将深入探讨线性方程组解的结构，包括唯一解、无穷多解以及无解的情况，并将其与矩阵的秩、零空间等概念联系起来。 第七部分：行列式：空间的“面积”与“体积” 行列式是与方阵密切相关的一个重要概念。我们将通过二维和三维的几何直观，例如行列式可以表示由向量张成的平行四边形（或平行六面体）的面积（或体积），来引入行列式的概念。我们将详细介绍计算行列式的方法，包括代数余子式展开法和行变换法。 我们将深入探讨行列式的性质，例如它与矩阵可逆性的关系，以及行列式在求解线性方程组中的应用（克莱姆法则）。我们还将探讨行列式与矩阵的特征值之间的联系，为后续内容做铺垫。 第八部分：特征值与特征向量：空间的“不变方向” 特征值与特征向量是理解线性变换内在结构的关键。我们将定义特征值和特征向量，并解释其几何意义：特征向量是在线性变换作用下方向不变的向量，而特征值则描述了其方向上的伸缩因子。 我们将讲解如何计算一个方阵的特征值和特征向量，并探讨特征向量组的性质。我们将展示特征值与特征向量在各种应用中的重要性，例如主成分分析（PCA）在数据降维中的应用，以及微分方程的求解。 第九部分：内积空间与正交性：空间的“距离”与“角度” 在之前的讨论中，我们主要关注向量的代数性质。本部分将引入内积的概念，它为向量空间赋予了“距离”和“角度”的概念，从而构建了欧几里得空间。我们将详细定义内积，并探讨其性质，例如对称性、正定性和双线性性。 基于内积，我们将定义向量的长度（范数）和向量之间的夹角。我们将深入探讨正交性和正交基的概念，并讲解如何通过格拉姆-施密特正交化方法来构造正交基。正交性在许多领域都具有重要的意义，例如信号处理和量子力学。 贯穿全书的理念： 概念先行，计算辅助： 我们注重对核心概念的深入理解，计算方法作为理解和应用概念的辅助工具，而非学习的重点。 几何直观与代数严谨相结合： 我们力求通过丰富的几何图示和实例，帮助读者建立直观的理解，同时辅以严谨的数学证明，确保理论的可靠性。 层层递进，循序渐进： 本书内容设计遵循逻辑的自然发展规律，每个新概念都建立在之前的基础上，确保学习过程的流畅性。 理论与应用并重： 虽然本书侧重理论构建，但我们会穿插介绍线性代数在计算机科学、工程、经济学、物理学等领域的经典应用，激发读者的学习兴趣。 通过对本书的学习，您将能够掌握线性代数这一强大的数学工具，不仅能够解决各种实际问题，更重要的是，能够培养严谨的数学思维，提升抽象推理和分析问题的能力，为进一步深入学习高等数学及相关学科打下坚实的基础。

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我最近在准备一个涉及到数据分析的项目，急需快速回顾一下线性代数的应用部分，这本书的内容组织结构，对于这种带着明确应用目的的读者来说，简直是量身定做。它不像那些纯理论的教材，只在最后用几页零散地提一下应用，而是将应用场景融入到了理论讲解的各个环节中。比如在讲解特征值和特征向量的时候，它并没有直接跳到复杂的微分方程，而是先用一个非常贴近实际的例子——主成分分析（PCA）的简化模型——来阐述其物理意义。这种“理论为应用服务”的编写思路，极大地提升了学习的兴趣和效率。我记得有一章专门讲了奇异值分解（SVD），内容详实到令人惊叹，不仅仅是公式推导，连SVD在图像压缩和推荐系统中的基本原理都给出了清晰的框架。虽然是“Elementary”的，但它在应用层面的覆盖广度和深度，完全可以作为一本中级参考书来使用。我甚至发现，对于一些在其他教材中被一笔带过的数值稳定性问题，这本书都有所提及，虽然篇幅不长，但足以提醒读者在实际编程实现时需要注意的地方。总的来说，这本书在理论和实践的桥梁搭建上，做得非常高明，让人在学习数学工具的同时，清晰地看到了这些工具能为我们解决什么样的问题。

