自考特快·高等数学(一)微积分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:刘德荫

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出版时间:1900-01-01

价格:68

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isbn号码:9787880154320

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《微分方程速成指南》 一、 绪论 在当今科学技术飞速发展的时代，数学作为支撑和驱动各学科发展的基石，其重要性不言而喻。高等数学，尤其以微积分和微分方程为代表，更是物理、工程、经济、生物等众多领域分析和解决问题的核心工具。许多复杂现象的内在规律，都可以通过建立数学模型，进而求解相应的微分方程来揭示。 然而，对于许多正在求学之路上的朋友，尤其是自学考试的考生而言，高等数学的知识体系庞大且抽象，微积分部分内容繁多，而微分方程更是常常被视作一道难以逾越的门槛。大量的概念、公式、定理，以及繁复的计算过程，常常让学习者感到力不从心，难以形成清晰的脉络和扎实的掌握。 本书《微分方程速成指南》正是为应对这样的挑战而生。我们深知，在有限的学习时间内，如何高效、系统地掌握微分方程的核心知识，是许多学习者迫切的需求。本书旨在以一种更加精炼、实用的方式，带领读者穿越微分方程的知识迷雾，直击核心概念，掌握解题技巧，从而在短时间内建立起对微分方程的深刻理解和独立解决问题的能力。 本书的内容设计，并非对所有微分方程的理论进行铺陈，而是精选了最常用、最基础，也是最能体现微分方程思想的类型，并辅以大量精选的例题和习题，力求让每一位读者都能在阅读和练习中，逐步体会到微分方程的魅力和应用价值。我们相信，通过本书的学习，你不仅能够应对考试中的相关题目，更重要的是，能够为将来更深入的学习和研究打下坚实的基础。 二、 线性微分方程及其解法 线性微分方程是微分方程理论中最重要的一类，也是许多实际问题建模的基础。其系数可以为常数，也可以是变量。理解线性微分方程的结构和性质，是掌握微分方程解题方法的关键。 （一） 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的形式通常为： $frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 这类方程的解法比较成熟，最常用的方法是常数变易法和积分因子法。 1. 积分因子法： 我们设法找到一个因子 $mu(x)$，使得方程两边乘以 $mu(x)$ 后，左边可以写成 $frac{d}{dx}(mu(x)y)$ 的形式。 $mu(x)frac{dy}{dx} + mu(x)P(x)y = mu(x)Q(x)$ 如果 $mu'(x)y + mu(x)frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(mu(x)y) = mu'(x)y + mu(x)y'$，那么我们就需要 $mu'(x) = mu(x)P(x)$。 解这个简单的微分方程，得到 $mu(x) = e^{int P(x)dx}$。这个 $mu(x)$ 就是积分因子。 将原方程两边同乘以积分因子 $mu(x)$： $e^{int P(x)dx}frac{dy}{dx} + e^{int P(x)dx}P(x)y = e^{int P(x)dx}Q(x)$ 左边正是 $frac{d}{dx}left(e^{int P(x)dx}y ight)$。 所以，$frac{d}{dx}left(e^{int P(x)dx}y ight) = e^{int P(x)dx}Q(x)$。 对两边积分即可得到 $e^{int P(x)dx}y = int e^{int P(x)dx}Q(x)dx + C$。 最终解得 $y = e^{-int P(x)dx}left(int e^{int P(x)dx}Q(x)dx + C ight)$。 例题分析： 求解微分方程 $frac{dy}{dx} + frac{2}{x}y = x^2$。 这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = frac{2}{x}$，$Q(x) = x^2$。 积分因子为 $mu(x) = e^{int frac{2}{x}dx} = e^{2ln|x|} = e^{ln x^2} = x^2$（取 $x>0$）。 方程两边同乘以 $x^2$： $x^2frac{dy}{dx} + 2xy = x^4$ 左边是 $frac{d}{dx}(x^2y)$。 所以，$frac{d}{dx}(x^2y) = x^4$。 积分得到 $x^2y = int x^4 dx = frac{1}{5}x^5 + C$。 解得 $y = frac{1}{5}x^3 + frac{C}{x^2}$。 2. 常数变易法： 首先，考虑对应的齐次方程 $frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$。 这个方程可以写成 $frac{dy}{y} = -P(x)dx$。 积分得到 $ln|y| = -int P(x)dx + K$，即 $y = Ce^{-int P(x)dx}$。 现在，我们假设非齐次方程的解的形式为 $y = C(x)e^{-int P(x)dx}$，即将常数 $C$ 替换为关于 $x$ 的函数 $C(x)$。 