具体描述
The present book is meant as a text for a course on complex analysis at the advanced undergraduate level, or first-year graduate level. The first half, more or less, can be used for a one-semester course addressed to undergraduates. The second half can be used for a second semester, at either level. Somewhat more material has been included than can be covered at leisure in one or two terms, to give opportunities for the instructor to exercise individual taste, and to lead the course in whatever directions strikes the instructor's fancy at the time as well as extra reading material for students on their own. A large number of routine exercises are included for the more standard portions, and a few harder exercises of striking theoretical interest are also included, but may be omitted in courses addressed to less advanced students.
此书为英文版！
作者简介
目录信息
Prerequisites
PART ONE Basic Theory
CHAPTER Ⅰ Complex Numbers and Functions
1. Definition
2. Polar Form
3. Complex Valued Functions
4. Limits and Compact Sets
5. Complex Differentiability
6. The Cauchy-Riemann Equations
7. Angles Under Holomorphic Maps
CHAPTER Ⅱ Power Series
1. Formal Power Series
2. Convergent Power Series
3. Relations Between Formal and Convergent Series
4. Analytic Functions
5. Differentiation of Power Series
6. The Inverse and Open Mapping Theorems
7. The Local Maximum Modulus Principle
CHAPTER Ⅲ Cauchys Theorem,First Part
1. Holomorphic Functions on Connected Sets
2. Integrals Over Paths
3. Local Primitive for a Holomorphic Function
4. Local Primitive for a Holomorphic Function
5. The Homotopy Form of Cauchys Theorem
6. Existence of Global Primitives.Definition of the Logarithm
7. The Local Cauchy Formula
CHAPTER Ⅳ Winding Numbers and Cauchys Theorem
CHAPTER Ⅴ Applications of Cauchys Integral Formula
CHAPTER Ⅵ Calculus of Residues
CHAPTER Ⅶ Conformal Mappings
CHAPTER Ⅷ Harmonic Functions
PART TWO Geometric Function Theory
CHAPTER Ⅸ Schwarz Reflection
CHAPTER Ⅹ The Riemann Mapping Theorem
CHAPTER Ⅺ Analytic Continuation Along Curves
PART THREE Various Analytic Topics
