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出版者:科学出版社

作者:郭文彬

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1997-08-01

价格:19.0

装帧:

isbn号码:9787030057570

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• 群论
• 抽象代数
• 数学
• 高等数学
• 代数学
• 群
• 数学理论
• 拓扑学
• 代数结构
• 数学教材

《群论：抽象结构的探索与应用》 本书并非旨在介绍任何名为“群类论”的特定书籍，而是深入探讨群论这一数学分支的本质、发展脉络及其在现代科学技术各个领域的广泛应用。群论，作为抽象代数的核心分支之一，研究的是具有特定代数结构的集合，即“群”。这种结构由一个集合以及在该集合上定义的二元运算构成，并需满足结合律、存在单位元和存在逆元这四个基本公理。 本书将从群论的基石——群的概念与基本性质——出发，层层深入。我们将首先详细阐述群的定义，通过大量具体的例子，例如整数加法群、非零实数乘法群、对称群、循环群等，帮助读者建立对群结构的直观理解。随后，我们将系统介绍群论中的核心概念，包括子群、陪集、正规子群、商群、同态和同构等。这些概念是理解更复杂群结构的基础，如同建筑的砖石，稳固而必不可少。 在掌握了基础概念之后，我们将进入群的分类与结构理论。本书将介绍有限群的结构理论，特别是西罗定理（Sylow Theorems）及其重要应用，这将使读者能够深刻理解有限群的内部构造。我们将探讨可换群（Abelian groups）的性质，例如有限生成可换群的基本定理。此外，本书还将涉及群论中的一些经典问题和重要结果，如凯莱定理（Cayley's Theorem）的证明及其意义，以及对一些重要群类型的深入剖析，如循环群、对称群、交错群等。 置换群和矩阵群作为两种特别重要的群的实现，本书将给予充分的关注。置换群在组合数学和密码学中有关键作用，而矩阵群则在量子力学、表示论以及线性代数中扮演着核心角色。我们将详细介绍这些群的性质、运算以及它们之间的联系，帮助读者理解抽象概念如何具体化为可操作的数学对象。 本书的另一重要篇幅将集中于群的表示理论。表示论是将抽象的群结构映射到线性空间上的线性变换的理论。它极大地简化了对抽象群的研究，并将其与线性代数的工具联系起来。我们将介绍群表示的基本概念，如不可约表示、特征标理论，以及它们在物理学（特别是量子力学和粒子物理学）和化学（分子对称性分析）中的应用。 除了理论的深度探索，本书还将着重展现群论在各个领域的应用。我们将详细讨论群论在以下几个方面的应用： 密码学： 群论为现代公钥密码体制（如RSA算法）提供了坚实的数学基础。我们将解释有限域上的乘法群如何支撑这些加密算法的安全性和有效性。 量子力学： 群论是描述和理解量子系统对称性的强大工具。从原子和分子的能级结构到基本粒子的分类，群论无处不在，帮助物理学家揭示自然界的深刻规律。 化学： 分子对称性是化学中理解化学键、光谱学性质和反应机理的关键。群论提供了一套标准的语言和方法来分析分子的对称性，从而预测和解释它们的化学行为。 组合数学与图论： 对称性在组合对象和图结构的研究中扮演着重要角色。例如，在计算图的同构性、设计组合实验以及分析算法的复杂度时，群论的工具非常有用。 物理学其他分支： 除了量子力学，群论在经典力学、凝聚态物理、粒子物理学等领域也发挥着不可或缺的作用，例如在描述晶体结构、相变和基本粒子相互作用时。 本书在编写过程中，力求语言严谨，逻辑清晰，同时通过丰富的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，培养分析和解决问题的能力。无论是数学专业的学生，还是对物理、化学、计算机科学等领域感兴趣的研究者，都能从本书中获得深刻的启发和实用的工具。本书旨在引领读者走进群论的奇妙世界，领略抽象数学的优雅与力量，并体会它如何深刻地影响着我们对现实世界的理解。

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这本《群类论》的书脊设计得非常沉稳大气，初次翻阅时，我立刻被它那严谨而又充满历史感的文字风格所吸引。作者似乎对数学史有着深入的洞察，开篇并非直接抛出晦涩的定义，而是娓娓道来群论概念是如何从伽罗瓦的工作中逐步萌芽、成熟，并最终演变成我们今天看到的宏大理论体系。特别是关于对称性在不同数学分支中的体现，作者的处理方式极其细腻，通过一系列生动的类比，将抽象的群作用概念具象化，让我这个非专业背景的读者也能大致领会其精髓。书中对基本群的构造与分类，特别是置换群和自由群的部分，讲解得层层递进，逻辑链条清晰无比。尽管材料本身具有相当的抽象性，但作者在解释核心定理时，总能巧妙地穿插一些历史背景或直观的几何图像作为支撑，使得原本可能枯燥的推导过程变得富有启发性。我尤其欣赏它在处理群同态和同构时所展现的耐心，它没有急于求成，而是通过大量的例子和细致的分解，确保读者能够扎实地掌握这些基础工具。读完前三分之一，我感觉自己不仅是在学习一个数学分支，更是在参与一场对数学美学和逻辑构建的深度探索，那种感觉非常棒。

