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出版者:北京教育出版社

作者:薛金星

出品人:

页数:353 页

译者:

出版时间:2003年03月

价格:14.8

装帧:平装

isbn号码:9787530309957

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《高等代数基础与应用》 本书旨在为学习高等数学的学生提供一个扎实而全面的基础，尤其侧重于代数结构、线性空间理论及其在具体科学领域的应用。本书内容精炼，逻辑严密，力求在有限的篇幅内覆盖现代数学分析中不可或缺的核心概念和方法。 --- 第一部分：群、环与域——代数结构的基础 本部分深入探讨抽象代数的核心概念，这是理解现代数学，尤其是代数几何、拓扑学和密码学的基础。 第一章 基础概念与群论入门 1.1 集合论回顾与运算 本章首先简要回顾集合、映射（函数）的严格定义，强调单射、满射和双射在后续结构构造中的重要性。引入二元运算的概念及其性质：封闭性、结合律、交换律。 1.2 群的基本定义与例子 严格定义群的四条公理（封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性）。通过大量实例，如整数集在加法下的群、非零有理数集在乘法下的群、对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$ 等，加深对群概念的理解。特别关注有限群和无限群的区别。 1.3 子群与陪集 定义子群的判别准则。重点讲解陪集（左陪集与右陪集）的概念，并严格证明拉格朗日定理：有限群的任何子群的阶整除于群的阶。拉格朗日定理的应用，如费马小定理的代数证明。 1.4 正规子群与商群的构造 定义正规子群的等价条件，并着重探讨其在构造新群中的关键作用。详细介绍商群（或因子群）的构造过程，即对等价类的运算。通过具体例子，如整数模 $n$ 的加法群 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$，使读者直观理解商群的结构。 1.5 同态与同构 定义群同态的性质，特别是核（Kernel）和像（Image）的概念。证明同态的基本定理：第一同构定理（商群同构定理），这是连接群、正规子群和商群的桥梁。讲解同构的意义——结构上的完全一致性。 1.6 循环群与生成元 深入研究循环群的性质。证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$。讨论生成元、阶与群的结构之间的关系。 1.7 置换群的应用 详细分析置换群 $S_n$ 的结构，引入对换、奇偶置换的概念。讲解交错群 $A_n$ 及其性质，为后续讨论五次及以上方程的不可解性埋下伏笔。 第二章 环与域的理论 2.1 环的定义与基本性质 定义环的结构（加法交换群与满足分配律的乘法运算）。区分交换环、单位环。讨论零因子、整环的概念，并举例说明它们之间的包含关系。 2.2 子环、理想与商环 定义子环的判别条件。重点研究理想（作为加法子群且满足吸收性质的子集），并类比群的结构，构造商环。 2.3 主理想环与多项式环 在整环中引入主理想的概念，并特别关注多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是域）。证明 $F[x]$ 具有唯一的除法算法，类比整数除法。利用多项式环的性质，构造有限域（伽罗瓦域）。 2.4 域的定义与构造 定义域的基本性质。通过构造 $F[x]/langle p(x) angle$ 来证明任何不可约多项式都存在一个包含 $F$ 的扩域，使得多项式在该域上有根。这是构造有限域和理解代数数域的关键步骤。 --- 第二部分：线性代数——向量空间与线性变换 本部分是全书的重点和核心，着重于向量空间的抽象描述、线性映射的性质以及矩阵在这些空间中的表示。 