对 $y$ 求导： $frac{dy}{dx} = C'(x)e^{-int P(x)dx} + C(x)e^{-int P(x)dx}(-P(x))$ 将 $frac{dy}{dx}$ 代入原方程 $frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$： $C'(x)e^{-int P(x)dx} - C(x)P(x)e^{-int P(x)dx} + P(x)C(x)e^{-int P(x)dx} = Q(x)$ $C'(x)e^{-int P(x)dx} = Q(x)$ $C'(x) = Q(x)e^{int P(x)dx}$ 对 $C'(x)$ 积分得到 $C(x) = int Q(x)e^{int P(x)dx}dx + K'$。 将 $C(x)$ 代回 $y = C(x)e^{-int P(x)dx}$，就得到方程的通解。 （二） 高阶线性微分方程 当微分方程的阶数大于一，且方程中的未知函数及其导数只以线性组合的形式出现时，我们称之为高阶线性微分方程。 1. 常系数线性齐次微分方程： 这类方程的形式为： $a_nfrac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + cdots + a_1frac{dy}{dx} + a_0y = 0$ 其中 $a_i$ 是常数。 其解法依赖于特征方程。我们设特解的形式为 $y = e^{rx}$。 将 $y = e^{rx}$ 代入方程，得到： $a_nr^ne^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + cdots + a_1re^{rx} + a_0e^{rx} = 0$ 由于 $e^{rx} eq 0$，我们可以将 $e^{rx}$ 约去，得到特征方程： $a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + cdots + a_1r + a_0 = 0$ 根据特征方程的根 $r$ 的不同情况，可以得到通解： 根不重复：若 $r_1, r_2, ldots, r_n$ 是 $n$ 个不相等的实根，则通解为 $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + cdots + C_ne^{r_nx}$。 根重复：若某个实根 $r$ 重复 $k$ 次，则其贡献的通解部分为 $(C_1 + C_2x + cdots + C_kx^{k-1})e^{rx}$。 复根：若一对共轭复根为 $alpha pm ieta$，则其贡献的通解部分为 $e^{alpha x}(C_1cos(eta x) + C_2sin(eta x))$。 例题分析： 求解微分方程 $y'' - 5y' + 6y = 0$。 特征方程为 $r^2 - 5r + 6 = 0$。 解得 $r_1 = 2, r_2 = 3$。 所以，通解为 $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$。 2. 常系数线性非齐次微分方程： 方程形式为： $a_nfrac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + cdots + a_1frac{dy}{dx} + a_0y = f(x)$ 其通解为 $y = y_h + y_p$，其中 $y_h$ 是对应的齐次方程的通解， $y_p$ 是非齐次方程的一个特解。 求特解 $y_p$ 的方法主要有两种： 待定系数法：适用于右端项 $f(x)$ 具有特定形式（如多项式、指数函数、正弦余弦函数或它们的组合）的情况。根据 $f(x)$ 的形式，我们猜测 $y_p$ 的形式，然后代入原方程，通过比较系数来确定待定系数。 若 $f(x)$ 为 $P_m(x)$（$m$ 次多项式），则设 $y_p = x^s Q_m(x)$，$Q_m(x)$ 为 $m$ 次多项式，$s$ 取决于 $0$ 是否是特征方程的根及其重数。 若 $f(x)$ 为 $Ae^{alpha x}$，则设 $y_p = Ax^s e^{alpha x}$，$s$ 取决于 $alpha$ 是否是特征方程的根及其重数。 若 $f(x)$ 为 $Acos(eta x)$ 或 $Asin(eta x)$，则设 $y_p = x^s(Acos(eta x) + Bsin(eta x))$，$s$ 取决于 $pm ieta$ 是否是特征方程的根及其重数。 常数变易法：适用于任何形式的 $f(x)$。对于二阶常系数线性非齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，若齐次方程的两个线性无关解为 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$，则可设特解为 $y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)$。通过解一个关于 $u_1'(x)$ 和 $u_2'(x)$ 的线性方程组，可以求出 $u_1(x)$ 和 $u_2(x)$。 例题分析： 求解微分方程 $y'' + y = cos(2x)$。 对应的齐次方程 $y'' + y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + 1 = 0$，解得 $r = pm i$。 