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翻开这本书，最让我眼前一亮的，是它在处理抽象代数核心概念时的那种近乎诗意的严谨。它不是那种冷冰冰的教科书，而更像是一位经验老到的数学家，带着你一步步走向真理的殿堂。书中对“范畴论”的引入，处理得非常精妙，它没有一开始就用复杂的函子和自然变换来压倒读者，而是先从集合论的视角，巧妙地过渡到更高级别的结构视角。特别是关于“积”和“余积”的阐述，作者用了非常巧妙的对偶性思维来串联，这让我对数学中结构间的内在联系有了全新的认识。这本书的排版也非常人性化，关键的定义和定理加粗处理，旁注中的补充说明恰到好处，既不会打断阅读的主线，又能及时提供必要的深化信息。我注意到，在处理一些高度抽象的概念，比如阿贝尔范畴时，作者引用了来自拓扑学和代数几何中的例子作为参照，这极大地拓宽了我的视野，让我意识到“群”的概念是如何渗透到整个数学大厦的基石之中的。这不仅仅是一本关于群的教材，更像是一本关于“结构思维”的入门指南。

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阅读这本书的过程，对我来说，是一场与智力上的“极限挑战”，但这种挑战是令人愉悦的。它的深度远超出了我最初的预期，尤其是在深入到有限群的高级结构，如群作用的庞大分类理论时，难度陡增。作者对Sylow定理的证明部分，采用了非常经典的、近乎教科书式的清晰路线，每一步的逻辑跳跃都处理得非常谨慎，配有详尽的中间步骤说明，这对于我这种需要反复琢磨才能吃透的读者来说，简直是福音。但是，我必须承认，书中对“泛性质”的讨论部分，需要极高的专注力。它所依赖的预备知识要求很高，如果你对近世代数的基础不牢固，可能会感到吃力。书中几乎没有“灌水”的内容，每一个定理的提出都承载着巨大的理论重量。当我终于攻克了关于nilpotent群和solvable群的结构分解时，那种豁然开朗的感觉，是其他任何教材都无法比拟的。这本书更像是为那些已经有一定基础，渴望深入理解数学底层逻辑的“进阶学习者”量身定做的，它要求你思考，而不是仅仅记忆公式。

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这本书的语言风格是极其古典和精确的，带着一种旧时代数学家对完美逻辑的执着追求。它在描述代数结构时，几乎没有使用任何现代的、偏向于应用层面的术语，而是专注于挖掘概念的本质。例如，在讲解“自由群”与“生成元”的关系时，作者大量引用了图论中的概念来辅助说明，这种跨学科的融合视角，使得原本冰冷的代数概念焕发出了勃勃生机。我发现，这本书在“表示论”的引入上处理得尤为出色，它没有把表示论仅仅当作是群论的一个应用分支，而是将其视为理解群结构的一种内在工具。作者花了大量篇幅讨论酉群和置换群的不可约表示，并通过具体的例子展示了如何通过矩阵运算来揭示群的内在对称性。这种从结构到表示，再到应用解析的完整闭环，让我体会到数学工具链的强大和美妙。对于那些希望深入理解如何将抽象代数应用于物理或编码理论的读者来说，这本书提供的理论基石是极其坚实可靠的。

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说实话，当我合上《群类论》时，我感觉自己像刚完成了一次漫长而艰苦的攀登。这本书的特点是“厚重”，它不追求速度，而强调深度和完整性。它不是一本可以在咖啡馆里轻松阅读的读物，它需要你全神贯注地投入时间与精力。我特别喜欢书中对“同调代数”与群结构关系的点睛之笔，尽管这部分内容在整本书中占比较小，但作者的寥寥数语，却精准地指出了群结构在更广阔的代数拓扑领域中的关键作用。书中对某些“普遍构造”的讨论，如“群的张量积”和“挠群”的性质，都处理得极其透彻，毫不含糊。它教会我的不仅仅是群论的知识点，更重要的是一种批判性思考数学定义和证明的方式：什么时候应该接受一个定义，什么时候应该质疑它的完备性。这本书的价值在于它提供了一种坚不可摧的理论框架，足以支撑读者未来对更高阶代数理论的学习，它更像是一份可以反复研读的“数学内功心法”。

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