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出版者:科学出版社

作者:曹定华

出品人:

页数:308

译者:

出版时间:2001-3

价格:25.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030092205

丛书系列:

图书标签:

• 多元分析
• 统计学
• 数据分析
• 回归分析
• 方差分析
• 聚类分析
• 因子分析
• 判别分析
• 统计建模
• 应用统计

《概率论与数理统计：理论、方法与应用》 本书全面深入地探讨了现代概率论与数理统计学的基本理论框架、核心计算方法以及在工程、科学研究和社会经济领域中的广泛应用。 本书旨在为理工科、经济管理类以及信息科学等专业的高年级本科生和研究生提供一套系统、严谨且具有高度实践指导意义的教材与参考资料。 --- 第一部分：概率论基础——随机性的精确描述 本部分奠定了整个数理统计学所依赖的严格数学基础，从集合论的角度出发，精确定义了随机现象的数学模型。 第一章：概率论的基本概念与公理体系 本章首先回顾了集合论的基本知识，特别是可测集和$sigma$-代数（$sigma$-域）的构造，这是定义概率测度的数学框架。随后，系统阐述了概率的公理化定义（$Omega, mathcal{F}, P$）。深入剖析了事件的代数运算及其概率性质，重点讲解了可列可加性这一核心公理的深远意义。通过Bernoulli试验序列，引入了泊松收敛定理，为后续处理极限问题做铺垫。此外，探讨了在有限样本空间和无限样本空间下，如何构造和计算概率，例如均匀概率、几何概率的严谨定义。 第二章：随机变量与随机向量 本章聚焦于如何将随机现象量化。首先定义了随机变量（Random Variable）的数学概念，并区分了离散型和连续型随机变量。对于离散型，详细阐述了概率质量函数（PMF）的性质；对于连续型，则着重分析了概率密度函数（PDF）的特征。特别关注了分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）作为连接离散与连续的统一工具。 在多维随机性的描述上，本章引入随机向量，详细讨论了联合分布函数、联合概率质量函数和联合概率密度函数，以及边缘分布的计算方法。关键内容包括随机变量的独立性的严格定义，以及条件分布在分析变量间相互依赖关系中的作用。 第三章：随机变量的数字特征 本章侧重于使用少数几个关键数值来概括随机变量的集中趋势、离散程度和分布形状。详细解析了期望（均值）的性质，包括期望的线性、乘积的期望（在独立性下的简化），以及迭代期望定律在复杂系统分析中的应用。深入讨论了方差、标准差和矩（高阶矩）的概念，特别是偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）在描述分布非对称性和尖锐程度上的作用。 本章的重点在于协方差和相关系数，用以量化两个随机变量之间的线性关系强度。对于多维随机向量，则系统介绍了协方差矩阵（或称散度矩阵），这是后续多元统计分析的基石。 第四章：随机变量的矩函数、特征函数与收敛性 本章进入概率论的理论高阶阶段，介绍了用于求解复杂期望和确定分布的有力工具。 特征函数（Characteristic Function）被详细阐述，作为期望的傅里叶变换，它具有唯一确定分布的性质，并为处理独立随机变量的和提供了卷积运算的便捷工具（即特征函数的乘积）。 在收敛性方面，本章区分了四种主要的收敛模式：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、平方平均收敛（Convergence in Mean Square）和几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）。详细论证了大数定律（Weak and Strong Laws of Large Numbers），揭示了大量重复试验的平均结果趋于期望值的统计稳定性。最后，对中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）进行了详尽的推导与解释，强调了CLT在近似计算和统计推断中的核心地位。 --- 第二部分：数理统计学——从数据中获取知识 本部分将概率论的理论转化为从实际观测数据中进行客观推断的数学方法论。 