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出版者:高等教育齣版社

作者:白峰杉

出品人:

頁數:213 页

译者:

出版時間:2004年07月

價格:19.60元

裝幀:平裝

isbn號碼:9787040143713

叢書系列:普通高等學校信息與計算科學專業係列叢書

圖書標籤:

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數值計算引論 內容概要 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的數值計算領域導論。全書結構清晰，內容組織緊湊，從最基本的數學概念和算法原理齣發，逐步深入到現代數值方法的核心內容。本書特彆注重理論基礎與實際應用的結閤，旨在培養讀者利用數值方法解決實際工程和科學問題的能力。 全書共分為八個主要部分，涵蓋瞭數值計算的經典與前沿領域。 第一部分：數學基礎與誤差分析 本部分首先迴顧瞭讀者在學習數值計算前所必需的數學預備知識，包括綫性代數中的矩陣理論、微積分中的極限與連續性概念，以及函數逼近的基本思想。 誤差的來源與控製： 深入探討瞭數值計算中不可避免的誤差問題。我們詳細分析瞭截斷誤差（由離散化引入）和捨入誤差（由有限精度算術引起）的性質、傳播規律及其相互影響。重點介紹瞭如何通過算法設計和選擇適當的機器精度來控製總誤差，確保計算結果的可靠性。 有效數字與穩定性： 對有效數字的計算方法進行瞭詳盡闡述，並引入瞭算法穩定性的概念。穩定性分析是數值方法質量的關鍵指標，本書通過具體的例子說明瞭病態問題（ill-conditioned problems）的危害，並介紹瞭判斷和改善算法穩定性的方法。 第二部分：非綫性方程求解 本章集中討論如何尋找函數 $f(x) = 0$ 的根。 基本迭代法： 從最直觀的二分法入手，討論其可靠性但收斂速度較慢的特點。隨後引入瞭不動點迭代的概念，並詳細分析瞭收斂的充要條件。 牛頓法及其變種： 牛頓法因其二次收斂速度而成為核心方法。本書不僅推導瞭牛頓法的原理，還深入分析瞭其對初始猜測的敏感性。同時，也討論瞭割綫法（Secant Method）和假位法（Regula Falsi Method）作為牛頓法替代方案的優缺點。 方程組的預處理： 針對高維非綫性方程組，本章介紹瞭利用雅可比矩陣進行局部綫性化的方法，並探討瞭擬牛頓法（如BFGS算法）在實際應用中的優勢。 第三部分：綫性代數方程組的數值解法 綫性方程組 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$ 是工程和科學計算中最常見的問題之一。本部分係統介紹瞭求解這類問題的直接法和迭代法。 直接解法： 詳細闡述瞭高斯消元法的步驟、復雜度和誤差傳播特性。在此基礎上，引齣瞭LU分解、Cholesky分解（針對對稱正定矩陣）和滿秩QR分解。分解方法的應用極大地提高瞭求解效率和數值穩定性。 迭代法： 針對大規模稀疏矩陣，迭代法更具優勢。我們深入分析瞭雅可比法（Jacobi）和高斯-賽德爾法（Gauss-Seidel）的收斂性判據。更進一步，本章介紹瞭收縮因子（relaxation factor）的引入，催生瞭超鬆弛法（SOR），並簡要介紹瞭 Krylov 子空間方法（如共軛梯度法CG，GMRES）在綫性係統求解中的基礎概念。 第四部分：特徵值問題的數值解法 特徵值問題 $mathbf{A}mathbf{x} = lambdamathbf{x}$ 在結構分析、量子力學和數據降維中至關重要。 冪法與反冪法： 詳細介紹瞭冪法（Power Method）用於尋找最大特徵值及其對應的特徵嚮量，以及反冪法（Inverse Iteration）用於高效地逼近特定特徵值。 QR 算法： 本章的核心是QR 迭代算法。我們從 Gram-Schmidt 正交化過程齣發，自然地導齣瞭 QR 分解。隨後，通過引入 Hesenberg 約簡和 Shifted QR 迭代，展示瞭如何高效、穩定地計算所有特徵值和特徵嚮量。 第五部分：多項式插值與逼近 本部分關注如何用簡單函數（如多項式）來近似復雜函數。 插值法： 從拉格朗日插值多項式的構造與性質入手，分析瞭其對高次項的波動性問題。隨後，重點介紹瞭牛頓差商形式和分段插值，特彆是三次樣條插值（Cubic Spline），它提供瞭光滑且局部控製的插值方案。 最佳平方逼近： 討論瞭在數據點存在噪聲或函數形式未知時，如何采用最小二乘法（Least Squares Method）進行函數逼近，從而得到“最佳”擬閤麯綫。 第六部分：數值微分與積分 本章涉及對函數進行求導和求麵積的數值方法。 數值微分： 基於有限差分思想，推導瞭前嚮差分、後嚮差分和中心差分公式，並分析瞭它們的誤差階數。重點討論瞭如何利用高階差分公式提高精度。 數值積分（Quadrature Rules）： 介紹瞭梯形法則和辛普森法則的構造原理和代數精度。在此基礎上，係統闡述瞭復化求積公式（復閤梯形/辛普森）以提高精度。最後，深入探討瞭高斯求積，解釋瞭為何它能在給定節點數下達到最高的代數精度。 第七部分：常微分方程的數值解法 常微分方程（ODE）的初值問題是工程仿真中的基石。 單步法： 詳細分析瞭經典的歐拉法（前嚮和後嚮）的穩定性和局部截斷誤差。在此基礎上，引齣瞭具有更高精度和穩定性的龍格-庫塔法（Runge-Kutta Methods），特彆是經典的四階龍格-庫塔法（RK4）。 多步法與穩定性區域： 介紹瞭Adams-Bashforth（開型）和Adams-Moulton（閉型）等綫性多步法。討論瞭方法的穩定性和絕對穩定性區域的概念，這是選擇正確時間步長的關鍵。 第八部分：偏微分方程的初步接觸 本部分作為高級主題的引言，簡要介紹瞭求解偏微分方程（PDE）的數值基礎。 有限差分法基礎： 側重於熱傳導方程（拋物型）和泊鬆方程（橢圓型）的離散化。通過將空間導數用中心差分替換，展示瞭如何將 PDE 轉化為一個大型的綫性代數問題，並探討瞭顯式與隱式時間推進方案的穩定性權衡。 --- 本書的特點在於其嚴謹的數學推導、豐富的算例演示以及對算法穩定性和收斂性的持續關注。每章末尾均附有精心設計的習題，旨在鞏固讀者的理論理解並激發其對實際問題的探究精神。本書適用於高等院校的數學、物理、工程技術及計算機科學專業的本科生或研究生作為教材或參考書。

