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出版者:第1版 (2005年8月1日)

作者:陶亮

出品人:

页数:159

译者:

出版时间:2005-8

价格:12.0

装帧:平装

isbn号码:9787533733162

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《实值Gabor变换理论与应用》 第一章 信号的表示与变换 本章将深入探讨信号的数学表示方法，以及为何需要对信号进行变换。我们将从信号的基本定义出发，介绍时域、频域等经典信号表示方式，并阐述它们各自的优缺点。在此基础上，我们将引入“变换”的概念，解释变换的核心作用在于将信号从一个域转换到另一个域，以便在新的域中更有效地分析和处理信号的特征。我们将简要回顾傅里叶变换及其对信号分析的重要贡献，例如揭示信号的频率成分。然而，傅里叶变换存在局限性，它无法提供信号在特定时间点上的频率信息，即“时频局部化”能力不足。这为引入更先进的信号变换方法奠定了基础，其中Gabor变换便是应对这一挑战的关键工具。本章的目的是为后续章节深入 Gabor 变换的理论和应用打下坚实的数学和概念基础，让读者理解 Gabor 变换出现的必要性及其在信号分析领域的重要价值。 第二章 Gabor变换的基本原理 本章将聚焦于Gabor变换的理论基石。我们将首先介绍Gabor函数，它是Gabor变换的核心构成单元。Gabor函数是一种高斯包络乘以复指数的函数，这种结构赋予了它同时具备良好时域和频域局部化能力。我们将详细推导Gabor函数的数学形式，并分析其参数（如中心频率、中心时间、带宽等）如何影响其时频特性。 在此基础上，我们将深入阐述Gabor变换的数学定义。Gabor变换是将信号与一系列Gabor函数进行内积运算得到的结果。我们将详细解释这个内积运算的意义，即衡量信号在特定时间点和特定频率上的“匹配度”。我们将展示Gabor变换的数学公式，并解析其参数的意义：中心时间决定了分析窗口在时域中的位置，而中心频率则决定了分析窗口在频域中的位置。带宽则直接影响了时频分辨率的权衡。 我们还会探讨Gabor变换的几个关键性质，例如其线性性质，以及它如何实现信号在二维时频平面上的表示。我们将通过图示和数学推导，清晰地展示Gabor变换如何能够捕捉到信号在特定时间和特定频率上的能量分布，从而为时频分析提供了一种强大的工具。本章将确保读者对Gabor变换的数学原理和核心思想有深刻的理解，为后续深入探讨其应用打下坚实的基础。 第三章 实值Gabor变换的构建与特点 本章将专门深入探讨“实值”Gabor变换的概念及其构建方法。传统意义上的Gabor变换通常使用复数Gabor函数，其变换结果也为复数。然而，在许多实际应用中，我们可能更倾向于处理实数信号，并且对实数域的分析方法更为熟悉。因此，本章将着重介绍如何构建和利用实值Gabor变换。 我们将从复数Gabor函数出发，探讨如何通过取其虚部或实部来构造实值Gabor函数。我们将分析这些实值Gabor函数在时频域的特性，并与复数Gabor函数进行对比，指出它们的异同之处。例如，实值Gabor函数在频域的表示可能不再是单一的频率点，而是具有一定的带宽，这与我们对高斯滤波器的理解更为接近。 本章将详细推导实值Gabor变换的数学形式。我们将展示，通过选择合适的实值Gabor核函数，我们可以得到实值的Gabor变换结果。我们将解释，虽然实值Gabor变换的结果是实数，但它仍然能够保留原信号在时频域的关键信息。我们还会讨论实值Gabor变换在计算效率上的可能优势，以及在某些特定应用场景下，使用实值Gabor变换的必要性和便利性。 此外，本章还将深入分析实值Gabor变换的特点。我们将探讨其在保持信号局部化能力方面的表现，以及与短时傅里叶变换（STFT）等其他时频分析方法相比的优势和劣势。我们将通过数学分析和概念解释，让读者理解为何实值Gabor变换是一种在特定场景下非常有价值的信号分析工具。 第四章 Gabor变换的时频分辨率分析 本章将深入探讨Gabor变换的核心优势之一——其在时频分辨率上的权衡。我们将从海森堡不确定性原理出发，解释时域和频域分辨率之间固有的矛盾。这意味着我们无法同时在时间和频率上获得无限高的分辨率。 本章将详细分析Gabor变换的参数如何影响其时频分辨率。我们将解释，Gabor函数中的带宽参数（通常与高斯函数的标准差相关）直接决定了时域窗口的宽度和频域窗口的宽度。