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出版者:中国少年儿童

作者:金宝铮

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:1999-4-1

价格:9.80元

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787500742425

丛书系列:

图书标签:

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数学奥林匹克教程：探索数学的深层魅力与竞赛策略 前言 数学，作为人类智慧的结晶，不仅是理解世界的基石，更是激发逻辑思维与创新能力的关键工具。对于有志于在数学领域深耕、尤其渴望在各类数学竞赛中取得优异成绩的学生而言，系统而深入的学习路径至关重要。本书《数学奥林匹克教程》，正是为那些充满热情、渴望挑战自我，力求在奥林匹克数学的广阔天地中寻觅真谛的学习者量身打造的指南。 本书的编写遵循严谨的学术标准与实用的竞赛导向相结合的原则，旨在构建一座连接基础知识与高阶思维的桥梁。我们深知，奥赛数学的精髓不在于机械地记忆公式，而在于对数学思想的深刻理解和灵活运用。因此，教程的结构设计力求层层递进，内容覆盖面广而不失深度，力求培养读者独立思考、精确推理和创新解决问题的能力。 第一部分：基础夯实与思维启蒙 本部分是整个教程的基石，重点在于巩固和深化高中阶段核心数学知识体系，并引入奥赛特有的思维模式。我们不满足于课本知识的简单重复，而是从奥赛视角重新审视这些基础概念，强调其内在的联系和潜在的应用价值。 第一章：集合与逻辑重构 本章将超越集合论的基础运算，深入探讨集合的构造性定义、序数与基数的初步概念（在竞赛适用的范围内），以及逻辑推理在数学证明中的核心地位。我们将详细分析充分必要条件、反证法、构造法等核心证明技巧，并通过一系列精心设计的“陷阱”型习题，训练学生识别逻辑漏洞的能力。例如，对皮亚诺公理体系在自然数构造中的哲学意义进行简要讨论，帮助读者理解数学公理化的重要性。 第二章：代数基础的深化与拓展 代数是奥赛的主战场之一。本章将涵盖超越传统教材的领域：多项式理论的深入挖掘，包括有理根定理的推广应用、韦达定理在高次方程组中的巧妙运用、以及斯特姆定理在实根个数确定中的实践。函数部分将侧重于函数方程的解法，特别是柯西（Cauchy）泛函方程及其变体的求解策略，引导学生认识到函数的结构美。此外，复数系统不再仅仅作为二维向量的代数表示，而是作为一种强大的几何工具，用于解析平面几何问题，如莫比乌斯变换的初步介绍。 第三章：初等数论的艺术 数论是奥赛中最具魅力的分支之一，它要求极高的技巧性和直觉性。本章全面系统地梳理了同余理论，包括中国剩余定理的高级应用、勒让德符号与二次互反律的证明与应用。对费马小定理、欧拉定理的深入理解是基础，但更重要的是对原根、离散对数问题的背景介绍，使学生对现代密码学的基础有所了解。丢番图方程的求解，特别是勾股方程和佩尔方程，将作为检验学生代数与数论结合能力的试金石。 第二部分：几何的直观与严谨 平面几何与立体几何在奥赛中常以其直观性迷惑人，要求极高的空间想象力和精确的论证能力。 第四章：平面几何的构造性思维 本章将平面几何的分析方法与综合方法进行有机结合。重点讲解圆的性质的高级运用，如极点与极线理论（在不引入过多解析几何工具的前提下），以及四点共圆的判定及其应用。梅涅劳斯定理和塞瓦定理的变形与组合使用，将是解决复杂共线、共点问题的关键。同时，强调几何变换（平移、旋转、缩放、反演）在简化复杂图形关系中的作用，反演几何将作为一把强有力的“手术刀”，处理涉及圆与直线的问题。 第五章：立体几何与解析基础 立体几何部分将侧重于空间向量的精确表达和运算。欧拉定理在多面体中的应用、不同截面的性质分析，以及如何利用向量的内积和外积来计算角度和距离，将是核心内容。解析几何部分并非侧重于繁琐的坐标运算，而是集中于如何选择最优坐标系（如利用对称性或特殊点为原点），将复杂的几何问题转化为易于处理的代数方程组，体现“化繁为简”的奥赛思想。 第三部分：组合数学与概率的逻辑边界 组合数学是衡量一个学习者“创造性”和“计数直觉”的重要标尺。 第六章：计数原理的精妙组合 本章不再停留在简单的排列组合公式，而是深入探究容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）的极限应用，包括如何应对“至少”和“恰好”的计数难题。生成函数（Generating Functions）将作为处理递推关系和复杂计数问题的强大工具，我们会详细讲解如何构造生成函数、如何提取系数，以及其在解决整数拆分问题中的应用。卡特兰数（Catalan Numbers）及其背后的组合意义，将作为经典案例贯穿本章。 第七章：图论基础与应用 图论在现代数学和计算机科学中的地位日益重要。本章介绍图的基本概念（连通性、回路、割边），欧拉路径与哈密顿回路问题。我们将着重讲解鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的高级形式及其在证明存在性问题中的应用。对于竞赛级别的图论，二分图匹配（Hall 定理的直观理解）和树的性质（如普夫定理的直观解释）将作为重点讲解内容。 第四部分：竞赛策略与思维训练 本部分旨在将理论知识转化为实战能力。 第八章：解题方法论与时间管理 本章探讨如何构建高效的解题流程：从审题到猜想，从局部尝试到全局构造。我们将分析历年来经典奥赛试题的“出题人意图”，帮助学生识别哪些是需要深刻理论支撑的“硬骨头”，哪些是可以通过技巧快速突破的“软柿子”。此外，针对竞赛现场的压力管理、时间分配策略，以及如何恰当地放弃次优题目，都将提供实用的指导。 第九章：历年真题精讲与错题分析 本章精选了不同级别（国家级、国际级）最具代表性的、且难度适中的真题进行分步精讲。讲解的重点不在于给出唯一答案，而是展示如何通过多种思路进行交叉验证。我们会特别设置“错误归因分析”环节，剖析常见错误（如遗漏边界条件、逻辑跳跃、计算失误）的根源，并指导学生建立个性化的“错题本”和“思维误区清单”。 结语 《数学奥林匹克教程》是一本为求真者准备的工具书，它需要的不仅是读者的智力投入，更需要持之以恒的热情与不懈的探索精神。数学的奥秘无穷无尽，本书提供的不过是一张精密的地图和一套可靠的攀登工具。愿读者能通过此书的引导，真正领略到数学的无穷魅力，并在未来的挑战中游刃有余。