CHAPTER Ⅻ Applications of the Maximum Modulus Principle and Jensens Formula
CHAPTER ⅩⅢ Entire and Meromorphic Functions
CHAPTER ⅩⅣ Elliptic Functions
CHAPTER ⅩⅤ The Gamma and Zeta Functions
CHAPTER ⅩⅥ The Prime Number Theorem
Appendix
Bibliography
Index
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
《复分析》这本书，对我而言，是一次深入的数学探索之旅，它让我看到了数学的深度和广度。我曾经对复数这一概念感到陌生甚至有些畏惧，但这本书以其清晰的讲解和丰富的例证，彻底改变了我的看法。本书从复数的代数表示开始，逐步引入复平面上的几何意义，让我能够直观地理解复数的加法、减法、乘法和除法运算，以及复数的模和辐角。我特别欣赏书中对复变函数连续性、可微性和解析性之间关系的细致阐述。柯西-黎曼方程的推导，以及它们作为函数解析性的充要条件的证明，让我深刻体会到数学的严谨和逻辑性。书中对解析函数的各种性质的探讨，如它们可以被泰勒级数展开，以及它们在映射过程中的表现，都让我为之着迷。我花了大量时间来理解柯西积分定理及其推论，比如柯西积分公式，它将函数在闭合曲线上的积分值与函数在曲线内部的取值联系起来，这种数学上的“魔力”令人惊叹。留数定理更是我学习的重点，我努力掌握如何识别孤立奇点，并计算不同类型的留数，以便能够灵活运用它来求解复杂的实变积分。本书的排版和插图都非常精心，大量的图例帮助我理解抽象的数学概念，例如复变函数在复平面上的映射，以及积分路径的选取。这本书不仅仅是一本教科书，更是一本能够激发我思考和探索的工具，它让我看到了数学的逻辑之美和解决问题的强大力量。
评分《复分析》这本书，在我数学学习的旅途中，扮演了非常关键的角色，它不仅拓展了我对数学的认知边界，更重要的是，它教会了我如何去欣赏数学的内在美。在接触这本书之前，我对复数这一概念的理解，仅仅停留在一些抽象的符号和公式上，而本书通过将复数与几何直观紧密结合，为我打开了一个全新的世界。我非常喜欢书中对复数乘法的几何解释，它将乘法看作是旋转和伸缩的组合，这让我能够从视觉上理解复数运算的本质，也为后续理解复变函数的映射奠定了基础。本书对解析函数的定义和性质的阐述，简直是数学中的“水晶般”的逻辑。一旦一个函数被证明是解析的，它就拥有了一系列令人惊叹的性质，比如可以进行泰勒展开，可以进行各种复杂的积分运算，并且在映射过程中表现出良好的几何特性。我投入了大量精力来学习和理解柯西积分定理，以及它的各种推论，比如柯西积分公式，它揭示了函数在闭合曲线上的积分值与函数在曲线内部的取值之间的深刻联系，这种“全局”与“局部”的关联，让我对分析学的理解达到了一个新的高度。留数定理更是我学习的重点，我努力掌握如何识别孤立奇点，以及计算不同类型的留数，以便能够灵活运用它来求解复杂的实变积分。这本书的语言表达非常精炼，同时又富有启发性，它鼓励读者去思考，去发现数学的内在联系和美感，让我在学习过程中不仅仅是被动接受知识，更是主动地去探索和理解。
评分对于《复分析》这本书，我的感受是它提供了一种全新的视角来审视数学问题。在学习这本书之前，我总是习惯于在实数域中思考问题，而复数域的引入，如同打开了一个全新的维度，让许多原本棘手的问题迎刃而解。本书对全纯函数（另一层含义上的解析函数）的性质的挖掘，让我叹为观止。例如，书中对刘维尔定理的阐述，即有界整函数必为常数，这个看似简单的结论，却蕴含着强大的力量，它在证明一些重要的代数和分析结果时发挥着关键作用。我非常喜欢本书对复变函数的可视化展示，通过各种图形和动画（虽然书本是静态的，但作者的描述和图示足以引导我进行想象），我能够直观地理解函数的映射过程，例如复指数函数将直线映射为螺旋线，复对数函数将螺旋线映射为直线。这种图形化的理解，极大地帮助我克服了抽象概念带来的困难。书中对留数定理的应用，特别是用来计算某些难以处理的实变积分，是我学习的重点和难点之一。我花了很多时间来理解如何选择合适的积分路径，如何识别奇点并计算留数，以及如何通过最终的计算结果与实际问题的联系。每一次成功地用留数定理解决一个复杂的积分问题，都给我带来了巨大的成就感。此外，本书对黎曼球面和无穷远点的引入，更是将复平面扩展到了一个更加完整和对称的空间，使得许多原本在复平面上难以描述的奇点，如无穷远点，也能够得到统一的处理。这种对数学对象的“完备化”处理，充分展现了数学的优雅和深刻。总而言之，这本书不仅传授了复分析的知识，更重要的是培养了我运用数学工具解决问题的能力和对数学内在逻辑的深刻理解。
