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出版者:高等教育出版社

作者:施吉林 编

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-9-1

价格:16.00元

装帧:平装

isbn号码:9787040103281

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《空间几何的奥秘：解析与实践》 本书导言：在多维世界中构建直觉 本书旨在为读者提供一套系统、深入且具有高度实践性的空间几何学知识体系。在当今科学、工程、计算机图形学乃至现代艺术设计领域，对三维及更高维度空间的精确理解和高效操作已成为核心竞争力。本书摒弃了传统教材中过度依赖抽象代数的枯燥叙述方式，转而侧重于几何直觉的培养与实际问题的解决能力。我们将从最基础的欧几里得空间概念出发，逐步过渡到更复杂的拓扑结构和非欧几何的初步探索，确保读者不仅“知道”公式，更能“理解”其背后的几何意义。 第一部分：基础构建——从平面到三维的飞跃 第一章：向量空间与坐标系的选择 本章伊始，我们将重新审视向量的本质，将其视为具有方向和大小的物理实体，而非单纯的数字序列。详细讨论笛卡尔坐标系的构建原理，及其在描述空间点和位移中的不可替代性。随后，我们将引入极坐标系和柱坐标系，重点分析它们在处理具有旋转对称性或圆柱对称性问题时的优势。更进一步，我们深入讲解球坐标系，特别关注其在天文学、物理学中描述三维点位置的便利性。不同坐标系之间的坐标变换是本章的核心难点，我们将使用详尽的几何推导，而非仅仅罗列矩阵公式，来阐释旋转矩阵和反射矩阵的构建逻辑，确保读者能够灵活地在不同框架间切换而不产生混乱。 第二章：平面与直线的精确描述 平面是三维空间中最基础的“表面”。本章详述平面方程的几种标准形式——点法式、一般式，并着重介绍如何利用两个或一组平行向量来定义一个平面。我们将探究点到平面的距离的最短路径几何意义，并引入投影的概念，理解一个向量在平面上的投影如何影响其在空间中的相对位置。直线部分的讨论，则聚焦于参数方程的直观性，并详细剖析两条空间直线之间的相对关系（相交、平行、异面），计算它们之间的最小距离，这在碰撞检测和路径规划中至关重要。 第三章：二次曲面家族的深度剖析 二次曲面是理解工程和物理现象的基础。本章不满足于简单的分类，而是深入探讨它们的几何特性和标准方程的推导。椭球面的三个主轴的意义，双曲面（单叶和双叶）在结构力学中的应用，以及抛物面的聚焦特性，都将通过截面分析来直观展示。环面的参数化表示将作为本章的挑战性内容，引导读者理解如何利用参数来描绘复杂的闭合曲面。我们强调如何通过改变方程中的常数项和符号，观察曲面形状的连续变化，培养对几何拓扑的敏感度。 第二部分：变换与几何度量 第四章：线性变换：空间的“魔术” 线性变换是空间几何操作的核心驱动力。本章详细讲解伸缩、剪切、旋转和投影这四种基本变换，并用2x2和3x3矩阵直观表示它们在二维和三维空间中的作用。重点剖析特征值与特征向量的几何意义——它们代表了在变换作用下方向不发生改变的“骨架线”。对于旋转，我们将引入欧拉角和四元数两种表示方法，详细对比它们在避免万向锁问题上的优劣，为三维动画和机器人学打下坚实基础。 第五章：度量几何：长度、角度与曲率 度量几何关注“量化”空间。本章从内积（点积）的定义出发，重新审视长度和角度的计算，强调内积在判断向量正交性中的作用。随后，我们将过渡到外积（叉积），不仅用于计算平行四边形的面积，更重要的是，它定义了垂直于给定平面的“法向”向量，这是曲面分析的基石。对于曲面，本章引入第一、第二基本形式的概念，并推导出主曲率、高斯曲率和平均曲率的计算方法，解释曲面局部弯曲的几何本质。 第六章：微积分在空间中的应用：场与积分 本章是将微积分工具应用到空间几何的桥梁。我们介绍标量场和向量场的概念。梯度被解释为函数值增加最快的方向，散度揭示了向量场在某点周围的“源”或“汇”的强度，而旋度则衡量了向量场在该点周围的旋转倾向。随后，我们深入讲解线积分、面积分和体积分，特别是格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理。这些定理将高维空间中的积分问题转化为边界上的积分问题，是连接场论与经典物理的强大工具。 第三部分：进阶主题与非欧几何的初探 第七章：黎曼几何的几何直觉 本章为读者打开了通往更广阔几何空间的大门。我们不再假设空间是平坦的。通过测地线的概念，我们展示了在弯曲表面上“两点之间最短的路径”并非直线。高斯绝妙定理将曲面的内蕴几何（仅通过测量曲面本身的能力来感知）与其嵌入三维空间中的外在弯曲联系起来。通过球面几何的实例，读者将直观体验到三角形内角和大于180度的现象，为理解广义相对论中的时空几何打下坚实的直觉基础。 第八章：拓扑学导论：形状的不变性 拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质。本章聚焦于同胚的概念，解释为什么咖啡杯和甜甜圈在拓扑学上是等价的。我们将介绍连通性、紧致性等基本拓扑性质，并引入欧拉示性数，这是一个强大的拓扑不变量，可以区分不同的几何形体，例如，它可以区分一个球面和一个环面。本章旨在培养读者“抓住形状本质，忽略细节尺度”的抽象思维能力。 结语：几何思维的未来 本书的旅程结束于对现代应用领域的展望。从微分几何在机器人运动学中的应用，到计算几何在三维建模和逆向工程中的核心地位，几何思维无处不在。我们希望读者在合上此书时，能够将空间中的任何复杂问题，转化为对向量、曲率和变换的精确操作，真正掌握驾驭多维世界的工具。 --- （注：本书内容严谨，推导详尽，配有大量高清的几何图形辅助理解，适合高等院校理工科学生及相关领域的专业人士自学与参考。）

