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《基本周调代数(英文版)》内容简介：Five years ago, I taught a one-quarter course in homological algebra. I discovered that there was no book which was really suitable as a text for such a short course, so I decided to write one. The point was to cover both Ext and Tot early, and still have enough material for a larger course (one semester or two quarters) going off in any of several possible directions. This book is 'also intended to be readable enough for independent study.
《拓扑学基础：连通性、紧致性与可数性》 作者：李明 著 出版社：科学文化出版社 ISBN：978-7-5008-1234-5 定价：88.00 元 --- 内容简介 《拓扑学基础：连通性、紧致性与可数性》是一本全面而深入的拓扑学入门教材，旨在为数学、物理学、计算机科学及相关领域的学生和研究人员提供扎实的理论基础和清晰的逻辑框架。本书聚焦于点集拓扑学的核心概念，以直观的几何解释为导引，辅以严谨的代数和分析论证，构建起一个逻辑自洽的数学体系。 全书共分为十章，内容涵盖了从基本的拓扑空间定义到高级的完备性理论，重点突出了拓扑学三大核心性质：连通性 (Connectedness)、紧致性 (Compactness) 和 可数性 (Countability) 在现代数学结构分析中的关键作用。 第一部分：拓扑空间的构建与基础概念 (第1-3章) 第1章：度量空间回顾与拓扑空间的引入 本章首先简要回顾了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的拓扑结构，包括开集、闭集、邻域和极限点的概念，以作为理解更一般拓扑空间的直观起点。随后，本书正式引入拓扑空间的抽象定义，强调了“开集族”作为基础结构的地位。我们详细探讨了由度量诱导的拓扑（度量拓扑），并引入了子空间拓扑、商拓扑和积拓扑的构造方法。重点讨论了基 (Basis) 和局部基 (Local Basis) 的概念，它们是分析空间结构的重要工具。 第2章：连续性与拓扑同胚 连续函数的拓扑定义——即原像下保持开集的映射——是连接不同拓扑结构之间的桥梁。本章深入探讨了连续函数的性质、复合函数的连续性，以及拓扑同胚（Homeomorphism）的概念。我们通过大量的例子，阐明了拓扑同胚如何捕捉空间在“拉伸、弯曲而不撕裂”意义下的本质等价性。最后，引入了连续延拓定理（如Urysohn引理的前身）作为后续深入研究的基础。 第3章：分离公理 (Separation Axioms) 分离公理是衡量拓扑空间“规整性”的关键尺度。本章系统地介绍了 $T_0, T_1, T_2$ (豪斯多夫/分离) 公理，并深入分析了更强的 $T_3$ 和 $T_4$ (正则与完全正则) 公理。我们详细证明了：在豪斯多夫空间中，紧子集必为闭集；在一个紧致空间中，紧致性等价于可闭性。此外，本章特别关注了度量空间总是满足所有分离公理这一事实，并探讨了 $T_3$ 空间的性质，如是否存在收敛序列等。 第二部分：核心性质的深度剖析 (第4-6章) 第4章：连通性 (Connectedness) 连通性是拓扑空间“不可分割性”的度量。本章从非连通和连通的定义出发，探讨了路径连通性（Path-Connectedness）与连通性的关系，并明确了在豪斯多夫空间中，路径连通蕴含连通，但反之不成立。我们利用准连通集的性质证明了实数集 $mathbb{R}$ 的区间性定理——任何连通的子集都是区间。本章的难点部分集中在讨论连通分量的唯一性及其构造方法。 第5章：紧致性 (Compactness) 的多重视角 紧致性是拓扑学中最强大且最难以直观把握的概念之一。本章采用多重视角来理解紧致性： 1. 开复盖的有限可约性 (Finite Subcover Property)： 紧致性的基本定义。 2. 序列紧致性 (Sequential Compactness)： 仅在度量空间中等价于紧致性。 3. 可数紧致性 (Countable Compactness)： 弱于紧致性。 我们详细证明了“紧致集在连续映射下保持紧致”这一关键性质，并利用它来论证极值定理（Weierstrass Extreme Value Theorem）的拓扑版本。此外，本章还着重分析了 Tychonoff 定理的证明思路，尽管其完整证明可能在进阶课程中讨论，但本书会给出其在有限积空间上的具体表现。 第6章：可数性与可分离性 (Countability and Separability) 可数性是衡量拓扑空间“大小”和“可操作性”的重要指标。本章区分了以下概念： 1. 第一可数空间 (First Countable Space)： 每个点都有可数的邻域基。 2. 第二可数空间 (Second Countable Space)： 整个空间有一个可数的基。 3. 可分离空间 (Separable Space)： 存在一个可数稠密子集。 我们证明了第二可数蕴含可分离，并探讨了这些性质在函数空间和度量空间中的具体体现。本章还将讨论这些性质如何简化对收敛的分析，例如在第一可数空间中，序列收敛的概念可以替代更抽象的极限点定义。 第三部分：完备性与应用初步 (第7-10章) 第7章：完备度量空间 (Complete Metric Spaces) 本章将视角从一般的拓扑空间聚焦回度量空间，引入了完备性的概念——即柯西序列都在空间内收敛。我们详细分析了完备性在分析学中的重要性，证明了完备性是巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem）的必要条件，并给出了该定理在求解常微分方程初值问题中的应用实例。 第8章：Baire 范畴定理与完备空间 Baire 范畴定理是完备度量空间的一个深刻性质。本章详细阐述了该定理的内容：完备度量空间中，任意两个稠密开子集的交集仍然是稠密的。我们利用此定理证明了实数集 $mathbb{R}$ 中不存在可数稠密基，从而说明了 $mathbb{R}$ 不是第二可数空间（尽管它是可分离的）。此外，本章还初步探讨了完备性与拓扑维度的关系。 第9章：积空间与乘积拓扑的深入研究 本章集中讨论了任意多个拓扑空间的乘积空间上的拓扑结构。我们回顾了 Tychonoff 定理的初步应用，并证明了紧致性是决定乘积空间拓扑性质的关键因素。我们通过构建具体的例子，展示了在无限积空间中，序列紧致性与紧致性可能不再等价，突出了对紧致性概念的精确把握的重要性。 第10章：嵌入定理与初步应用 作为总结和展望，本章介绍了 Urysohn 嵌入定理——一个关于将拓扑空间嵌入到欧几里得空间的强大工具。我们证明了：任何一个具有特定可数性条件的正则 $T_1$ 空间，都可以连续地嵌入到某个有限维欧几里得空间中。这为从抽象拓扑结构回归到具体几何对象提供了理论依据。最后，本章简要提及了代数拓扑中同伦群和基本群的概念，作为读者未来深入学习的指引。 --- 本书特色： 结构清晰： 逻辑顺序严格遵循从一般到特殊、从基础到核心性质的递进模式。 强调直觉： 每一抽象概念均配有详细的几何或分析实例解释。 严谨证明： 所有关键定理均提供详尽的、可供学生检验的证明过程。 内容聚焦： 紧密围绕连通性、紧致性和可数性三大核心支柱展开，避免不必要的发散。 本书适合作为高等院校数学专业本科生“拓扑学”或“点集拓扑”课程的教材或参考书，尤其适合希望打下坚实理论基础，并对现代数学分析、泛函分析有兴趣的读者。
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