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出版者:商周出版

作者:傑夫

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002年11月11日

价格:NT$ 220

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isbn号码:9789867892867

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掌控数字世界的基石：深入解析线性代数在现代工程与科学中的应用 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的线性代数知识体系，聚焦于其在当代科技领域，尤其是在计算机科学、数据科学、物理学以及工程学中的核心地位与实际应用。我们避开了纯粹的理论推导堆砌，转而强调概念的直观理解与计算方法的实用性，确保读者不仅“知道”是什么，更能“理解”为何如此，并“学会”如何应用。 --- 第一部分：代数基础与向量空间——理解变化与维度的语言 本部分是理解整个线性代数体系的基石。我们从最基础的标量、向量与矩阵的定义出发，详细剖析矩阵的运算规则，包括加法、数乘、乘法、转置与共轭转置。我们特别强调矩阵乘法背后的几何意义——线性变换，而非仅仅是数字的堆叠。 深入探讨线性组合、线性相关性与线性无关性。通过清晰的例子，阐明这些概念如何决定一个向量组的“自由度”。在此基础上，我们引入向量空间的概念——一个封闭的、满足特定公理的点的集合。我们将详细讲解子空间，特别是零空间（Null Space）、列空间（Column Space）和行空间（Row Space），并运用基（Basis）和维数（Dimension）来精确描述这些空间的大小和结构。 核心内容之一是四个基本子空间理论。通过图形化解释，读者将清晰地看到，对于任何一个矩阵 $A$，其行空间与零空间互为正交补，列空间与左零空间亦是如此。这为后续理解最小二乘法和投影奠定了理论基础。 【应用侧重】： 在本节末尾，我们将展示向量空间如何应用于信号处理中的基函数展开（如傅里叶级数在有限维近似中的体现）以及在计算机图形学中如何用向量表示三维空间中的点、方向和光线。 --- 第二部分：线性方程组的求解与矩阵分解——从不确定性中寻找确定性 线性方程组是线性代数的“工作马”。本章将系统性地介绍求解线性方程组的有效算法。 高斯消元法 (Gaussian Elimination) 和 LU 分解 (LU Decomposition) 是核心。我们不仅会演示如何通过行操作将矩阵化为行阶梯形和简化行阶梯形，更会深入解析这些操作背后的代数逻辑，以及如何利用 $L$（下三角矩阵）和 $U$（上三角矩阵）来快速求解带有相同系数矩阵但不同右侧向量的系统。我们将探讨秩（Rank）在判断方程组解的存在性和唯一性中的决定性作用。 随后，引入更强大的矩阵分解技术： 1. QR 分解 (QR Decomposition)：侧重于正交化过程，使用 Gram-Schmidt 正交化过程来构建一组正交基。QR 分解在数值稳定性方面表现优异，是许多迭代算法的基础。 2. Cholesky 分解：专门针对对称正定矩阵，是求解大规模偏微分方程有限元方法的关键步骤。 【应用侧重】： 重点阐述最小二乘法 (Least Squares)。当数据点过多导致方程组无精确解时，最小二乘法如何在误差的“平方和”最小化的意义下找到最佳近似解。通过矩阵的投影原理，我们清晰展示了最小二乘解实际上是将待求解向量投影到了矩阵的列空间上。这直接关联到线性回归模型的构建。 --- 第三部分：行列式、特征值与特征向量——揭示系统的内在动力学 本部分探讨了矩阵更深层次的内在属性，它们决定了线性变换的本质行为。 行列式 (Determinant) 的几何意义将被置于首位——它是衡量线性变换后体积（或面积）如何变化的尺度因子。我们将介绍计算行列式的各种方法，包括代数余子式展开和利用三角矩阵的性质，并强调行列式为零的物理意义（矩阵不可逆，存在非零解）。 特征值 (Eigenvalues) 与特征向量 (Eigenvectors) 是本章的重中之重。我们清晰界定特征向量是“方向不变”的向量，而特征值则是拉伸或压缩的因子。我们将详细讲解如何通过求解 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到特征值，并相应地求解特征向量。 进一步，我们将探讨对角化 (Diagonalization) 的条件和意义。对于可对角化的矩阵，如何利用特征值和特征向量将复杂的矩阵运算简化为对角矩阵上的简单乘法，极大地加速了高次幂的计算（例如 $A^k$）。 对于不可对角化的情况，我们将引入若尔当标准形 (Jordan Canonical Form)，作为对角化思想的自然延伸，用于处理结构更复杂的线性系统。 【应用侧重】： 这一部分的应用最为广泛。我们将详细剖析动力学系统的稳定性分析，如何通过特征值判断一个微分方程组（例如人口增长模型、电路暂态响应）的长期趋势。在主成分分析 (PCA) 中，特征向量即是信息方差最大的方向，特征值则代表了信息量的大小，这是现代数据降维的核心技术。 --- 第四部分：特殊矩阵与高级主题——面向工程的优化工具 本部分聚焦于在应用中经常出现且具有特殊性质的矩阵类型，并引入现代计算中不可或缺的工具。 1. 正交矩阵与对称矩阵：重点研究对称矩阵的谱定理 (Spectral Theorem)，该定理保证了对称矩阵总是可以被正交对角化，这在保证计算稳定性和物理意义上至关重要。 2. 奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)：这是线性代数的“瑞士军刀”。我们将 SVD 视为矩阵 $A$ 的一种通用分解，它适用于任何矩阵（无论方阵、满秩或奇异）。SVD 将矩阵分解为三个组件 $U Sigma V^T$，它们分别代表了输入空间、奇异值（重要性排序）和输出空间的正交基。 3. 迭代法与大型系统：对于计算资源受限或矩阵过于庞大的情况（如求解网络流量、大规模有限元问题），精确求解（如LU分解）往往不可行。我们将介绍迭代求解法的基础，包括 雅可比 (Jacobi) 法和 高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel) 法，以及现代的 Krylov 子空间方法（如共轭梯度法）的原理性概述。 【应用侧重】： SVD在图像压缩与去噪中的应用将是具体的演示案例，直观展示如何通过保留最大的几个奇异值来极大地压缩数据而不损失关键信息。此外，我们将简要介绍拉普拉斯矩阵在图论和网络分析中的作用，展示如何用线性代数工具来分析社交网络、交通网络或生物分子间的相互作用。 --- 总结：贯穿始终的计算思维 本书的特点在于，每引入一个核心理论概念，都紧接着伴随其数值计算的稳定性分析和实际应用案例。读者将通过大量的MATLAB/Python (NumPy) 示例代码来验证理论，亲手实现诸如QR分解、特征值计算等关键算法，从而将抽象的数学语言转化为解决实际工程问题的强大工具。本书不仅是理论学习的参考书，更是工程实践者的实用手册。