所以，齐次方程的通解为 $y_h = C_1cos(x) + C_2sin(x)$。 右端项 $f(x) = cos(2x)$，且 $2i$ 不是特征方程的根。 根据待定系数法，我们设特解的形式为 $y_p = Acos(2x) + Bsin(2x)$。 则 $y_p' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x)$。 $y_p'' = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)$。 代入原方程： $(-4Acos(2x) - 4Bsin(2x)) + (Acos(2x) + Bsin(2x)) = cos(2x)$ $(-3A)cos(2x) + (-3B)sin(2x) = cos(2x)$ 比较系数，得 $-3A = 1$，$A = -frac{1}{3}$；$-3B = 0$，$B = 0$。 所以，特解为 $y_p = -frac{1}{3}cos(2x)$。 原方程的通解为 $y = y_h + y_p = C_1cos(x) + C_2sin(x) - frac{1}{3}cos(2x)$。 三、 可降阶的微分方程 有些微分方程虽然不是直接的一阶或高阶线性方程，但可以通过变量替换或方程结构特点，将其降为可以求解的一阶或高阶方程。 1. 方程中不含 $y$ 的方程： 形式为 $y^{(n)} = f(x, y^{(n-1)})$。 令 $p = y^{(n-1)}$，则 $frac{dp}{dx} = y^{(n)}$。方程变为关于 $p$ 的一阶方程 $frac{dp}{dx} = f(x, p)$。求解得到 $p(x)$，然后通过积分 $n-1$ 次得到 $y(x)$。 例题分析： 求解 $y''' = cos(x)$。 令 $p = y''$，则 $p' = y''' = cos(x)$。 积分得到 $p = int cos(x)dx = sin(x) + C_1$。 即 $y'' = sin(x) + C_1$。 令 $q = y'$，则 $q' = y'' = sin(x) + C_1$。 积分得到 $q = int (sin(x) + C_1)dx = -cos(x) + C_1x + C_2$。 即 $y' = -cos(x) + C_1x + C_2$。 积分得到 $y = int (-cos(x) + C_1x + C_2)dx = -sin(x) + frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3$。 2. 方程中不含 $x$ 的方程： 形式为 $y^{(n)} = f(y, y^{(n-1)})$。 令 $p = y'$, 则 $y'' = frac{dp}{dx} = frac{dp}{dy}frac{dy}{dx} = pfrac{dp}{dy}$。 更一般地，对于 $y^{(k)}$，可以表示为 $pfrac{dp}{dy}frac{d^2p}{dy^2}cdots$ 的形式。 这种方法可以将 $n$ 阶方程降为 $n-1$ 阶关于 $p$ 和 $y$ 的方程。 四、 变量可分离的微分方程 这是最简单的一类微分方程，其形式为 $M(x)dx + N(y)dy = 0$ 或者可以变形为 $frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$。 直接分离变量： 对于 $frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$，可以写成 $frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$。 对两边积分即可得到解。 例题分析： 求解微分方程 $frac{dy}{dx} = x^2y$。 分离变量得 $frac{dy}{y} = x^2dx$。 两边积分：$int frac{dy}{y} = int x^2dx$。 $ln|y| = frac{1}{3}x^3 + C$。 $y = e^{frac{1}{3}x^3 + C} = Ae^{frac{1}{3}x^3}$，其中 $A = pm e^C$。 五、 精选应用题与解题策略 微分方程的应用广泛，涉及物理学中的运动学、动力学、电路分析，工程学中的振动、传热，经济学中的增长模型等。本书选取了若干代表性的应用题，旨在展示微分方程如何具体地解决实际问题，并总结出解题的关键步骤： 1. 理解问题，识别变量：明确待求量以及影响待求量的因素。 2. 建立数学模型：根据物理规律、化学反应速率、经济增长规律等，将实际问题转化为微分方程。 3. 求解微分方程：根据方程的类型，选择合适的解法，求出通解。 4. 利用初始条件或边界条件确定特解：根据具体问题给定的初始状态或边界约束，求出满足条件的常数。 5. 解释结果：将数学解翻译回实际问题的语言，验证结果的合理性。 六、 总结与展望 本书通过对一阶线性方程、常系数高阶线性方程、可降阶方程以及变量可分离方程的系统讲解，辅以大量例题和解题技巧，力求为学习者提供一条高效掌握微分方程的捷径。我们强调理解核心概念、掌握基本解法、熟悉典型应用，以期让学习者在短时间内获得显著的提升。 微分方程的世界博大精深，本书仅是入门的基石。掌握了这些基础知识后，您将能够更好地理解更复杂的模型，如非线性微分方程、偏微分方程等，为深入学习和解决实际问题打下坚实的基础。愿本书能助您在学习的道路上，披荆斩棘，勇往直前！