一个较窄的时域窗口可以提供更精细的时间分辨率，但会导致频域分辨率下降；反之，一个较窄的频域窗口可以提供更精细的频率分辨率，但会牺牲时间分辨率。 我们将通过数学公式和图示，清晰地展示这种权衡关系。我们将引入“时频分辨率单元”的概念，解释Gabor变换能够在时频平面上生成一个“矩形”或“椭圆形”的区域，其大小反映了该分析方法的时频分辨率。我们将比较Gabor变换与短时傅里叶变换（STFT）在时频分辨率上的区别。STFT的窗口是固定的，因此其时频分辨率在整个时频平面上是均匀的；而Gabor变换通过调整Gabor函数参数，可以实现一定程度的自适应性，以适应不同频率成分的信号。 本章还将讨论，如何根据具体的应用需求来选择合适的Gabor变换参数，以优化时频分辨率的匹配。例如，对于瞬态信号，我们可能需要更高的时间分辨率；而对于具有清晰谐波结构的信号，我们可能更关注频率分辨率。理解Gabor变换的时频分辨率特性，对于正确解读其分析结果以及选择合适的变换参数至关重要。 第五章 Gabor变换的实现算法 本章将专注于Gabor变换的实际计算和实现方法。我们将从理论计算的步骤出发，逐步过渡到高效的算法设计。 首先，我们将回顾Gabor变换的定义，并分析直接计算的计算复杂度。我们将展示，对信号的每一个时间点和每一个频率点都进行Gabor函数的内积运算，其计算量可能非常庞大，尤其是在处理长信号或需要高分辨率的时频分析时。 因此，本章将重点介绍更高效的算法，以克服直接计算的瓶颈。我们将探讨基于傅里叶变换的快速Gabor变换算法。我们将解释，如何利用傅里叶变换的卷积定理，将Gabor变换的计算转化为乘法运算，从而大大提高计算效率。我们将详细阐述这类算法的步骤，并分析其计算复杂度。 我们还将讨论离散Gabor变换（Discrete Gabor Transform, DGT）的实现。在实际应用中，我们通常处理的是离散信号，因此需要将连续的Gabor变换转化为离散的形式。本章将介绍离散化过程中的一些关键考虑，例如采样率、窗口长度的选择等。 此外，我们还会触及一些更高级的算法，例如多分辨率Gabor变换（Multi-resolution Gabor Transform）或基于快速傅里叶变换（FFT）的聚合算法。这些算法能够进一步提高Gabor变换的计算速度和灵活性，使其能够更广泛地应用于实际工程问题。 通过本章的学习，读者将能够理解Gabor变换的实际计算过程，并掌握实现高效Gabor变换算法的基本方法，为后续的实际应用奠定坚实的技术基础。 第六章 Gabor变换在图像处理中的应用 本章将聚焦于Gabor变换在图像处理领域的广泛而深刻的应用。图像，作为一种二维信号，天然地适合利用Gabor变换进行分析。 我们将首先介绍Gabor滤波器在图像特征提取中的作用。Gabor滤波器具有方向性和尺度选择性，这使得它们能够模拟人类视觉系统对图像的感知方式。我们将详细解释，如何设计不同方向和不同尺度（频率）的Gabor滤波器，以捕捉图像中的边缘、纹理、角点等关键特征。 本章将深入探讨Gabor滤波器在纹理分析中的应用。我们将阐述，如何利用一系列Gabor滤波器对图像进行滤波，并分析滤波器的响应特征，例如滤波响应的均值、方差等统计量，来描述图像的纹理信息。我们将展示Gabor变换如何能够区分不同的纹理类型，例如木纹、布料纹理等。 此外，我们还将讨论Gabor变换在图像分割中的作用。通过提取图像的纹理特征，Gabor变换可以帮助区分图像中的不同区域。我们将介绍如何利用Gabor滤波器的响应来构建特征向量，并将其用于分类器（如支持向量机）以实现图像的分割。 图像复原也是Gabor变换的重要应用方向。我们将探讨，如何利用Gabor变换来抑制图像中的噪声，或者增强图像中的模糊细节。通过在Gabor域中进行滤波或变换，可以有效地分离出信号成分和噪声成分。 最后，本章还将提及Gabor变换在人脸识别等更复杂的图像分析任务中的应用。我们将解释，Gabor滤波器如何能够提取人脸的关键局部特征，从而提高人脸识别的准确性。通过本章的学习，读者将能够深刻理解Gabor变换作为一种强大的图像处理工具，其在纹理分析、图像分割、图像复原等众多领域的重要价值。 第七章 Gabor变换在语音信号处理中的应用 本章将深入探讨Gabor变换在语音信号处理领域的应用。语音信号是一种典型的非平稳信号，其时频特性在不断变化，因此需要强大的时频分析工具来捕捉其精髓。 我们将首先介绍Gabor变换在语音特征提取中的重要作用。