名师视点.高中数学.复数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:东北师范大学出版社

作者:张绍春

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:2002-6-1

价格:7.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787560230993

丛书系列:

图书标签:

• 高中数学
• 复数
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探索代数疆域：一部面向未来数学家的解析函数入门指南 书名：数域的边界：从实数到复数的飞跃与解析函数的构建 作者：[此处留空，或填写想象中的知名数学家姓名] 出版社：[此处留空，或填写一家知名学术出版社名称] ISBN：[此处留空，或填写一组随机数字] --- 内容概要 本书旨在为具备扎实微积分和高等代数基础的读者，系统性地引入和阐述复分析（Complex Analysis）的核心概念与基本理论。我们不满足于将复数仅仅视为二维平面上的代数结构，而是将其提升至一个动态、连续且具有深刻几何意义的数学领域——解析函数的广阔天地。 全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严密性的同时，兼顾读者的直观理解。我们从复数域 $mathbb{C}$ 的拓扑性质和几何直观入手，逐步构建起复变函数理论的基石，最终深入到柯西积分理论的精髓及其在解决经典数学问题中的强大应用。 核心内容涵盖以下几个主要部分： 第一部分：复数域的拓扑与几何基础 (The Topological Landscape of $mathbb{C}$) 本部分着重于奠定复分析的几何直觉。 1. 复数的代数与几何表示： 详细探讨了笛卡尔坐标系、极坐标系在复平面上的对应关系，并引入了共轭、模长、辐角等基本概念。着重分析了复数的乘法在几何上对应旋转与伸缩的意义。 2. 复平面的拓扑结构： 引入开集、闭集、紧集等基本拓扑概念在复平面上的具体体现。重点讨论了黎曼球（Riemann Sphere）的概念，作为理解无穷远点和拓扑紧凑性的关键工具。 3. 基本函数与映射： 分析了基本的复变函数，如指数函数 $e^z$、三角函数 $sin z, cos z$ 在复平面上的映射特性。特别关注了指数函数的周期性及其在复对数函数定义中的关键作用，以及多值函数的初步讨论。 4. 路径与积分的基础： 定义了复平面上的有向曲线（路径）的概念，并对其长度、参数化进行了细致讨论。这是后续积分理论的起点。 第二部分：解析函数的诞生与柯西-黎曼方程 (The Genesis of Analytic Functions) 本部分是全书的核心，定义并深入探讨了复变函数中最关键的性质——解析性（可微性）。 1. 复变函数的可微性定义： 严格定义了函数 $f(z)$ 在某点可微的含义，并与实变函数的可微性进行对比，强调复变函数可微性对方向的要求更为严格。 2. 柯西-黎曼（Cauchy-Riemann, C-R）方程： 详细推导了函数 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ 具有局部可微性的充要条件——C-R 方程。这一部分通过偏微分方程的形式，将复变函数的分析性质与实变函数的微分性质紧密联系起来。 3. 解析函数与调和函数： 证明了在定义域内满足 C-R 方程且偏导数连续的函数即为解析函数。进而探讨了解析函数的实部和虚部均为调和函数（满足拉普拉斯方程）的性质，引入了调和共轭的概念及其在物理学（如电势、流体速度势）中的初步应用。 4. 解析函数的无穷可微性： 证明了如果一个复变函数在某区域内可微一次，则它在同一区域内必可任意阶微分，这是复分析区别于实分析的显著特征之一。 第三部分：积分理论的建立与核心定理 (The Apex of Integration Theory) 本部分将建立积分概念，并引出复分析中最具威力、最深刻的成果。 1. 复变函数的积分： 定义了沿路径的复线积分（Contour Integral），探讨了积分的路径无关性（在简单连通域内），并推导了基本积分公式，如 $int_C z^n dz$。 2. 柯西积分定理（Cauchy's Integral Theorem）： 严格证明了在单连通区域内，解析函数的闭路积分为零的定理。这为后续的积分计算提供了强大的工具。 3. 柯西积分公式（Cauchy's Integral Formula）： 导出并详细解析了柯西积分公式，阐明了函数值在边界上的信息如何完全决定了其内部的点值，这是复分析的“魔力”所在。 4. 导数的积分表示： 基于柯西积分公式，推导出函数高阶导数的积分表示形式，进一步巩固了解析函数的无穷可微性。 第四部分：级数表示与孤立奇点 (Series Representations and Isolated Singularities) 解析函数通常以幂级数或更广义的级数形式展现，本部分关注函数在局部区域内的级数展开。 1. 复幂级数： 讨论复幂级数的收敛半径、收敛域，并证明其在收敛圆盘内的解析性。 2. 洛朗级数（Laurent Series）： 引入洛朗级数，用于描述函数在包含奇点的环形区域内的局部行为。这是分类奇点的关键工具。 3. 孤立奇点的分类： 基于洛朗级数的负幂项，系统性地分类了可去奇点、极点（Pole）和本质奇点（Essential Singularity）。 4. 留数定理（The Residue Theorem）： 这是本书的另一高潮部分。系统阐述了留数（Residue）的概念，并精确证明了留数定理，即闭路积分的值仅依赖于奇点及其留数。 第五部分：留数定理的应用与解析延拓 (Applications and Analytic Continuation) 最后一部分展示复分析在解决实际问题中的巨大威力，特别是对实积分的求解。 1. 利用留数定理计算实积分： 详细演示了如何利用留数定理计算通常方法难以处理的定积分，包括三角函数的有理函数积分、以及涉及无穷区间的反常积分（如半圆路径积分法）。 2. 初探共形映射： 简要介绍共形映射（Conformal Mapping）的概念，展示解析函数在几何变换中的应用，强调局部保持角度的性质。 3. 解析延拓（Analytic Continuation）的初步概念： 讨论函数如何可以从其定义域自然地延伸到一个更大的区域，为更高级的复分析课程埋下伏笔。 --- 本书特色 深度与广度的平衡： 本书既有对基本概念的严谨推导（如 C-R 方程的证明），也有对高级工具的充分应用（如留数定理的技巧）。 几何直觉的强化： 始终强调复数在几何上的意义，帮助读者构建起复平面上变换的直观图像。 注重理论与实践的结合： 包含大量精心挑选的例题和习题，特别是关于积分计算的应用部分，确保读者能够熟练掌握计算技巧。 本书适合于数学、物理、工程学等专业的高年级本科生或研究生作为入门教材，是通往更深层次数学研究（如代数拓扑、微分几何或应用数学）的坚实阶梯。掌握本书内容，意味着读者将拥有分析和理解许多物理现象中“周期性”、“边界条件”和“奇异性”的强大武器。

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