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这本书的排版和装帧设计也值得一提，它给人的感觉是非常专业且耐读的。纸张的质感和字体的选择都体现了一种对知识的敬畏感，长时间阅读也不会感到眼睛疲惫。但更核心的价值在于其内容的组织逻辑。它似乎深谙学习的“曲线规律”，总是在读者即将感到疲劳时，插入一些精巧的小结或者历史背景介绍，这些小插曲既是休息，也是对前文知识点的巩固。我注意到，书中对于一些容易混淆的概念，作者都进行了非常细致的辨析，甚至会预判读者可能产生的误区并提前给出澄清，这种“预判式教学”的细腻程度，让人不禁拍案叫绝。它不是简单地罗列知识点，而是在构建一个可以自我修正和强化的学习系统，让人感觉自己不是在被动接受信息，而是在主动参与知识的构建过程。

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我喜欢这本书里那种严谨中带着一丝人文关怀的笔触。很多工具书读起来冷冰冰的，但这本书读起来却能感受到作者对这个学科的热爱和对学习者的体谅。书中对于一些复杂算法的推导过程，作者并没有像其他教材那样直接给出“黑箱”结果，而是耐心地一步步分解，清晰地展示了逻辑的每一步跳跃，这对于提升自己的数学直觉至关重要。此外，书的后半部分加入的一些拓展阅读建议和历史轶事，更是锦上添花，它们让这个学科变得有血有肉，不再是枯燥的符号堆砌。这种将理论深度与文化背景相结合的做法，极大地提升了这本书的层次感，让它不仅是一本应试的工具书，更是一本可以细细品味的参考典籍。

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这部书的深度和广度确实令人印象深刻，它不仅仅是一本关于理论的教材，更像是一份实用的操作手册。作者在叙述复杂的数学概念时，总能找到一种恰到好处的平衡点，既能保持学术的严谨性，又不会让初学者望而却步。我特别欣赏它在构建知识体系上的匠心独运，每章的衔接都非常自然流畅，仿佛是在引导读者进行一场精心设计的思维探险。书中对于不同解题路径的探讨，展现了作者深厚的功底和对教学艺术的深刻理解，让我看到了同一个问题可以从多个维度去切入和解决，这极大地拓宽了我的视野。而且，书中的配图和图示设计得非常直观，很多抽象的结构通过图形化表达后，瞬间就变得清晰明了，这对于理解那些需要空间想象力的部分尤其有帮助。阅读过程中，我能感受到作者倾注的巨大心血，这种对细节的关注和对读者体验的尊重，使得整本书的阅读体验提升到了一个新的高度，让人有种“相见恨晚”的感觉。

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阅读此书的体验，就像是获得了一把开启高阶思维殿堂的万能钥匙。它并没有承诺“速成”，而是脚踏实地地带领读者走完一条扎实的学习路径。最令我受益匪浅的是，它强调了“理解”而非“记忆”。书中设计了大量的“思考题”，这些题目并非简单的计算，而是要求读者对某个原理进行反思和重构，这迫使我必须跳出书本的框架，用自己的语言去重新诠释学到的知识。正是这种强调内化和创造性应用的教学方法，使得知识的留存率远高于以往任何学习经历。这本书的价值在于，它提供的知识体系是具有“可迁移性”的，学完后，我发现自己看待其他类似领域的问题时，也自然而然地采用了书中那种结构化的分析框架，这才是真正意义上的学习成果。

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坦白说，我过去在处理这类内容时总是感到力不从心，总觉得缺少一个能够将零散知识点串联起来的“主线”。这本书的出现，就像是为我提供了一份详尽的导航图。它没有采用那种填鸭式的灌输，而是通过一系列精心设计的案例和循序渐进的难度递增，潜移默化地培养读者的分析和推理能力。每一次完成一个章节的练习，都会有一种“豁然开朗”的成就感，这种学习的驱动力是很多枯燥的教材无法给予的。更让我赞叹的是，作者在引入新概念时，总会先从实际应用场景入手，让读者明白“为什么需要学习这个”，这种目的性极强的铺陈，让学习过程充满了意义。对于那些希望从“知道”跃升到“会用”的读者来说，这本书无疑是绝佳的跳板，它教会的不仅仅是公式和定理，更是一种面对复杂问题时沉着冷静的系统化思维方式。

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