语音的音调、音色、韵律等信息都蕴含在其时频表示中。我们将解释，如何利用Gabor变换将语音信号映射到时频平面，并提取出能够代表语音关键信息的特征。例如，我们可以提取语音信号的能量在特定时间-频率区域的分布，或者分析其谐波结构的特征。 本章将重点阐述Gabor变换在语音识别中的应用。我们将讨论，如何将Gabor变换提取的语音特征用于构建语音识别模型。通过分析不同发音的 Gabor 时频模式，我们可以训练分类器来区分不同的音素、词语，甚至句子。我们将解释，Gabor变换如何能够捕捉到语音信号中细微的频率变化和时间上的瞬态信息，这对于提高语音识别的鲁棒性和准确性至关重要。 此外，我们还将探讨Gabor变换在语音分离（例如，从混合语音信号中分离出单个说话人的声音）和语音增强（例如，去除背景噪声，提高语音清晰度）方面的应用。通过在Gabor域中对信号进行滤波或重构，可以有效地分离出目标语音信号，并抑制噪声。 本章还将涉及Gabor变换在声纹识别（识别说话人的身份）和情绪识别（分析语音中的情绪信息）等应用。我们将解释，Gabor变换如何能够捕捉到与说话人身份或情绪相关的细微时频模式，从而为这些高级的语音分析任务提供有力支持。通过本章的学习，读者将能够全面认识Gabor变换在语音信号处理领域的多样化和重要性。 第八章 Gabor变换在其他领域的应用 本章将拓宽 Gabor 变换的应用视野，探讨其在除了图像和语音之外的其他多个重要领域的应用。 首先，我们将介绍 Gabor 变换在生物医学信号处理中的应用。例如，在脑电图（EEG）和心电图（ECG）分析中，Gabor 变换可以用于检测和分析脑电波或心律的异常模式，帮助诊断神经系统疾病或心脏疾病。我们将解释，Gabor 变换如何能够捕捉到这些生理信号中复杂而细微的频率变化和瞬态事件。 接着，我们将探讨 Gabor 变换在通信系统中的应用。在信号调制与解调中，Gabor 变换可以用于分析和提取调制信号的特征，提高通信的鲁棒性和抗干扰能力。例如，在某些复杂的调制方案中，Gabor 变换可以帮助解调器更准确地识别传输的符号。 此外，Gabor 变换还在机械故障诊断中发挥作用。通过分析设备运行产生的振动信号，Gabor 变换可以检测出与特定故障模式相关的时频特征，从而实现对机械设备的早期预警和诊断。 本章还将简要介绍 Gabor 变换在金融信号分析、遥感图像处理，甚至音乐信息检索等领域的潜在应用。我们将解释，Gabor 变换在这些领域的核心价值在于其能够有效地捕获信号在时间和频率上的局部信息，并能适应不同尺度的特征。 通过对这些不同领域应用的介绍，本章旨在展现 Gabor 变换作为一种通用且强大的信号分析工具的广泛适应性，以及其在解决复杂科学和工程问题中的巨大潜力。 第九章 Gabor变换的未来展望与挑战 本章将对Gabor变换的当前发展进行总结，并展望其未来的发展方向和潜在的挑战。 我们将首先回顾Gabor变换在理论和应用层面所取得的成就，并强调其在时频分析领域的关键地位。我们将讨论当前研究的热点，例如如何进一步提高Gabor变换的计算效率，以及如何实现更灵活和自适应的Gabor变换。 未来发展方向之一在于自适应Gabor变换。目前的Gabor变换通常需要预先设定滤波器参数，而自适应Gabor变换能够根据输入信号的特性自动调整滤波器参数，从而更好地捕捉信号的局部特征。我们将探讨自适应Gabor变换的可能实现机制和优势。 另一个重要的研究方向是多维Gabor变换。虽然本章重点介绍了二维图像应用，但Gabor变换也可以扩展到更高维度，例如在处理三维数据（如医学影像的体积数据）时。我们将探讨多维Gabor变换的理论和潜在应用。 同时，我们将讨论Gabor变换在深度学习领域的结合。例如，将Gabor滤波器作为卷积神经网络（CNN）的卷积核，或者利用Gabor变换的原理设计更有效的神经网络结构，以提升模型的性能。 然而，Gabor变换的发展也面临一些挑战。计算复杂度仍然是制约其广泛应用的一个因素，尤其是在处理大规模数据集时。参数选择的经验性也是一个需要克服的问题，虽然自适应方法在一定程度上解决了这个问题，但如何实现更科学和自动化的参数选择仍然是一个开放的研究课题。 此外，理论上的解释性也需要进一步加强。虽然Gabor变换在实践中表现出色，但对其在某些复杂场景下的工作原理的深入理解仍然是未来的研究重点。 本章的目的是为读者提供对Gabor变换未来发展方向的洞察，并鼓励他们在这一领域进行进一步的探索和研究。

