Mathematical Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026
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具体描述
Among the traditional purposes of such an introductory course is the training of a student in the conventions of pure mathematics: acquiring a feeling for what is considered a proof, and supplying literate written arguments to support mathematical propositions. To this extent, more than one proof is included for a theorem - where this is considered beneficial - so as to stimulate the students' reasoning for alternate approaches and ideas. The second half of this book, and consequently the second semester, covers differentiation and integration, as well as the connection between these concepts, as displayed in the general theorem of Stokes. Also included are some beautiful applications of this theory, such as Brouwer's fixed point theorem, and the Dirichlet principle for harmonic functions. Throughout, reference is made to earlier sections, so as to reinforce the main ideas by repetition. Unique in its applications to some topics not usually covered at this level.
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目录信息
读后感
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用户评价
这本书在对各种积分类型进行梳理和推广时，展现了数学分析的强大包容性和演进性。我之前对积分的理解，仅限于黎曼积分，认为它适用于“光滑”的函数。但《Mathematical Analysis》的讲解，让我认识到黎曼积分的局限性，并介绍了更为一般化的积分概念，如勒贝格积分。作者在引入勒贝格积分时，并没有直接给出复杂的定义，而是从黎曼积分的不足之处入手，例如，黎曼积分无法处理像狄利克雷函数这样处处不连续的函数。然后，他通过“测度”的概念，对“长度”和“面积”进行了更一般的推广，从而构建了勒贝格积分。这种循序渐进的讲解方式，让我逐步理解了勒贝格积分的优越性，它不仅能够积分更广泛的函数，而且在分析学中具有更好的性质，例如，控制收敛定理等。书中还对林奈积分、Stieltjes积分等其他类型的积分进行了介绍，展示了积分概念在不同数学分支中的应用和发展。让我印象深刻的是，作者在解释不同积分类型之间的关系时，清晰地说明了它们之间的包含关系和各自的适用范围。这种对数学概念的梳理和推广，不仅拓展了我的数学视野，也让我看到了数学理论是如何不断发展和完善的。它让我明白了，数学不是静态的，而是一个不断探索和创新的过程。
评分《Mathematical Analysis》在函数逼近与傅里叶级数部分，展现了一种将无限转化为有限，将复杂分解为简单的神奇力量。我之前对傅里叶级数的认识，仅停留在它能够将周期函数展开为三角函数的和。但这本书的讲解，让我看到了其背后更为深刻的数学原理。作者从函数逼近的概念出发，介绍了多项式逼近（如Weierstrass逼近定理）和三角函数逼近（如傅里叶级数）。他细致地解释了如何通过傅里叶系数的计算，将一个复杂的周期函数“分解”成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。这个过程，不仅仅是数学上的推导，更体现了数学在信号处理、图像分析等实际领域的巨大应用潜力。让我印象深刻的是，作者在讲解傅里叶级数的收敛性时，也考虑了不同的收敛类型，例如逐点收敛和一致收敛，以及它们对函数性质的影响。他还讨论了狄利克雷条件，并说明了满足这些条件的周期函数，其傅里叶级数是收敛的。这种对收敛性的细致讨论，让我对函数的“好坏”有了更深刻的认识。它告诉我们，即使是看似“病态”的函数，也可能通过傅里叶级数找到其“规律性”。这种从无限到有限，从复杂到简单的转换，是数学分析的魅力所在，也让我对数学在解决实际问题中的应用有了更广阔的视野。