评分《复分析》这本书，在我学习数学的道路上，无疑是浓墨重彩的一笔。它不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的重塑。我对于复数概念的理解，在这本书的引导下得到了极大的深化。从复数的几何意义——在复平面上的点，到复数运算的几何解释——旋转和伸缩，本书一步步地引导我建立起对复数世界的直观认知。我尤其欣赏书中对解析函数的定义和性质的阐述，解析函数的美妙之处在于其“光环效应”，一旦一个函数在一个区域内满足某些局部条件（如可微），它就能在该区域内展现出许多优良的性质，比如无限次可微、可以进行泰勒展开等。这些性质的推导过程，严谨而富有逻辑性，让我对数学的精确性和力量有了更深刻的认识。柯西积分定理是我在学习过程中最感震撼的定理之一，它将函数在闭合曲线上的积分与函数在曲线内部的取值联系起来，这种“全局”决定“局部”的思想，让我对分析学有了全新的理解。我记得在理解留数定理的过程中，我反复练习了如何识别孤立奇点以及计算留数，这不仅仅是技巧的掌握，更是对函数在奇点附近行为的深刻洞察。本书还涉及了诸如解析延拓、共形映射等更高级的概念，这些概念的应用不仅在数学本身，在物理学、工程学等领域也具有重要的意义。例如，共形映射能够保持角度，这在流体力学和电磁学等领域有着广泛的应用。这本书的结构安排非常合理，从基础概念到复杂定理，再到应用，层层递进，让读者能够循序渐进地掌握复分析的知识。
评分这本《复分析》简直就是我学习数学道路上的启明星，它的出现彻底改变了我对复杂世界的认知。在翻阅这本书之前，复数对我来说，仅仅是几个冰冷的符号，虚数单位$i$更是如同一个无法触及的幽灵，游荡在数学的边缘，显得既神秘又难以理解。然而，本书作者以一种极为细腻且富有洞察力的方式，将抽象的复数概念层层剥开，如同剥洋葱一般，让我逐步领略到复数在几何、代数以及分析学中无处不在的魅力。从最基础的复数几何意义，如复平面上的点、向量加法，到更深层次的复数乘法对应的旋转和伸缩，本书都用生动形象的比喻和清晰严谨的数学推导，让我仿佛亲手触摸到了复数的灵魂。我尤其喜欢它对复数函数映射的讲解，那些看似复杂的变换，在作者的笔下，变得如同艺术品一般赏心悦目，例如莫比乌斯变换，它将直线和圆映射到直线和圆，这种结构上的保持和美感，让我为之倾倒。书中对柯西积分定理的阐述更是让我茅塞顿开，原来那些看似怪异的积分路径，都可以通过某种“路径同伦”的概念联系起来，从而得到美妙的计算结果。理解了柯西积分定理，就如同打开了通往复变函数世界的一扇大门，后续的泰勒展开、洛朗展开、留数定理等概念，也变得顺理成章，引人入胜。本书的排版和字体选择也恰到好处，阅读起来非常舒适，大量的插图和例题更是起到了画龙点睛的作用，让抽象的理论变得具体可感，我能够清晰地看到函数图像在复平面上的变化，理解导数、积分的几何意义，这对于我这个“视觉型”的学习者来说，简直是福音。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，它不仅传授知识，更重要的是教会我如何去思考，如何去欣赏数学的内在逻辑和美感。
评分《复分析》这本书，对我来说，是一次关于数学“美学”的启蒙。在学习之前，数学在我心中可能更多的是枯燥的计算和符号的堆砌，而这本书则让我看到了数学的另一种可能性——一种充满和谐、对称和内在逻辑的美。本书在介绍复数代数运算时，就巧妙地将其与几何意义相结合，让我理解了复数的加法对应向量的平行四边形法则，而乘法则对应着旋转和伸缩，这种几何化的解释，让原本抽象的运算变得生动而易于理解。我特别喜欢本书对柯西积分定理的论证，它不仅仅是一个数学公式，更是整个复分析理论的基石。通过对路径同伦和单连通域的讨论，作者清晰地展示了为什么在某些区域内，积分值与路径无关，这背后蕴含着深刻的拓扑思想。我记得对柯西积分公式的理解，让我看到了函数在一个点的值，竟然可以通过它在闭合曲线上所有其他点的积分来确定，这是一种多么奇妙的“全局”与“局部”的联系！本书对解析函数的性质的深入挖掘，比如它们的光滑性、无限可微性以及可以被幂级数展开的特性，都让我惊叹于复变函数世界的规律性。我花了大量时间来理解泰勒展开和洛朗展开，它们不仅是函数的一种表示方式，更是理解函数局部行为和分析奇点的重要工具。书中对留数定理的讲解，更是将抽象的积分计算变成了一种“技艺”，通过识别奇点和计算留数，许多复杂的积分问题变得简单明了。这本书的语言表达非常精炼，同时又富有启发性，它鼓励读者去思考，去发现数学的内在联系和美感，让我在学习过程中不仅仅是被动接受知识，更是主动地去探索和理解。