第五章：数理统计学基础与统计推断 本章概述了统计推断的两个主要分支：描述性统计和推断性统计。定义了随机样本和样本统计量（如样本均值、样本方差）的概念，强调了它们作为总体参数估计量的地位。 引入了统计量的分布，重点分析了卡方分布 ($chi^2$)、学生t分布和Fisher F分布的性质及其在特定场景（如正态总体的方差估计）中的应用。对大样本统计量的分布，特别是基于CLT推导出的渐近分布进行了讨论。 第六章：参数估计 本章聚焦于如何利用样本信息来估计未知的总体参数。 点估计（Point Estimation）方法被系统介绍，包括： 1. 矩估计法（Method of Moments, MoM）：原理直观，操作简便，但在某些情况下效率不高。 2. 极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：这是最常用且性质优良的方法。详细推导了MLE的构造过程、对数似然函数的使用，并分析了其渐近性质（如渐近无偏性、渐近有效性和渐近正态性）。 估计量的优良性标准被深入探讨，包括无偏性、一致性、有效性（最小方差）和完备充分性。本章引入了费希尔信息量和Cramér-Rao下界，作为衡量估计量有效性的理论标尺。 第七章：区间估计（置信区间） 本章解决了点估计固有的不确定性问题，通过构造一个包含真实参数的概率区间来表达估计的可靠性。详细讲解了基于枢轴量（Pivotal Quantity）原理的区间估计构建方法。针对正态总体（已知/未知方差）和比例参数，推导了具体的置信区间公式，包括t分布置信区间和$chi^2$置信区间。对于大样本情况，阐述了基于正态近似的置信区间构造。 第八章：假设检验 假设检验是数理统计推断的核心，本章系统化了这一过程。明确了原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$）的设定。 深入剖析了检验的两个关键错误概率：第一类错误（$alpha$，显著性水平）和第二类错误（$eta$），以及检验功效（Power）。重点讲解了Neyman-Pearson引理在构造最有力（Most Powerful）检验中的作用。 针对不同参数和分布，本章讲解了主要的检验方法： 1. 均值检验：Z检验和t检验（单样本和双样本）。 2. 方差检验：基于$chi^2$分布的单样本方差检验和基于F分布的双样本方差比检验。 3. 比率检验：基于正态近似的比率比较。 最后，介绍了P值（P-value）的概念及其在实际决策中的解释和应用。 --- 第三部分：回归分析与线性模型（深度扩展） 本部分将统计推断应用于变量间的定量关系建模，是应用统计学的基石。 第九章：简单线性回归 本章以最基础的简单线性回归模型 $Y = alpha + eta x + epsilon$ 为切入点。详细介绍了最小二乘法（Least Squares Method, LSM）的推导过程，用以估计回归系数 $alpha$ 和 $eta$。分析了残差（Residuals）的性质，并讨论了模型拟合优度（$R^2$）。在假设误差项服从正态分布的条件下，推导了系数估计量的分布，并在此基础上进行了系数的区间估计和假设检验。 第十章：多元线性回归与模型诊断 本章将回归扩展到多个预测变量的情况：$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + cdots + eta_k X_k + epsilon$。 使用矩阵表示法（$mathbf{Y} = mathbf{X}oldsymbol{eta} + oldsymbol{epsilon}$），系统地推导了多元最小二乘估计的封闭解 $hat{oldsymbol{eta}} = (mathbf{X}^Tmathbf{X})^{-1}mathbf{X}^Tmathbf{Y}$。讨论了模型的整体显著性检验（F检验）以及单个回归系数的t检验。 模型的诊断至关重要：本章详细讨论了多重共线性的识别与处理、异方差性（Heteroscedasticity）的检验（如Breusch-Pagan检验）及其对估计量的影响，并引入了处理异方差的广义最小二乘法（GLS）的概念。最后，探讨了如何进行变量选择（如逐步回归）。 --- 总结： 本书不仅为读者构建了从概率测度到统计推断的严密逻辑链条，还通过对回归分析的深入讲解，提供了处理现实世界复杂数据分析的必备工具集。全书理论推导详实，例题丰富，旨在培养读者运用统计思维解决实际问题的能力。