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作为一名在数学学习上经历过“九九八十一难”的资深“斗士”，我深知一套好的学习资料能节省多少宝贵的时间和精力。这本书最让我拍案叫绝的是它对经典模型和陷阱设置的分析。很多奥赛题看似千变万化，但其核心往往是那几个经典的数学模型在作祟，而这本书对这些核心模型的剖析深入骨髓，简直是把命门都给点出来了。它不会让你去死记硬背所有题型的解法，而是教会你如何“归类”和“识别”题型背后的本质。对于那些我们常常错失的、那些只有毫厘之差的陷阱，作者的讲解细致入微，仿佛拿着放大镜在检查每一个逻辑的细小漏洞。这种精雕细琢的编辑工作，极大地提升了我的解题准确率。每次做完一章的练习，我都能清晰地感觉到自己的“抗干扰能力”和对细节的把控能力有了质的飞跃。

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这本书的排版和装帧虽然朴实，但内涵却是无比丰厚的。我特别欣赏其中穿插的一些数学史料和背景介绍，这让冰冷的数字和符号瞬间有了温度和故事性。它让我意识到，我们现在掌握的这些看似理所当然的工具，背后是无数先驱者呕心沥血的成果。这种人文关怀的融入，极大地激发了我对数学更深层次的探索欲望。而且，对于一些高级技巧的阐述，它采用了非常现代化的表达方式，图示清晰明了，逻辑链条完整。我甚至发现，有些在大学阶段才接触到的高级思想，这本书已经用更初等的方式进行了预演和铺垫，这无疑为我未来的学术发展打下了极其坚实的基础。它不仅仅是教会我如何赢得一场考试，更是在培养我成为一个有深度、有广度的数学学习者。

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说实话，我最初对这类“教程”抱持着一种怀疑态度，市面上的同类书籍多半是堆砌难度超标的题目，美其名曰“奥林匹克”，实则让人望而却步，阅读体验如同啃一块硬邦邦的石头。然而，这本《奥林匹克》系列彻底颠覆了我的认知。它的结构设计非常人性化，每一章节都像是一个精心设计的关卡，难度是循序渐进的，但梯度控制得恰到好处，让人在不断挑战自我的过程中，能持续感受到“我可以做到”的成就感。更让我印象深刻的是，它在讲解解题技巧时，没有采用那种冰冷的、机械化的步骤罗列，而是着重于培养读者的“数学直觉”和“思维模式”。作者似乎非常懂得我们这些学习者在哪个环节容易卡壳，总能在关键时刻给出富有启发性的提示，引导我们自己去发现最优的解题路径。这已经超越了一本纯粹的参考书的范畴，它更像是一本关于如何“思考数学问题”的哲学指南，引导我从不同的角度审视和攻克难题。

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坦白讲，市面上很多宣称能提高竞赛能力的资料，读完后往往让人感觉自己像是在雾里看花，收效甚微。但这一本教程的反馈是即时且显著的。我带着它去参加了一次模拟测试，最大的不同体验在于，以前看到难题会本能地产生一种“无从下手”的焦虑感，但这次，我的第一反应是“哦，这个模型我见过，思路是……”这种自信感的来源，正是源于对书中解题思想的内化。它教会的不是“答案”，而是“寻找答案的方法论”。尤其是在处理复杂组合问题时，书中所倡导的“对称性思维”和“构造法”的灵活运用，让我从僵硬的代数运算中解放出来，开始拥抱更具创造性的数学表达。这套教程的价值，远超其售价，它提供了一种通往数学思维高地的有效路径图。

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这本书简直是为我量身定做的“武林秘籍”！我一直对那些看似高不可攀的数学难题心生畏惧，尤其是面对竞赛级别的题目，总感觉自己像个门外汉，看着别人轻松解题却无从下手。这套教程的切入点非常巧妙，它没有直接把我扔进那些复杂的公式和定理堆里，而是像一位耐心的老前辈，一步步地引导我认识到数学的美感和逻辑的严谨。初读时，我发现它对基础概念的梳理达到了令人惊叹的细致程度，很多我以为自己“懂了”的地方，其实只是停留在表面，这本书通过精妙的例子和深入浅出的推导，让我真正理解了“为什么”会是这样，而不是简单地“记住”公式。它不是那种枯燥的教科书，更像是一本充满智慧和趣味的对话录，每一次翻阅都像进行了一场酣畅淋漓的脑力激荡。特别是对于那些看似不相关的知识点之间的连接，作者展现了非凡的洞察力，将原本零散的知识点编织成一张严密的知识网络，让人豁然开朗。这对于我这种需要系统性提升的人来说，简直是如虎添翼。

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