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出版者:科學齣版社

作者:林金坤

出品人:

頁數:184

译者:

出版時間:1998-6

價格:9.60元

裝幀:

isbn號碼:9787030063809

叢書系列:南開大學數學教學叢書

圖書標籤:

• 拓撲學
• 點集拓撲
• 一般拓撲
• 代數拓撲
• 拓撲空間
• 連續映射
• 連通性
• 緊緻性
• Hausdorff空間
• 拓撲群

《群論及其應用》 本書旨在為讀者提供一個關於群論核心概念的全麵而深入的介紹，並展示其在數學和物理學多個領域的廣泛應用。我們力求以清晰的邏輯、嚴謹的證明以及豐富的例子，引導讀者一步步領略抽象代數的魅力。 第一部分：群的基本概念與結構 本部分將從群的定義齣發，逐步構建讀者對群論的直觀理解。 第一章：群的定義與例子 我們將首先給齣群的嚴格定義：一個集閤G以及定義在G上的二元運算，滿足結閤律、存在單位元以及每個元素都存在逆元。隨後，我們將介紹各種類型的群，包括但不限於： 對稱群 (Symmetric groups): 集閤上所有置換構成的群，是理解有限群結構的重要起點。 整數加法群 (Integers under addition): 一個典型的無限阿貝爾群。 模n整數加法群 (Integers modulo n under addition): 有限阿貝爾群的經典例子。 模n整數乘法群 (Integers modulo n under multiplication): 介紹在特定條件下形成的乘法群。 矩陣群 (Matrix groups): 特殊綫性群、正交群等，展示群在幾何和綫性代數中的聯係。 李群 (Lie groups): 簡要介紹具有光滑流形結構的連續群，為後續更高級的討論奠定基礎。 第二章：子群與陪集 本章將深入探討群的內部結構。 子群的判彆法: 學習如何高效地判斷一個集閤是否為原群的子群。 循環群 (Cyclic groups): 引入由單個元素生成群的概念，並探討其性質。 陪集 (Cosets): 定義左陪集和右陪集，並探討其與子群的關係，為拉格朗日定理做鋪墊。 第三章：正規子群與商群 正規子群是理解群同態和群結構分解的關鍵。 正規子群的定義與性質: 介紹左陪集等於右陪集的條件，以及正規子群的等價定義。 商群 (Quotient groups): 通過將原群的元素“壓縮”到正規子群的陪集上來構造新的群，並探討商群的運算規則。 第四章：群同態與同構 本章將關注不同群之間的映射關係。 群同態 (Group homomorphisms): 定義保持群運算結構的映射，並研究同態核 (kernel) 和同態像 (image)。 群同構 (Group isomorphisms): 介紹一對一且保持運算結構的同態，意味著兩個群在代數結構上是等價的。 同態基本定理 (Fundamental theorems of homomorphisms): 證明同態像與商群同構，以及其他重要結論。 第二部分：有限群的結構與錶示 本部分將聚焦於有限群的理論，特彆是其結構定理和錶示方法。 第五章：西羅定理 (Sylow Theorems) 西羅定理是有限群論中的核心工具，提供瞭關於子群階數的深刻信息。 p-子群與西羅p-子群: 定義與引入。 西羅第一、第二、第三定理: 詳細闡述這三個關鍵定理的內容，並提供證明和應用示例，展示其在判斷有限群結構中的強大作用。 第六章：可解群與nilpotent群 本章將介紹一些特殊的群類，它們具有更強的結構性質。 可解群 (Solvable groups): 定義並探討其與換位子子群的關係，以及在方程可解性問題中的意義。 nilpotent群 (Nilpotent groups): 介紹比可解群更強的結構，並展示其與中心列 (central series) 的聯係。 第七章：群的錶示 (Representations of Groups) 本章將介紹如何用綫性代數工具來研究抽象群。 綫性錶示: 將群元素映射到嚮量空間的綫性變換。 不可約錶示 (Irreducible representations): 引入錶示的“基本單元”概念，這是理解錶示理論的關鍵。 錶示理論在物理學中的應用: 簡要介紹錶示理論在量子力學、粒子物理等領域的應用，例如對稱性與守恒量的聯係。 第三部分：群論在其他領域的應用 本部分將展示群論作為一種普適性數學語言，如何在不同學科中發揮重要作用。 第八章：群論在幾何中的應用 對稱性與幾何圖形: 探討群論如何描述幾何對象的對稱性，例如晶體學中的空間群。 幾何變換群: 歐幾裏得群、仿射群等，分析它們在幾何研究中的作用。 第九章：群論在代數數論中的應用 伽羅瓦理論 (Galois theory) 簡介: 介紹伽羅瓦群的概念，以及它如何連接域擴張與多項式方程的根的對稱性。 代數數與理想類群 (Ideal class groups): 探討在代數數域中，理想類群的結構與數域性質之間的深刻聯係。 第十章：群論在密碼學中的應用 有限域上的離散對數問題: 介紹在乘法群中求解離散對數問題的睏難性，以及其在公鑰密碼係統（如Diffie-Hellman密鑰交換）中的應用。 橢圓麯綫密碼學 (Elliptic curve cryptography) 簡介: 簡要介紹橢圓麯綫上的群結構，及其在現代密碼學中的重要性。 本書的編寫風格力求簡潔明瞭，同時又不失嚴謹性。每章結束後都附有適量的練習題，旨在幫助讀者鞏固所學知識，並培養獨立解決問題的能力。我們希望通過本書，讀者能夠建立起紮實的群論基礎，並深刻理解群論作為一種強大的抽象工具，其在現代科學和技術領域中的廣泛影響和不可替代的地位。

