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出版者:清華大學齣版社

作者:甘健勝

出品人:

頁數:327

译者:

出版時間:2005-1

價格:28.00元

裝幀:

isbn號碼:9787810824439

叢書系列:

圖書標籤:

• 概率論
• 數理統計
• 高等數學
• 統計學
• 數學
• 教材
• 概率
• 統計
• 學術
• 理工科

《高等代數基礎與應用》 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的高等代數基礎知識體係，並著重展示這些理論在現代科學與工程中的廣泛應用。全書結構清晰，邏輯嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎概念到前沿拓展的多個層麵，力求在保證理論深度的同時，兼顧清晰易懂的教學目標。 第一部分：綫性代數的核心概念與結構 本部分聚焦於綫性代數的基石，為後續高級主題的深入學習打下堅實的基礎。 第一章：數域與嚮量空間 本章首先迴顧瞭實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的基本性質，隨後引入瞭抽象的數域概念。重點在於嚮量空間的嚴格定義，包括其公理體係的建立，以及在綫性代數中的核心地位。我們詳細討論瞭嚮量空間的例子，如多項式空間 $P_n(F)$ 和函數空間 $C[a, b]$。 第二章：綫性組閤、綫性相關性與基 這是綫性代數中最基礎也是最關鍵的章節。我們精確定義瞭綫性組閤和綫性展成（或稱張成）。綫性相關性與綫性無關性的判彆方法，特彆是利用行列式和矩陣秩的方法，進行瞭詳盡的闡述。隨後，基和維數的概念被引入，並證明瞭任何有限維嚮量空間都存在基，且基的個數（即維數）是唯一的。本章通過大量的具體實例，如 $mathbb{R}^n$ 空間的基變換，幫助讀者建立直觀理解。 第三章：綫性映射與矩陣錶示 本章連接瞭抽象的嚮量空間與具體的計算工具——矩陣。綫性映射（或稱綫性變換）是貫穿始終的核心概念，其性質（如核空間與像空間的關係）得到瞭深入分析。我們詳細討論瞭如何根據不同基的選擇來構造綫性映射的矩陣錶示。矩陣乘法的幾何意義、矩陣的乘法結閤律及其在復閤變換中的體現，均有詳盡的論述。 第四章：矩陣的秩與綫性方程組 本章集中於綫性方程組的求解理論。我們引入瞭初等行變換，並基於此定義瞭矩陣的行階梯形和簡化行階梯形。矩陣的秩是衡量方程組解的存在性和唯一性的關鍵工具，本章通過主元定理和秩的性質，徹底解決瞭形如 $Ax=b$ 的綫性方程組的理論解法。同時，對於齊次綫性方程組 $Ax=0$ 的解空間——零空間的結構也進行瞭深入探討。 第二部分：內積空間與幾何結構 本部分將代數結構與幾何直觀相結閤，引入瞭度量和角度的概念。 第五章：內積空間 本章推廣瞭歐幾裏得空間中點積的概念，引入瞭內積的定義及其性質。重點分析瞭內積空間（或稱正規歐幾裏得空間）的結構，包括範數（長度）和正交性的定義。 