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说实话，我拿到这本书的时候，最担心的就是它的习题部分。很多入门教材的习题要么太简单，要么就是纯粹的数值计算，缺乏对思维深度的考察。然而，这本《ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA》的习题集给我带来了惊喜。习题的难度梯度设置得极其巧妙，第一部分是巩固基础概念的直接检验，大多可以在不借助太多计算器的情况下完成，重点在于理解定义和基本定理。接着，习题难度开始逐步攀升，进入到证明题和构造性问题的部分。我特别喜欢那些需要自己构建特定矩阵或向量空间来证明某个性质的题目，这类题目迫使你必须真正内化那些抽象的代数结构，而不是停留在套用公式的层面。更重要的是，书的后半部分附带的“项目式”习题，它们不再是孤立的计算题，而是要求你结合前几章的知识点，去解决一个更宏观的问题，比如求解一个小型线性系统的稳定状态。这些习题的设计显示出编者对教学规律的深刻洞察，他们知道如何通过恰当的练习来引导学生形成“线性代数思维”。对于自学者而言，如果能认真对待每一道挑战性的习题，这本书的价值几乎是双倍的，因为习题本身就是一堂堂深入的微型课程。

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这本书的封面设计得非常简洁大气，那种经典的黑白配，带着一丝学术的严谨感，让人一眼就能感受到它正统的线性代数风格。拿到手里分量十足，纸张的质感也相当不错，翻阅起来手感很舒服，不像有些教材那样轻飘飘的。我尤其欣赏它在内容组织上的清晰度，虽然是入门级别的代数，但作者并没有为了“简单”而牺牲深度。那些基础概念，比如向量空间、线性变换的引入，都处理得非常到位，没有那种生硬的跳转，更像是循序渐进地将你引入这个数学世界。特别是对于初学者而言，很多抽象的概念，比如子空间、基、维数这些，作者似乎很懂得如何用直观的几何图像来辅助理解，这一点非常加分。我花了很多时间去研究开头的几章，发现它对矩阵运算的几何意义的解释，远比我之前看过的任何教材都要透彻。比如讲解矩阵乘法时，它不只是停留在计算层面，而是深入到线性变换的复合操作上，这种深度的挖掘，让原本枯燥的运算过程瞬间鲜活了起来。对于想要打下坚实基础的人来说，这本书绝对是一个极好的起点，它让你在掌握“如何算”的同时，更理解了“为什么这么算”。这种对基础的打磨，是后续学习更高级主题的基石，这本书在这方面做得非常出色，值得细细品味。

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我必须得提一下这本书的排版和清晰度，这对于任何需要长时间阅读数学教材的人来说，都是至关重要的因素。这本书的版式设计可以说是教科书级别的典范。所有的数学符号、公式的编号和引用都处理得井井有条，即便是复杂的矩阵和张量运算，在页面上的布局也让人一目了然，不会出现那种符号挤在一起，让人眼花缭乱的糟糕体验。更值得称赞的是，它在文本的叙述风格上，保持了一种克制而精确的语调。作者很少使用过于花哨的语言，而是用最简洁、最准确的数学术语来描述概念，这在阅读定理的陈述时尤其重要，因为任何模糊的措辞都可能导致对定理理解的偏差。那些关键的定义和定理，都被用粗体或者单独的方框清晰地标示出来，使得复习和查找变得非常高效。我经常需要在一堆参考资料中切换，这本书的目录结构和章节划分的逻辑性极强，很少会迷失在复杂的章节跳转中。这种对阅读体验的重视，使得长时间的学习过程变得相对轻松愉快，极大地减少了因阅读障碍而产生的挫败感，这对于一本硬核的数学书来说，是难能可贵的品质。

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如果要我用一个词来形容这本书给我的整体感受，那可能是“可靠性”。它不像某些新潮的教材那样，为了追求新颖的视角而牺牲了传统的严谨性，也不像一些老教材那样，内容陈旧、与现代计算工具脱节。它成功地在经典与现代之间找到了一个完美的平衡点。作者在介绍完理论后，通常会提供一个简短的段落，探讨该理论在现代计算科学中的地位，比如数值方法对这些理论的实际影响，以及计算机如何处理这些计算的本质。这对于希望将线性代数应用于编程和工程领域的读者来说，提供了非常宝贵的宏观视角。我特别欣赏它对抽象代数结构的温和处理，它没有强行灌输群论或环论的概念，而是把线性代数本身作为一个完备、自洽的系统来展示。这种专注性保证了读者不会在初期就被不必要的复杂性所淹没。它就像一位经验丰富的导师，知道在什么时候应该告诉你“就这样接受它”，什么时候需要你停下来深究背后的原理。这本书的“Elementary”名副其实，它确实为线性代数打下了无比坚实的基础，足以支撑起未来向更深层次数学领域进军的雄心。

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