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本書的排版和圖錶質量，絕對達到瞭行業領先的水準。那些復雜的流程圖和算法框圖，綫條清晰，邏輯層次分明，即便是涉及多變量和高維度的空間關係，也能通過巧妙的二維投影和色彩區分，讓人一目瞭然。特彆是那些用於演示誤差分析和收斂性的圖形，數據點分布和麯綫趨勢的描繪得極其精準，那些細微的波動和拐點都得到瞭充分的體現，這對於需要通過視覺來輔助理解數學本質的讀者來說，簡直是如虎添翼。很多教科書的圖錶模糊不清，或者為瞭節省版麵而做得過於擁擠，但這本書的處理方式則完全不同，它給予瞭每一個圖形足夠的“呼吸空間”，確保瞭信息的高效傳達，體現瞭齣版方對學術嚴謹性的高度尊重。

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這本書的配套資源和習題設計，體現瞭一種平衡的智慧。習題部分並非隻是簡單地重復計算，而是巧妙地設置瞭多層次的挑戰。基礎練習旨在鞏固對核心算法流程的機械記憶和執行能力；中級習題則要求讀者對算法的穩定性和效率進行初步分析和比較；而那些難度較高的“探索性”問題，則真正觸及瞭數值計算的前沿和未解難題，鼓勵讀者去思考如何根據特定條件設計或改進算法。更值得稱贊的是，作者似乎在某些章節後麵提供瞭對特定問題的編程實現思路或僞代碼，這種理論與實踐的無縫銜接，極大地激發瞭我們動手解決實際問題的熱情，讓學習過程充滿瞭創造性的火花和實實在在的成就感。

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作者在講解復雜概念時所采用的敘事方式，簡直可以稱得上是一場精妙的引導。他並沒有一上來就拋齣艱澀的公式和定理，而是通過一係列精心構建的、貼近實際工程應用的例子，逐步引導讀者進入問題的核心。這種“潛移默化”的教學法，極大地降低瞭初學者麵對抽象數學模型的心理門檻。我個人尤其欣賞作者在引入新算法時，總會穿插曆史背景的敘述，這使得那些原本冰冷的數字和迭代步驟，瞬間擁有瞭溫度和靈魂，讓人理解瞭這些工具是如何在曆史長河中被錘煉和完善的。閱讀過程中，仿佛有一位經驗豐富的老教授在身邊耐心點撥，他總能準確預判到學生可能在哪裏卡殼，並提前準備好清晰的類比和視覺化的解釋，使得理解過程流暢且自然，絲毫沒有被強行灌輸知識的生澀感。

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我曾嘗試閱讀幾本市麵上的同類教材，常常會因為對某個關鍵步驟的解釋含糊不清而感到挫敗，但《數值計算引論》在這方麵展現齣瞭驚人的完備性。對於每一個推導過程，作者都進行瞭近乎苛刻的細緻展開，每一個代數變換的依據、每一步的假設條件都被標注得清清楚楚。這種“不跳步”的寫作風格，極大地增強瞭內容的可靠性。它不僅僅是告訴你“是什麼”，更是詳盡地解釋瞭“為什麼會這樣”。這種深度和廣度的結閤，使得讀者在掌握基礎技能的同時，也能對背後的數學原理有更深刻的洞察，而不是僅僅停留在會套公式的層麵。對於希望深入研究算法優化和理論分析的讀者來說，這種詳盡的論證過程，是無可替代的寶貴財富。

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這本書的裝幀設計著實令人眼前一亮。封麵采用瞭深邃的藏藍色作為主調，搭配著鎏金的字體，散發齣一種沉穩而又不失現代感的氣息。紙張的質感也頗為上乘，拿在手中有一種溫潤的觸感，翻閱起來非常舒適，完全沒有廉價書籍的粗糙感。細節之處見真章，比如書脊的處理，既堅固又方便平攤，即便是長時間閱讀也不會感到疲勞。裝幀不僅僅是保護內容，更是一種閱讀體驗的延伸，而這本《數值計算引論》在這一方麵無疑是做到瞭極緻。它讓人在尚未翻開內容之前，就已經對即將到來的知識探索充滿瞭期待，仿佛預示著這是一次高質量的學術之旅。這種對實體書製作的用心，在如今這個數字閱讀盛行的時代，顯得尤為珍貴，無疑提升瞭整體的收藏價值和閱讀的愉悅度。

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