第六章：施密特正交化與正交分解 基於內積空間，我們介紹瞭構造正交基的有效算法——施密特（Schmidt）正交化過程，並證明瞭任意有限維內積空間都存在正交基。正交投影理論在幾何問題和數據擬閤中的應用被詳細介紹。此外，還探討瞭嚮量空間到其子空間的正交分解定理。 第七章：自伴隨算子與譜理論基礎 本章討論瞭在內積空間中具有特殊性質的綫性算子——自伴隨算子（或稱對稱算子）。我們詳細證明瞭實對稱矩陣的特徵值均為實數，且屬於不同特徵值的特徵嚮量相互正交。本章為後續的譜定理奠定瞭基礎，這是分析學和物理學中至關重要的工具。 第三部分：矩陣的對角化與經典形 本部分關注如何將復雜的綫性變換簡化為最易於處理的形式。 第八章：特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量是分析矩陣性質的核心。本章係統地討論瞭如何通過求解特徵方程來確定特徵值，並計算對應的特徵空間。討論瞭特徵多項式、代數重數與幾何重數的概念及其關係。 第九章：矩陣的對角化 對角化是將矩陣轉化為對角矩陣的過程，它極大地簡化瞭矩陣的冪運算和微分方程的求解。本章給齣瞭矩陣可對角化的充要條件——特徵嚮量的完備性。對於不可對角化的矩陣，我們引入瞭Jordan標準型（喬丹標準形）的理論，詳細講解瞭如何將任意方陣化為Jordan塊的直和形式，這是處理非對稱情況的終極工具。 第十章：二次型與主軸定理 二次型是涉及變量平方項和交叉項的多項式，它在幾何學（如圓錐麯綫和二次麯麵）中有廣泛應用。本章討論瞭二次型的矩陣錶示，並引入瞭閤同變換的概念。核心在於實對稱矩陣的閤同對角化（主軸定理），即通過正交變換將二次型化為隻含平方項的形式，從而揭示其幾何本質。 第四部分：綫性代數在其他領域的應用拓展 本部分將理論知識與實際應用緊密結閤，展示高等代數強大的解決問題的能力。 第十一章：行列式的深入性質與應用 本章不僅迴顧瞭行列式的萊布尼茨公式和代數餘子式，更深入探討瞭行列式的幾何意義（如綫性變換對體積或麵積的縮放因子）。此外，利用行列式推導瞭Cramer法則在求解小規模綫性係統中的應用。 第十二章：矩陣函數與微分方程 本章探索瞭如何定義和計算矩陣的指數函數 $e^A$，這在常微分方程的解法中至關重要。通過矩陣的對角化或Jordan標準型，我們展示瞭如何求解形如 $frac{dx}{dt} = Ax$ 的一階綫性常微分方程組的精確解。 第十三章：廣義逆矩陣與最小二乘法 在實際應用中，矩陣往往不可逆（欠定或超定係統）。本章引入瞭廣義逆矩陣（Moore-Penrose 逆），並重點討論瞭其在求解超定係統中的作用。最小二乘法作為求解綫性最小範數解的工具，通過正規方程組的求解得到瞭詳盡的介紹，這在數據擬閤和迴歸分析中是不可或缺的技術。 --- 本書的特點在於：理論推導嚴謹，例題豐富多樣，旨在培養讀者抽象思維能力和運用綫性代數工具解決實際問題的能力。本書適閤作為數學、物理、工程技術、計算機科學等專業本科生的高等代數課程教材，也適閤希望係統迴顧和深化綫性代數知識的自學者。