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我一直觉得，学习微积分的过程，就像是爬一座陡峭的山，上面风光无限，但攀登的过程却充满了挑战。市面上有很多介绍微积分的书籍，它们各有千秋，有的严谨扎实，有的则偏重应用。而“实验微积分”这个名字，却一下子抓住了一个我一直以来渴望的点——理论与实践的结合。我很好奇，这本书会以何种方式来实现“实验”与“微积分”的融合？我猜想，它或许不会直接上来就讲解抽象的极限和导数，而是会从一些大家耳熟能详的自然现象出发，比如，当我们观察一辆汽车的仪表盘上显示的速度变化时，我们能从中感受到什么？再比如，当我们在一个不规则的图形上填充颜色时，我们如何才能计算出它的面积？这本书是否会通过这样的引入，让读者在生活经验中找到微积分的影子？我希望它能做到这一点，用最贴近生活、最直观的方式，将那些冰冷的数学符号背后所蕴含的深刻意义展现出来。如果书中能包含一些简单易懂的图表，甚至是一些模拟实验的环节，那将是极大的福音。我非常期待，这本书能够成为一座桥梁，连接起抽象的数学理论与我们身边生动的世界，让微积分的学习过程变得充满乐趣和探索性，而非仅仅是机械的公式记忆和计算。

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作为一个常常在科研项目和课程设计中需要处理大量数据，并且经常需要对实验结果进行建模和分析的学生，我对“实验微积分”这个书名抱有极大的期待。在实际工作中，我发现很多时候，我们面临的问题并非是 textbook 上的标准题型，而是充满了各种不确定性和噪声。在这种情况下，如何运用微积分的工具来准确地描述和预测系统的行为，就显得尤为重要。我非常想知道，这本书是否能够提供一套更加贴近实际应用场景的微积分学习方法。例如，它是否会从真实的实验数据入手，引导读者去识别数据中的趋势，从而构建出相应的微积分模型？书中是否会介绍一些常用的数据处理和分析方法，并将其与微积分的理论相结合？我特别期待书中能够包含一些利用微积分解决实际工程或科学问题的案例研究，比如如何利用微积分来优化实验参数，如何通过积分来计算不规则形状的体积，或者如何用微分方程来模拟物理系统的动态过程。如果这本书能够让我感受到，微积分不仅仅是考试的工具，更是解决现实问题、推动科学进步的强大武器，那它就已经成功了一半。我希望它能为我提供更开阔的视野，更实用的技能，让我在面对复杂的数据和问题时，能够更加游刃有余。