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**评价三：** 这本书的特点在于它的“实用性”和“针对性”极强，完全是奔着考试去的。它没有花费太多篇幅去讨论那些在实际考试中很少涉及的理论前沿或者过于抽象的拓扑学概念，而是紧紧围绕高等数学的核心考点，如导数的几何意义、定积分的应用（求面积、体积）、级数收敛性的判定等等。我注意到书中对某些核心公式的推导，采用了多角度的阐述方式，比如某个重要的微积分基本定理，它可能先用直观的几何解释一遍，然后再给出严谨的分析证明，这种“先感性认识，后理性把握”的路径，极大地降低了理解的难度。而且，每章末尾的“知识点回顾与自查”环节设计得非常精妙，它不是简单地罗列公式，而是用问答的形式，强迫你主动回忆和总结，确保知识点没有遗漏。我个人觉得，这本书的价值不在于让你成为一个数学家，而在于让你在有限的时间内，高效地掌握应试所需的全部知识体系，并且确保在遇到变体题目时，也能灵活应对。它就像一个经过精心打磨的“工具箱”，里面装满了解决微积分问题的关键“扳手”和“螺丝刀”。

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**评价五：** 这本书的纸张质量很不错，摸上去有一定的厚度，写笔记也不会透墨，这点对于我这种习惯在书上“涂鸦”的学生来说很重要。从内容深度来看，它似乎更偏向于“深度剖析”而非“广度覆盖”。它没有试图涵盖所有高等数学的细枝末节，而是集中火力攻克那些最核心、最常考的部分。我特别喜欢它对“定积分的应用”这一章的处理方式，它不仅讲解了求面积和体积的标准方法，还专门用一节篇幅讲解了转动惯量和质心这些物理应用，这使得数学知识不再是空中楼阁，而是与实际工程问题产生了联系，极大地激发了我的学习兴趣。相比于我之前看过的另一本参考书，这本书的习题难度梯度设置得更为科学合理，基础题用以巩固记忆，中等难度题用于理解技巧，而最后的几道难题则真正考验综合运用能力，能让人体会到攻克难题后的成就感。总而言之，这是一本对自考生极其友好的教材，它既有理论的深度，又不失实践的温度，非常值得信赖。