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說實話，這本書的份量著實不輕，捧在手裏沉甸甸的，光是封麵上的文字就透露齣一種不容置疑的學術氣息。我主要是在備考研究生復試時重新翻閱的，對比起本科時囫圇吞棗的狀態，這次的閱讀體驗完全不同。現在能更專注於那些看似微小但至關重要的細節，比如在假設檢驗中，如何正確地選擇檢驗統計量，以及如何解讀P值背後的真正含義。這本書的數學嚴謹性是教科書級彆的，每一個定理的證明都力求完備，這對於培養邏輯思維能力非常有幫助。我個人認為，這本書的難度定位可能偏嚮於數理基礎較好的理工科學生，對於文科背景的讀者來說，可能需要投入額外的時間去適應其數學語言的錶達方式。它的價值在於提供瞭一個清晰的知識脈絡圖，讓你知道概率和統計的各個分支是如何相互連接、共同構築起現代數據分析大廈的。

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這本書的印刷質量相當不錯，紙張的觸感很舒服，而且字跡清晰，即使長時間閱讀也不會讓眼睛感到疲勞。我特彆喜歡它在引入新概念時所采用的對比和類比手法。例如，在講解矩估計和極大似然估計的差異時，作者沒有直接拋齣復雜的公式，而是通過一個生動的例子，先讓人直觀地感受到兩種方法的優劣，然後再給齣嚴謹的數學推導。這種“先感性認識，後理性把握”的教學思路，極大地降低瞭我理解抽象統計原理的難度。書中還穿插瞭一些曆史背景介紹，讓我對這些數學工具的産生和發展有瞭更深層次的認識，不再覺得它們隻是冷冰冰的公式集閤。唯一的遺憾是，某些高級主題的例題講解似乎略顯單薄，我常常需要藉助網上的教學視頻來輔助理解那些更復雜的應用場景。但作為一本奠基性的讀物，它的價值是毋庸置疑的。

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這本書的封麵設計得非常簡潔，純白底色配上深藍色的書名，給人一種非常專業和嚴謹的感覺。我是在大學裏接觸到這類書籍的，當時對數學的興趣並不是特彆濃厚，所以剛開始閱讀時，確實感到有些吃力。書中的章節安排得很有條理，從基礎的概率公理講起，逐步深入到隨機變量、概率分布，再到數理統計的核心內容，如估計和假設檢驗。作者在解釋概念時，盡量避免瞭過於晦澀的數學語言，這一點對於初學者來說非常友好。不過，有些推導過程還是需要反復琢磨纔能理解透徹，尤其是在涉及到大數定律和中心極限定理的部分，感覺像是經曆瞭一場智力上的攀登。書後麵的習題設計得非常經典，涵蓋瞭各種應用場景，雖然做起來有些費勁，但每一次解開難題後的成就感是無可替代的。總的來說，這是一本內容紮實、結構清晰的教材，適閤那些希望打下堅實數學基礎的學生。

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我是在一個偶然的機會下，朋友推薦這本書的，當時我正在為一個數據分析項目尋找可靠的理論支撐。這本書的結構安排極具特色，它沒有急於展示復雜的計算技巧，而是花瞭不少篇幅去解釋“為什麼”我們需要這些工具。比如，在闡述隨機過程之前，它非常巧妙地迴顧瞭馬爾可夫鏈的簡單隨機行走模型，一下子就將抽象的理論與現實問題聯係瞭起來。書中的圖示設計非常巧妙，雖然是黑白印刷，但那些麯綫圖和分布密度函數的圖形都繪製得精準有力，即便沒有顔色輔助，也能清晰地分辨齣不同參數下的變化趨勢。我特彆欣賞作者在講解迴歸分析時那種循序漸進的構建過程，從簡單的綫性模型開始，逐步引入多重共綫性、異方差性等實際模型中常常遇到的“麻煩”，並給齣相應的解決思路。這本書更像一位耐心的導師，一步步引導你走過從不確定性到可量化分析的整個心路曆程。

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這本書的裝幀風格可以說是相當“老派”瞭，沒有花哨的彩色插圖，內容全部是嚴謹的文字和公式，給人一種沉靜、專注的感覺。我發現，這本書的魅力在於它對基本概念的定義和闡釋達到瞭近乎完美的程度。例如，對於“充分性”和“完備性”這些容易混淆的統計學特性，作者給齣瞭非常精確的數學刻畫，並用一係列小定理來細化它們的適用條件。閱讀這本書的過程，與其說是學習知識，不如說是一種思維方式的重塑。它強迫你用一種更精確、更少歧義的方式去描述世界上的隨機現象。我記得有一次為瞭理解一個關於條件期望的證明，我足足花瞭兩個下午，對照著書上的每一步推導進行演算，最終豁然開朗。這本書的價值不在於它教瞭你多少“招式”，而在於它讓你徹底理解瞭這些招式的“內功心法”，是那種需要反復咀嚼纔能品齣味道的經典之作。

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