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阅读此书，感觉就像是在攀登一座高耸入云的知识之塔，每向上一个台阶，视野都变得更加开阔，但同时也伴随着更高的挑战。本书的难度是毋庸置疑的，它清晰地定位在了博士后或资深研究人员的水平，需要读者对泛函分析和微分几何有相当的预备知识。书中对算子半群理论的深入探讨，特别是关于生成元对随机过程影响的描述，展现了极高的专业水准。作者对半群的Hille-Yosida定理的讨论，结合了概率论的视角，这种跨学科的融合是本书最闪光的地方之一。我曾试图用其他角度去理解某些引理的证明，但最终发现，作者提供的路径是最简洁、最优雅的。书中对时间演化系统稳定性的探讨，特别是引入了Lyapunov函数来分析全局吸引子的构造，非常具有指导意义，使我对自己正在进行的项目有了全新的思路。唯一的不足之处，或许是其定价较为昂贵，这可能会限制一些年轻学者的获取途径，实在令人惋惜。

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这本书的装帧和排版令人印象深刻，大开本的设计使得复杂的公式和图表得以清晰呈现，极大地提升了阅读体验。从内容结构上看，作者似乎将重点放在了构造性方法论上，力求为每一个关键结果提供至少一种可操作的构建路径，这对于习惯于“动手解决问题”的研究生来说，无疑是巨大的福音。书中关于变分原理在稳定性和控制理论中的应用部分，尤其令人耳目一新。它没有采用标准的拉格朗日-欧拉方程推导，而是直接从能量泛函的极小化角度出发，展现了物理直觉与数学严谨性的完美统一。我特别留意了其中关于“存在性与唯一性”证明的章节，作者对边界条件的讨论极其细致入微，区分了不同类型区域下解的性质差异，这在很多教科书中是被一笔带过的关键环节。如果说有什么可以改进的地方，或许是索引的详尽程度，对于查找特定术语的效率有待提高，导致我有时需要在不同章节间频繁跳转以确认某个概念的完整定义链条。