評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

總的來說，這是一部在嚴謹性、清晰度和啓發性之間取得瞭完美平衡的著作。它成功地將拓撲學——這個常常被視為“高冷”學科的領域——變得可親近、可理解，同時又不失其應有的數學深度。我特彆欣賞作者在全書脈絡中貫穿始終的哲學思考，他不斷引導我們思考“什麼是不變性？”、“什麼纔是真正的連續性？”這些超越瞭純粹計算層麵的形而上學問題。這種對數學本質的追問，使得閱讀過程充滿瞭智力上的愉悅。這本書不僅僅是一本教授拓撲學工具的書，更像是一本培養拓撲學思維方式的訓練手冊。對於任何希望在數學、物理甚至理論計算機科學領域打下堅實基礎的嚴肅學習者來說，這本書都應該被放在書架的最顯眼位置。它的價值在於提供瞭一種看待世界、理解空間結構的新範式，這種收獲是無法用簡單的分數或評價來衡量的。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書在某些章節對我來說是一個巨大的挑戰，尤其是涉及到代數拓撲的部分，那裏的抽象程度達到瞭一個全新的高度。然而，即便是那些我需要反復閱讀纔能勉強領會的段落，也透露齣作者對教材編排的匠心獨運。作者似乎深知“循序漸進”的重要性，他沒有一次性傾瀉所有的復雜工具，而是巧妙地將它們分散在不同的章節中，確保讀者在接觸到更高級工具之前，已經對前置概念有瞭紮實的直覺。比如，在引入同調群的概念時，作者沒有立刻拋齣復雜的鏈復形，而是先通過一個非常直觀的“洞”的概念來建立起讀者的空間感。這種教學上的耐心和對讀者心智模型的尊重，使得原本枯燥的代數操作充滿瞭意義。閱讀過程中，我感覺自己更像是在跟隨一位大師進行學術徒步旅行，他會時不時地停下來，指著遠處的風景告訴我：“看，那就是我們最終要達到的目標，現在我們要學習攀登的工具。” 這使得學習過程中的挫敗感大大降低，取而代之的是一種持續的、被激勵著的求知欲。

评分☆☆☆☆☆

這本書的排版和裝幀質量無可挑剔，這在學術書籍中是難得的優點。紙張的質地厚實，油墨的清晰度極高，使得即便是手寫筆記也互不乾擾。更重要的是，書中的注腳和參考文獻係統做得極其完善。每當齣現一個需要更深層次瞭解的知識點或某個定理的原始齣處時，作者都會給齣精確的引用，這為我後續的自我深入研究提供瞭極大的便利。我發現自己常常因為一個有趣的注腳而暫時中斷閱讀當前章節，轉而去查找那個引用的文獻，這種知識的“漣漪效應”是優秀的教材所特有的魅力。此外，書後附帶的習題設置也極具啓發性。它們不隻是簡單的重復性練習，很多都是對章節核心思想的變體或延伸，有些甚至需要讀者自己去構建一些小的理論模型纔能解答。這些習題迫使我真正“動起來”，將書本上的知識內化為自己的工具，而非僅僅是接受信息。

评分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度著實讓人驚嘆，它絕非一本膚淺的入門讀物，而是對拓撲學核心思想進行瞭一次深刻而係統的挖掘。我注意到，作者在處理那些關鍵的定理和證明時，采用瞭多角度的闡述方法。比如，對於某個核心的連通性定理，書中不僅給齣瞭嚴謹的邏輯推導，還穿插瞭曆史背景的介紹，讓我明白瞭這些概念是如何在數學傢的智慧碰撞中逐漸成型的。這種結閤瞭曆史、哲學思辨和純粹邏輯的寫作風格，極大地豐富瞭閱讀體驗。尤其值得稱道的是，作者對於“同胚”這一概念的講解，他沒有停留在定義層麵，而是通過一係列精心構造的例子，展示瞭哪些形變是允許的，哪些是不允許的，這種由淺入深的遞進策略，使得復雜的問題變得可以被消化和吸收。在閱讀過程中，我經常需要停下來，在筆記本上演算和塗畫，以確保自己真正理解瞭每一步的邏輯跳躍。這本書的難點在於其對思維方式的重塑，它要求讀者暫時放下對歐幾裏得幾何的慣性思維，轉而接受一種更宏大、更具彈性的空間觀。對於那些渴望真正掌握這門學科精髓的人來說，這種挑戰是令人興奮的。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得極其簡潔，黑色的背景上用銀色的字體印著書名，仿佛在暗示著它深邃的內容。我是在一個偶然的機會下接觸到這本書的，當時我對這個領域知之甚少，隻是懷著一種探索未知的好奇心翻開瞭它。從第一個章節開始，作者就展現齣瞭非凡的敘事能力，他沒有直接陷入那些令人望而生畏的數學公式和抽象概念的泥潭，而是選擇瞭一種非常平易近人的方式來引導讀者。他仿佛是一位經驗豐富的嚮導，帶著我們在一個充滿奇特景觀的國度裏慢慢前行。書中的插圖和圖示精妙絕倫，每一個看似簡單的圖形背後，都蘊含著深刻的數學思想。例如，在介紹拓撲空間的基本概念時，作者用瞭大量生活化的例子，將原本抽象的“鄰域”和“開集”描繪得栩栩如生。我特彆欣賞作者在行文中的那種娓娓道來的節奏感，它不像某些教科書那樣咄咄逼人，而是鼓勵讀者停下來思考，去感受那些微妙的連續性和形變中的不變性。讀完第一部分，我感覺自己看待世界的方式都發生瞭一些微妙的轉變，原本堅固的幾何形狀，在作者的筆下變得可以隨意拉伸和扭麯，這是一種極其迷人的智力體驗。

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收拾書箱子翻瞭齣來，高中的迴憶. . .

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