评分《Mathematical Analysis》给我最深刻的印象，是它如何将抽象的概念具象化，并以此构建一个宏大的数学框架。一开始，我被书中关于集合论和实数性质的介绍所吸引，尤其是柯西序列的引入，它不仅提供了判断序列收敛的一种不依赖于具体极限的工具，更重要的是，它揭示了数学分析的核心思想之一：用“内部”的性质来定义“外部”的属性。这让我意识到，很多我们习以为常的数学对象，其严谨的定义是多么的不容易。例如，当作者开始讲解函数的微分时，他不仅仅停留在导数公式的计算上，而是着重于导数作为“斜率”和“变化率”的几何和物理意义，并进一步探讨了导数在函数的局部近似中的作用。我曾一度困惑于泰勒展开的意义，认为它只是一个无穷级数。但通过这本书的解释，我明白了泰勒展开是将一个复杂的函数在某一点附近用多项式来近似，而且随着项数的增加，近似的精度会越来越高。这种“化繁为简”的思想，在数学中无处不在，而《Mathematical Analysis》则系统地展示了这一点。书中的例子，无论是关于函数在区间上的均匀连续性，还是多变量函数的偏导数和全微分，都让我看到了数学分析在解决实际问题中的强大力量。它不仅仅是理论上的推演，更是对现实世界进行精确描述的有力工具。这种理论与实践的结合，让我对数学的理解上升到了一个新的高度。
评分《Mathematical Analysis》在函数的连续性与可微性之间建立的桥梁，让我对数学的严谨性有了前所未有的认识。我一直以为，只要函数足够“光滑”，那么它就一定是连续且可微的。然而，这本书通过精妙的论证，颠覆了我的这一认知。在讲解连续性时，作者对ε-δ定义的深入剖析，让我看到了数学语言的精确力量。一个看似简单的“接近”，在数学分析的语言中，却需要用两个任意小的正数来精确界定。这种严谨，使得任何一个关于连续性的论断都能够被无懈可击地证明。随后，在引入可微性时，作者并未停留在导数的计算，而是强调了导数作为“局部线性近似”的本质。这使得我能够从几何上直观地理解导数，并理解它在函数行为分析中的重要性。尤其让我印象深刻的是，书中通过构造反例，阐明了连续函数不一定可微，以及可微函数不一定二阶可微等重要的结论。这些反例的设计，并非是为了制造困扰，而是为了精准地揭示概念之间的细微差别和内在联系。例如，作者在介绍一个处处连续但处处不可微的函数时，其构造过程的巧妙，让我惊叹于数学家们如何通过对基本概念的深刻理解，来构建如此反直觉但却逻辑自洽的数学对象。这种对“边界情况”的探索，是数学分析最引人入胜的部分之一。
评分这本书的篇幅虽然宏大，但作者在内容组织上的条理性和逻辑性，却让我在其中畅行无阻，并获得了前所未有的学习体验。《Mathematical Analysis》从实数系的完备性入手，一步步构建起序列、级数、函数极限、连续性、微分、积分等核心概念。每一章的内容都建立在前一章的基础上，形成了一个坚固的逻辑链条。我尤其喜欢作者在引入新概念时，总是会先从直观的理解开始，然后给出严谨的定义，再通过大量的例子来巩固理解。例如，在讲解积分时，作者并没有一开始就给出定积分的符号，而是先介绍了黎曼和的概念，然后通过证明黎曼和的存在性和唯一性，最终引入了定积分。这个过程，让我深刻理解了积分的本质，它并非简单的“面积计算”，而是对函数在区间上累积效应的精确衡量。书中对中值定理的详尽阐述，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，以及它们在证明其他重要定理中的应用，让我看到了数学证明的优雅和力量。我曾经对一些微积分公式的由来感到好奇，而这本书则系统地解答了我的疑问。它不仅教会了我如何计算，更重要的是教会了我“为什么”是这样。这种对原理的深入探究，让我对数学产生了更深的敬畏和热爱。
评分《Mathematical Analysis》在介绍度量空间和拓扑学的初步概念时，为我打开了一个全新的数学世界。我之前对这些抽象的数学概念并不熟悉，但这本书的讲解，以一种循序渐进的方式，将我引向了这个领域。作者从度量空间的概念出发，强调了距离函数的性质（非负性、对称性、三角不等式以及零距离当且仅当两个点重合）。然后，在此基础上，引入了开集、闭集、邻域、收敛序列等基本拓扑概念。我尤其喜欢书中对“紧致性”的讨论，它在度量空间中有着多重等价的定义，例如 Heine-Borel定理，它表明在欧几里得空间中，紧致集等价于闭且有界。这种不同定义之间的等价性，体现了数学的统一性和深刻性。书中还介绍了连通集、路径连通集等概念，它们描述了空间的“连接性”特征。让我印象深刻的是，作者在讲解这些抽象概念时，总是不忘联系到实数系和欧几里得空间等我们熟悉的例子，这使得抽象的概念变得更加易于理解。它让我意识到，这些抽象的数学工具，不仅仅是为了形式上的严谨，更是为了能够更普适地描述各种数学对象的性质。这本书为我后续深入学习拓扑学和泛函分析打下了坚实的基础。