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这部著作在数学物理、信号处理领域的影响力是深远的，它巧妙地将经典分析工具与现代信息理论相结合，构建了一个既严谨又富有洞察力的理论框架。书中对希尔伯特空间理论的阐述，特别是关于紧算子和谱理论的部分，为理解物理系统的演化和信号的分解提供了坚实的数学基础。作者在推导过程中展现了对细节的极致追求，每一个定理的证明都逻辑清晰、层层递进，即便是初涉此领域的读者，也能在反复研读后领悟其精髓。特别值得称赞的是，它不仅仅停留在理论的堆砌，而是深入探讨了这些抽象概念在实际工程问题中的映射关系，例如在量子信息中的应用案例，非常具有启发性。然而，对于那些期待能直接找到大量现成算法代码的工程师读者来说，可能会觉得理论推导略显冗长，缺少直接的“拿来即用”的片段，这要求读者必须具备扎实的数理基础才能真正消化吸收书中的知识体系。总体而言，这是一本对深化理论理解极有价值的学术专著，是数学物理爱好者的案头必备之书。

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这部作品的叙事节奏是极其舒缓而绵长的，仿佛一位经验丰富的智者在娓娓道来一个宏大的科学故事，而不是简单地罗列知识点。书中对于“不确定性原理”的数学化表达，采取了一种不同于传统教科书的视角，它更侧重于函数在不同基（如小波、或具有特定对称性的函数集）下的能量分布和重叠度。作者在处理边界值问题的解的正则性提升时，所采用的迭代技巧非常巧妙，每一步的逼近都伴随着清晰的物理或信息论的解释，避免了纯粹的形式主义陷阱。我个人非常欣赏它对“信息熵”在多维空间中如何被几何结构所约束的分析，这部分内容为理解复杂系统的建模提供了强大的理论工具。虽然整体来看，本书的数学推导严密，但作者在引言部分对研究动机的描述却异常感性，这种“感性导入、理性深耕”的写作风格，使得全书张力十足。如果一定要吹毛求疵，书中关于高维数据分析的应用案例，其可视化和直观性略显不足，与前面严谨的理论推导略有脱节。

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我对这本书的整体印象是，它仿佛带领我进行了一次跨越世纪的学术漫游，从十九世纪末期函数空间概念的萌芽，一直追踪到当代偏微分方程的最新进展。作者叙事的手法非常高明，他没有采用传统的按部就班的章节安排，而是通过一系列历史性的问题和关键的转折点来组织材料，使得原本可能枯燥的数学发展史变得生动有趣。书中的对光滑性假设在不同算子作用下的保持性讨论，尤其精彩，它揭示了不同正则性条件之间微妙的制衡关系。我个人非常欣赏它在讨论卷积结构时，对 Schwartz 分布理论的重新审视，这种回归本源的思考方式，帮助我修正了之前对傅里叶变换在广义函数空间中应用的某些片面认识。尽管篇幅宏大，但作者的笔触始终保持着一种知识分子的克制与优雅，没有过多的夸张或渲染，完全依靠论证的力量来征服读者。唯一的遗憾是，关于非线性演化方程的最新进展讨论略显不足，似乎更侧重于线性系统的完备性。

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