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**评价二：** 说实话，我买这本书是有点冲动的，当时急着准备考试，随便在网上搜到一本评价还不错的就下单了。拿到手后，首先感觉是内容排版有点“复古”，黑白为主，图示相对简单，不像现在市面上很多教材那样花里胡哨地用彩色和大量的插图来吸引眼球。但深入阅读后发现，这种朴素反而带来了一种沉静的学习氛围。最让我感到惊喜的是它的习题解析部分，简直是教科书级别的详细。很多我卡壳的地方，回头看书里的解析，往往能找到那种“豁然开朗”的感觉。特别是涉及到不定积分的换元法和分部积分法，书里给出了大量的典型案例，从最基础的三角函数换元，到后面复杂的有理函数积分，每一种方法都有专门的章节进行剖析和练习，深度足够。对于自学者来说，这种“手把手”的教学方式太重要了。我感觉这本书的编写者非常了解自考生的痛点，他们知道我们没有老师实时答疑，所以把“答疑”的工作提前融入到了教材本身。唯一的缺点可能就是，对于一些对数学基础特别薄弱的读者来说，开篇的预备知识部分可能略显单薄，需要读者自己去补充一些代数基础。

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**评价四：** 阅读体验上，我必须称赞这本书在逻辑衔接上的流畅度。很多数学书读到后面会感觉知识点像一个个孤立的岛屿，自己必须费力地建立联系。但这本教材很明显地注意到了这一点。例如，在学习多元函数偏导数和全微分时，它会不着痕迹地回顾一元函数导数的链式法则，并自然地引申到更高维度的应用，让人感觉知识体系是“一脉相承”的。书中对“梯度”和“方向导数”的几何意义讲解得非常到位，通过类比我们熟悉的坡度和上升最快方向，成功地将抽象的向量运算转化成了具象的物理概念。这对于我这种更偏向文科背景的自学者来说，是极大的帮助。不过，有一点小小的遗憾，就是书中的例题数据大多比较“干净”，很少出现那种计算量特别庞大的“脏数据”，这虽然有利于理解概念，但实战中遇到需要大量心算或笔算的复杂数值时，可能会稍微有点不适应，毕竟考试时不会总给你完美的数字组合。总的来说，它是一本非常注重概念理解和逻辑构建的优秀读物。

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**评价一：** 这本书的封面设计很有年代感，色彩搭配和字体选择都透露出一种老派的严谨，拿到手里沉甸甸的，感觉内容一定很扎实。我原本对高数就有种“望而生畏”的感觉，尤其是涉及到各种积分和微分的推导过程，总觉得那些公式和定理像是天书一样难以理解。翻开内页，首先映入眼帘的是清晰的章节划分，脉络非常清晰，让人知道每一步学习的重点在哪里。虽然书中的例题和习题数量不少，但它们的设计很巧妙，不是那种纯粹的机械重复，而是循序渐进地引导你思考。比如，对于某个复杂的极限问题，作者并不是直接给出答案，而是通过一系列的小步骤拆解，让你自己去发现其中的规律。我特别欣赏它对概念的解释，用词非常精准，几乎没有模糊不清的地方，这对于打基础至关重要。阅读过程中，我感觉作者像是一位耐心十足的老师，总是在关键节点帮你理清思路，而不是急着赶进度。尤其是一些定理的证明，虽然过程略显繁琐，但每一步的逻辑推导都交代得明明白白，这让我对“为什么会这样”而不是仅仅停留在“是什么”有了更深的认识。总而言之，这本书给我的第一印象是：厚重、严谨、有章法。

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