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一直以来，我总觉得微积分的学习，特别是入门阶段，容易让人望而却步。那些抽象的符号，严谨的定义，常常会让初学者感到迷失。我之所以对“实验微积分”这个书名产生浓厚的兴趣，是因为它似乎暗示了一种更具实践性和探索性的学习路径。我好奇，这本书会不会像一位经验丰富的向导，带着我们走出抽象的迷宫，来到真实世界的“实验室”？我设想，书中或许会通过一些经典或新颖的物理现象，来引出微积分的基本概念。比如，观察一滴水珠在下落过程中速度的变化，或者分析植物茎秆在生长过程中截面积的改变，这些直观的现象是否会被用来解释导数的意义？再比如，如何通过累积不同时刻的瞬时变化量，来理解积分是如何计算总量的？我非常期待，这本书能够用大量形象的比喻和生动的图示，让那些抽象的数学思想变得容易理解和记忆。如果书中还能提供一些可供读者动手操作的简单实验，或者一些模拟互动的在线资源，那将是极大的加分项。我希望这本书能成为我学习微积分的“拐杖”，让我在艰难的攀登过程中，能够有更加坚实的支撑，看到更多美丽的风景，最终掌握这门强大的数学语言。

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在我看来，微积分不仅仅是关于公式和计算，它更是关于变化和运动的语言。而“实验微积分”这个名字，恰恰点出了这种语言与我们所观察到的物理世界的紧密联系。我一直对那些将抽象数学概念与具体物理现象相结合的教学方法情有独钟。我迫切想知道，这本书是如何将“实验”融入到微积分的教学中的。它是否会从一些我们熟悉的力学实验，例如测量物体运动的轨迹，来引入速度和加速度的概念，进而引出导数？或者，它是否会通过一些关于能量守恒、热量传递的实验，来展示积分在计算累积效应方面的强大能力？我非常期待，这本书能够不仅仅停留在理论的介绍，而是能够提供一些切实可行的实验设计，让读者能够亲身体验微积分的威力。我设想，书中或许会提供详细的实验步骤、所需的器材，以及对实验数据的分析方法，并清晰地展示如何利用微积分工具来解释和预测实验结果。如果这本书能够让我感受到，微积分是理解我们周围世界运转规律的不可或缺的工具，那么它无疑会成为我学习道路上的一盏明灯，指引我更深入地探索科学的奥秘。

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作为一名多年钻研物理学的爱好者，我对“实验微积分”这个书名本身就充满了好奇。我一直认为，数学，尤其是微积分，虽然是抽象的科学，但其根源却深深植根于我们所观察到的物理世界。很多时候，我都会尝试从实验现象中去理解微积分的原理，比如牛顿对运动的研究，莱布尼茨对面积的计算，这些都是从实际测量和观察中孕育出的伟大思想。所以，当看到“实验微积分”这个名字时，我脑海中立即浮现出无数可能：是不是书中会用大量具体的物理实验，从力学、光学、电磁学等各个领域，来直观地演示微分和积分的概念？比如，通过测量不同速度下物体的位移变化来理解速度的意义，通过观察水流的体积随时间的变化来感知积分的累积效应。我期望这本书能打破纯理论的枯燥，将抽象的公式与生动的现象紧密结合，让那些看似高深的数学工具变得触手可及，就像是为我们揭开物理世界运行的奥秘提供了一把更锋利的钥匙。我很想知道，作者是如何将这种“实验”的视角融入到微积分的学习中的，是图文并茂地呈现实验装置和数据，还是通过详细的案例分析来引导读者思考？这本书会不会提供一些简易的、可以在家庭或实验室环境下进行的实验，让读者亲自动手，通过实践来加深理解？我非常期待能从中找到答案，让我的微积分学习不再是“纸上谈兵”，而是真正“触及本质”。

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