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**第二段** 坦白说，初次接触这本书时，我对它的实用性持保留态度的。毕竟现在市面上的教材汗牛充栋，真正能做到理论深度与实践操作完美结合的凤毛麟角。然而，这本书的目录结构一下子就抓住了我的注意力——它没有陷入那种纯理论的泥潭，而是巧妙地将看似抽象的数学模型与实际商业决策场景紧密联系起来。我翻阅了其中关于“时间序列分解”的那一章，作者没有直接抛出复杂的公式，而是先用一个具体的库存预测案例引入，逐步推导出背后的数学原理，这种“问题驱动”的教学方式，极大地激发了我探索底层逻辑的兴趣。我感觉自己不是在被动接受知识，而是在一个经验丰富的导师的引导下，主动去解构和理解这些分析工具的构建过程。这对于我这种需要将知识快速转化为工作能力的职场人士来说，价值无法估量。

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**第五段** 关于配套资源的整合性，这本书做得非常出色，它构建了一个完整的学习闭环。除了书本本身详实的文字和图表，作者似乎还很贴心地考虑到了不同学习者对反馈的需求。我发现，在讲解完一个关键算法后，紧接着就有一系列精心设计的“思考题”和“应用挑战”。这些挑战并非简单的套用公式，而是要求读者对模型假设进行批判性思考，或者要求他们用自己的语言重新解释某个复杂的概念。这种设置有效地将“知道”和“做到”之间搭建起了桥梁。通过这些互动性的练习，我能立刻检验自己对知识的掌握程度，并找出思维上的盲点。总而言之，这是一套真正以学习者为中心设计的教材，而不是仅仅为了展示作者的学识深度。

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**第一段** 这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，硬壳精装，拿在手里沉甸甸的，一看就知道是精心制作的。扉页上的字体选择也很有品味，典雅又不失现代感。我特别喜欢它内文的排版，字号大小适中，行距也处理得恰到好处，长时间阅读下来眼睛也不会感到疲劳。更别提那些图表的呈现方式，色彩搭配协调，线条清晰，即便是复杂的概念，通过图示也能很快把握住脉络。随书附带的学习资源也很贴心，一个小小的光盘里收录了不少辅助练习和案例数据，这对于自学者来说简直是福音。虽然我还没完全沉下心来啃完，但光是翻阅这些细节，就能感受到作者和出版方在内容呈现上的匠心独运。这不仅仅是一本工具书，更像是一件值得收藏的艺术品。

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**第四段** 说实话，这本书的选材范围比我想象中要宽泛得多，它似乎不仅仅聚焦于某一个单一的分析分支。我注意到其中有一部分内容涉及到了非参数方法的介绍，这通常在入门级教材中是被忽略的“高阶内容”。这让我对作者的学术视野感到由衷的敬佩。它没有仅仅停留在传统的主流模型上沾沾自喜，而是积极地将一些新兴的研究成果纳入进来，使得整本书的知识体系显得非常“与时俱进”。这就像是走进了图书馆，发现自己原本以为是终点的书架，后面竟然还隐藏着一个更广阔的新世界。这种对知识边界的拓展，无疑为读者构建了一个更为立体、多维度的分析框架，让人在面对复杂、信息异构的问题时，能有更多的工具箱可以选择。

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**第三段** 这本书的语言风格可以说是极其“克制”且“精准”。它不像某些科普读物那样，为了吸引眼球而使用过于夸张或口语化的表达，相反，它保持了一种近乎于科学论文的严谨性。每一个术语的定义都经过了细致的斟酌，力求无歧义。我尤其欣赏作者在论证过程中展现出的那种逻辑的连贯性，从一个基础假设出发，每一步推导都像是链条上的扣环，牢不可破。对于那些追求知识本源、不满足于“会用”而想“理解为什么”的读者来说，这无疑是一本难得的宝藏。当然，也正因为这种高度的专业性，我必须承认，对初学者来说，可能需要反复阅读才能完全消化其中的深度。它要求读者投入足够的时间和专注力，去品味那些看似微小却至关重要的逻辑转折点。

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