第三章 向量空间与子空间 3.1 向量空间的基本结构 严格定义向量空间（定义于任意域 $F$ 上），包括向量的加法和数乘运算的八条公理。提供向量空间的多样化实例，如函数空间、多项式空间等，以拓宽读者的几何直觉。 3.2 线性组合、线性相关性与基 定义线性组合、线性相关和线性无关。这是线性代数中最重要的概念之一。严格定义基（Basis）和维度（Dimension），证明任意向量空间都存在基。理解维度是向量空间“大小”的内在度量。 3.3 子空间与商空间 定义子空间，并讨论子空间的交集与和空间的维度公式（维度的加法公式）。简要提及商空间的概念，其结构与第二章的商群和商环有深刻的代数联系。 3.4 直和与子空间的分解 定义直和（Direct Sum）的严格条件。讲解如何将一个向量空间分解为更小的、结构更简单的子空间的组合，这对于理解线性算子的结构至关重要。 第四章 线性映射与矩阵表示 4.1 线性变换（映射） 定义线性变换的性质，包括对基的线性性保持。讲解线性变换的核（Null Space）和像（Range/Image）。证明秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：$ ext{dim}( ext{Ker}(T)) + ext{dim}( ext{Im}(T)) = ext{dim}(V)$。 4.2 矩阵的定义与线性变换的表示 讲解矩阵如何作为线性变换在特定基下的坐标表示。讨论基变换如何影响矩阵的表示，引入相似变换的概念。 4.3 行列式理论 定义行列式的代数意义（衡量线性变换对体积的缩放因子）。从置换的奇偶性出发，严格定义行列式公式。证明 $det(AB) = det(A)det(B)$。讲解代数余子式、按行（列）展开定理以及克莱姆法则。 4.4 线性方程组的解法 利用行阶梯形、行简化阶梯形（RREF）的概念，系统地讨论线性方程组的解的存在性和唯一性。将线性方程组的求解问题转化为向量空间中子空间的交集问题。 第五章 行列式、特征值与对角化 5.1 特征值与特征向量 定义特征值和特征向量，它们是理解线性算子作用下向量空间结构不变性的关键。计算特征值（通过特征多项式 $det(A - lambda I) = 0$）。 5.2 对角化理论 讨论何时一个线性变换可以被对角化。给出对角化的充要条件（特征向量的完备性）。若能对角化，则利用对角矩阵极大地简化矩阵的幂次计算。 5.3 极小多项式与凯莱-汉密尔顿定理 定义矩阵的极小多项式，并证明它与特征多项式之间的关系。利用极小多项式简化对矩阵函数和矩阵微分方程的分析。阐述凯莱-汉密尔顿定理：每个方阵都满足其自身的特征方程。 5.4 不变子空间与 Jordan 标准型 引入不变子空间的概念。在特征向量不完备（矩阵不可对角化）的情况下，讲解 Jordan 块和 Jordan 标准型的唯一性构造。Jordan 标准型是矩阵理论中对线性算子最精细的分类。 第六章 内积空间与正交性 6.1 双线性型与内积 定义双线性型，并深入研究内积（正定、对称的双线性型）。在实数域和复数域上分别讨论内积空间的定义。 6.2 范数、正交性与投影 利用内积定义向量的范数和距离。定义正交性，并证明任何有限维内积空间都可以找到一组正交基（Gram-Schmidt 正交化过程的详细推导）。讲解正交投影的几何意义和计算方法。 6.3 自伴随算子与谱定理 定义自伴随算子（在复数域上称为厄米特算子）。这是理解傅里叶分析和量子力学的基础。严格证明谱定理：任何自伴随算子都可以被酉矩阵对角化，且其特征值均为实数。 6.4 二次型与正定性 讨论二次型与对称矩阵的关系。给出二次型的标准形（合同变换）。重点分析正定性、半正定性的判定条件（如主子式或特征值判断法）。 --- 适用对象： 本书适合于数学、物理、工程、计算机科学等专业本科生作为教材使用。特别适合于希望深入理解数学理论基础，而非仅停留在计算技巧的读者。 本书特色： 强调从代数结构（群、环）到线性结构（向量空间）的自然过渡，确保读者理解抽象概念背后的深刻联系。理论推导详尽，注重定理的构造性证明，而非简单罗列结论。