评分阅读《Mathematical Analysis》的过程，更像是一场智力马拉松，而非短暂的冲刺。我并非一开始就对所有内容都能迅速把握，尤其是在函数的极限和连续性章节，我花了大量时间来消化那些ε-δ的证明。起初，我常常被那些量词“对于任意ε”和“存在δ”弄得晕头转向，总觉得它们像是在玩文字游戏。但随着我耐心地跟随作者的引导，一步一步地去构建证明的逻辑链条，我逐渐领悟到，这些看似繁琐的符号和定义，恰恰是保证数学论断的绝对严谨性的基石。举个例子，当作者在证明一个函数在某一点连续时，他会非常细致地展示如何找到一个合适的δ，使得当x到该点的距离小于δ时，函数值到函数在该点的极限值的距离小于ε。这个过程，需要对自变量和函数值之间的关系有极其精准的把握，并且能够将其转化为可以量化的数学语言。我曾反复思考，为什么不能直接说“当x足够接近a时，f(x)就足够接近f(a)”?而《Mathematical Analysis》则通过ε-δ给出了一个精确的、可以被验证的“足够”的定义。这让我对“精确”二字有了更深刻的理解。此外，书中对单调函数和有界函数的性质的探讨，以及它们与可积性的联系，也让我大开眼界。我曾以为函数性质越“好”，就越容易积分，但这本书揭示了，即使是看似简单的单调函数，其积分的严谨定义也需要通过黎曼和来构建，并且需要证明这些和的存在性以及与积分值的相等性。这种层层递进的严谨性，让我对数学的敬畏之心油然而生。
评分这本《Mathematical Analysis》给我带来的冲击，远不止是知识量的堆积，更是一种思维方式的重塑。在我初翻开它的时候，坦白说，我抱着一种对数学严谨性的期待，但远没有预料到其深度和广度。那些看似简单的定义，比如实数的完备性，被层层剥开，展示出其背后精妙绝伦的逻辑结构。作者在引入序列和级数时，并没有停留在“收敛”这一概念本身，而是深入探讨了柯西序列的本质，以及它如何提供了一种不依赖于具体“极限值”的判断收敛的方法。这种抽象的构建，一开始确实让我感到吃力，需要反复阅读，甚至对照着其他资料来理解。但一旦我领会了其中的精髓，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。我开始意识到，数学分析不是死记硬背公式，而是构建一个逻辑严密的体系，在这个体系中，每一个定理的诞生，都源于前置概念的严谨定义和推理。例如，关于连续性的讨论，从ε-δ定义开始，逐步引申到一致连续，再到紧致集上的连续函数的性质，每一步都扎实而有力。这种由点到线、由线到面的推进方式，让我深刻体会到了数学的“生长”过程。我尤其喜欢作者在讲解微分时，对导数作为“局部线性近似”的强调。这不仅解释了导数在几何上的意义，也为后续的泰勒展开等更高级的概念奠定了基础。这本书迫使我走出舒适区，用一种全新的视角去审视那些曾经以为“理所当然”的数学事实。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，引导我穿越迷雾，最终抵达智慧的彼岸。
评分这本书在引入多变量微积分时，展现了一种将单变量分析的精髓推广到更高维度的智慧。我一直认为，将微积分的理论从一维推广到多维是一件自然而然的事情，但《Mathematical Analysis》的讲解，让我看到了其中的复杂性和精妙之处。作者首先介绍了多变量函数的极限和连续性，并采用了与单变量分析类似的ε-δ语言，但增加了路径依赖等新的考虑因素。这让我意识到，在高维空间中，函数的行为会变得更加复杂。紧接着，书中对偏导数和方向导数的讲解，让我理解了函数在不同方向上的变化率。而全微分的概念，则是一种将函数在某一点附近进行线性近似的更为全面的方式，它包含了所有方向上的变化信息。我尤其喜欢书中关于多元函数泰勒展开的讨论，它不仅将单变量泰勒展开的思想推广到了多维，还引入了海森矩阵等新的工具，用于描述函数在某一点的局部性质。例如，在讲解二次型和正定性时，作者通过构造具体的例子，说明了海森矩阵的符号如何决定了函数在该点是局部极小值、极小值还是鞍点。这种对函数局部行为的精确分析，是多变量微积分的核心。它让我想到了优化问题，正是这些理论，为我们寻找函数的最大值和最小值提供了坚实的数学基础。
评分这本书在处理序列和级数的收敛性问题时，展现出了令人惊叹的细致和深度。我并非一个初学者，但在阅读《Mathematical Analysis》的过程中，我发现自己对许多概念的理解都得到了极大的深化。例如，在介绍级数的收敛判别法时，作者并没有直接罗列各种判别法，而是先从柯西判别法等基本原理出发，逐步推导出比c判别法、积分判别法等更强的工具。每一种判别法的使用条件和适用范围都被讲解得十分清楚，并且伴随着大量精心设计的例题，帮助我理解它们是如何应用的。我尤其喜欢书中对“收敛”这个词的严谨定义，它不仅仅是“趋近”，而是指部分和序列的差的绝对值可以任意小。这种对语言的精确运用，是数学分析的魅力所在。让我印象深刻的是，在讨论交错级数的收敛性时，作者介绍了莱布尼茨判别法，并且非常细致地证明了它的正确性，包括如何利用单调有界定理来保证交错级数部分和序列的收敛。这让我体会到，即使是看似简单的判别法，其背后也蕴含着深刻的数学原理。此外，书中关于函数项级数的均匀收敛的讨论，更是让我对“收敛”有了更全面的认识。它不仅关乎级数本身是否收敛，还关乎级数能否与项函数进行极限运算的交换。这种对细节的极致追求，是这本书最吸引我的地方之一。
评分数分课本,一年的"痛苦"回忆
评分这是陈天权老师给我们的教材，我的青春就这样耗在了这本不厚的书上。
评分这是陈天权老师给我们的教材，我的青春就这样耗在了这本不厚的书上。
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