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这本书的排版和装帧设计，体现了一种对阅读体验的极致追求。墨色的选择恰到好处，既保证了长时间阅读的舒适度，又在视觉上营造出一种沉稳、专业的氛围。纸张的质感非常细腻，翻阅时没有廉价的摩擦声，给人一种物有所值的感觉。内容布局上，每一章节的知识点被清晰地划分成若干个小模块，模块之间用醒目的标题和适当的留白进行区隔，使得阅读节奏可以完全由自己掌控。我发现，即便是最晦涩的立体几何证明题，在经过这本书的梳理后，逻辑链条也变得异常清晰，如同工整的建筑图纸，每一步推理都有明确的支撑点。更值得称赞的是，它在章节末尾设置的“思维导图回顾”环节，用极简的图示将本章的核心方法和技巧串联起来，这对于考前快速回顾和查漏补缺起到了不可替代的作用。这绝非一本普通的习题集，它更像是一部精心雕琢的艺术品，赏心悦目，又内涵丰富。

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从教学法的角度来看，这本书无疑是走在了前沿。它没有停留在传统“教你做什么”的层面，而是深入地探讨了“为什么这样做”的底层逻辑。书中对一些经典数学定理的引入，常常采用“历史回顾”或“情境再现”的方式，让学习过程充满故事性和代入感。比如，讲述牛顿迭代法时，作者没有直接抛出公式，而是通过一个实际的工程问题引入，让我们体会到数学家在解决实际困难时是如何一步步逼近答案的。这种叙事性的教学方法，极大地激发了我探究知识本源的好奇心。它成功地将枯燥的符号运算过程，转化为一场充满逻辑挑战的探索之旅。此外，本书对于“数学建模”的初步介绍也令人耳目一新，它让高中生提前接触到数学工具在真实世界中的应用潜力，这对于未来选择专业方向也有着潜移默化的引导作用，提升了数学学习的“使命感”。

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这本教材的讲解深入浅出，对于那些在数学学习中感到吃力的同学来说，简直是一剂良药。作者似乎有着洞悉学生思维的“超能力”，总能在关键的地方给出最精准的提示。我尤其欣赏它在基础概念的构建上所花费的心思，没有急于求成地堆砌复杂的公式和模型，而是扎扎实实地从最基本的原理出发，层层递进，让人感觉每一步的跨越都是水到渠成。比如，在处理三角函数图像变换时，它不是简单地罗列平移、伸缩的规则，而是通过生动的几何模型和大量的可视化示例，将抽象的代数运算转化为直观的几何操作，这极大地降低了理解门槛。对于那些习惯于死记硬背公式的学生来说，这本书无疑提供了一种全新的、更具内驱力的学习路径。它强调的是“理解”而非“记忆”，这种教学理念的转变，对于高中阶段打牢数学思维基础至关重要。而且，书中对典型错误案例的剖析也极其到位，那些常常在考卷上失分的地方，都被毫不留情地拎出来进行“手术式”的解剖，让我们清楚地知道自己错在哪里，更重要的是，错在何处。

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我是一个特别注重实战演练效果的学习者，很多数学书讲得再好，如果配套的练习设计跟不上，终究是空中楼阁。然而，这本教材在习题设计上的巧妙性，实在令人拍案叫绝。它不是简单地重复知识点，而是将同一个知识点放在不同情境、不同函数组合甚至不同学科背景下进行考察。例如，在讲解数列的求和问题时，它不会只局限于等差、等比，而是会引入与导数、不等式相结合的复合型题目，确保我们对知识的掌握是灵活且立体的。最让我印象深刻的是，它的例题选择极具代表性，很多都是近年来高考中变式最频繁、最能体现区分度的题型。对于每一道例题的解析，都配备了不止一种解题思路——例如，几何法、代数法、特殊值法——这极大地拓宽了我的解题视野，让我明白数学的魅力在于其多样性，而非单一的固定套路。这种“一题多解”的教学方式，是培养高级数学思维的绝佳途径。

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坦白说，市面上的高中数学辅导书汗牛充栋，但大多数都是在“刷题量”上做文章，缺乏对思维方法的深度挖掘。这本书的独特之处在于，它提供了一套完整的“方法论体系”。它不仅仅是告诉你一道题该怎么做，而是提炼出了某一类题型的共性解题框架，比如，在处理函数最值问题时，它总结了四种核心策略，并给出了每种策略适用的范围和注意事项。这种高度提炼和系统化的总结，使得知识点之间的关联性不再是孤立的点，而变成了一张相互连接的网。当我遇到新的、从未见过的难题时，我不再是手足无措，而是可以迅速在大脑中检索到与之匹配的“方法模板”，然后进行灵活应用和组合。这种构建思维框架的能力，比单纯记住几百道题的解法重要得多，它真正实现了从“解题的奴隶”到“解题的主人”的转变，这对于应对日益灵活多变的高考命题趋势，具有决定性的价值。

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极力推荐给高三的学生!!

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