评分接触《复分析》这本书，是我在本科阶段一次非常重要的学习经历，它不仅仅是课程的需要，更是一种智识上的洗礼。在此之前，我对分析学和代数学的理解，似乎总觉得缺少了那么一层“通透”感，而复分析恰好弥补了这一点。本书最让我印象深刻的是它对解析函数的定义和性质的深入探讨。从最初的复变函数概念入手，到可微性、解析性的区分，再到柯西-黎曼方程的导出，整个过程严谨而又循序渐进。我喜欢它对解析函数的“光环效应”的描绘，一旦一个复变函数在一个区域内是解析的，那么它在这个区域内就表现出极其优良的性质，比如可以进行泰勒展开，可以进行各种漂亮的积分计算。书中关于柯西积分公式的证明，更是让我体会到了数学的严谨性和创造性，它将函数在闭合曲线上的积分值与函数在曲线内部的取值联系起来，这种“全局信息”能够决定“局部信息”的原理，实在令人惊叹。此外，本书对留数定理的讲解也非常到位，它将复积分的计算，特别是涉及奇异点的积分，转化为对函数在孤立奇点附近的“留数”的计算，这极大地简化了许多原本复杂的积分问题。我记得为了理解留数定理，我反复阅读了关于奇点分类（可去奇点、极点、本性奇点）以及如何计算留数的章节，书中提供了大量的例题，从易到难，让我逐步掌握了计算技巧。而且，本书并没有止步于理论讲解，它还涉及了一些重要的应用，比如用复变函数的方法求解实变积分，以及在物理学中的一些应用，例如势流理论和求解微分方程。这些应用让我看到了复分析不仅仅是数学理论的象牙塔，更是解决实际问题的有力工具，极大地激发了我学习的兴趣和热情。
评分《复分析》这本书，在我接触数学的生涯中，是一次非常独特的学习体验，它为我打开了理解更深层次数学问题的大门。在学习这本书之前，我对数学的理解更多地局限于实数域，而复数域的引入，让我看到了数学的另一番天地。本书从复数的最基本概念入手，比如虚数单位$i$的定义，以及复数的代数表示，然后将其与复平面上的几何意义联系起来。我非常喜欢书中对复数乘法的几何解释，它揭示了乘法同时包含了旋转和伸缩两种变换，这种几何化的视角，极大地帮助我理解了复数运算的本质。本书对解析函数的定义和性质的阐述，尤其让我印象深刻。解析函数的“光环效应”——即一个函数一旦是解析的，它就展现出许多优良的性质，比如无限可微、可以被泰勒级数展开等等，这些性质的推导过程严谨而富有逻辑性。我记得在学习柯西积分定理时，我反复琢磨它的证明过程，理解了为什么在单连通区域内，解析函数的线积分与路径无关，这为我理解后续的留数定理打下了坚实的基础。留数定理的应用，特别是用来计算一些复杂的实变积分，让我感受到了复分析的强大威力。我投入了大量时间和精力来学习如何识别孤立奇点，以及计算不同类型的留数，每一次成功地运用留数定理解决一个积分问题，都给我带来了极大的满足感。这本书不仅传授了知识，更重要的是培养了我严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。
评分《复分析》这本书，在我学习过程中扮演了一个至关重要的角色，它如同一座桥梁，连接了我之前接触到的微积分和更高等的数学领域。本书在概念的引入上做得非常出色，它并没有急于抛出复杂的定理，而是从最直观的复数几何意义开始，让读者能够逐步建立起对复数世界的直观感受。我尤其欣赏它对复数乘法几何解释的详细阐述，旋转和伸缩的组合，使得复数乘法不再是简单的数字运算，而是一种在复平面上的几何变换，这为后续理解复变函数的映射和性质奠定了坚实的基础。本书对序列和级数的收敛性讨论，也处理得非常细致，特别是对复数级数的收敛判定，引入了各种判别法，并且用清晰的图示来解释这些概念。我记得对幂级数的讨论，它不仅揭示了幂级数是解析函数的一种基本表示方式，还详细讲解了泰勒级数的展开和收敛域的确定，这对于理解函数的局部性质至关重要。当我阅读到关于解析函数的解析延拓章节时，我被深深地震撼了。原来一个解析函数，在它的定义域之外，仍然可以被“唯一地”确定下来，只要找到了合适的延拓路径。这种“唯一性”和“可延拓性”的特点，展现了复变函数强大的内在结构和规律性。书中对同调积分的讲解，更是将积分与拓扑联系起来，让我理解了柯西积分定理背后的深刻含义，即在单连通区域内，解析函数的线积分与路径无关。这为后来理解更复杂的积分理论打下了基础。总的来说，这本书的结构安排合理，逻辑清晰，语言表达准确而不失生动，它不仅仅是一本教科书，更是一本能够引发思考、激发探索欲的数学著作，让我对数学的美感有了更深的体会。
评分《复分析》这本书，对我而言，是一次深入的数学学习之旅，它不仅丰富了我的数学知识，更重塑了我的数学思维方式。在学习这本书之前，我对复数这一概念仅有模糊的认识，而本书以其清晰的逻辑和精妙的讲解，为我描绘了一个完整而迷人的复数世界。从复数的几何意义——在复平面上的点，到复数运算的几何解释——旋转和伸缩，本书一步步地引导我建立起对复数世界的直观认知。我特别欣赏书中对解析函数的定义和性质的深入探讨，解析函数的美妙之处在于其“光环效应”：一旦一个函数在一个区域内满足某些局部条件（如可微），它就能在该区域内展现出许多优良的性质，比如无限次可微、可以被泰勒级数展开等。这些性质的推导过程，严谨而富有逻辑性，让我对数学的精确性和力量有了更深刻的认识。柯西积分定理是我在学习过程中最感震撼的定理之一，它将函数在闭合曲线上的积分与函数在曲线内部的取值联系起来，这种“全局”决定“局部”的思想，让我对分析学有了全新的理解。我记得在理解留数定理的过程中，我反复练习了如何识别孤立奇点以及计算留数，这不仅仅是技巧的掌握，更是对函数在奇点附近行为的深刻洞察。本书还涉及了诸如解析延拓、共形映射等更高级的概念，这些概念的应用不仅在数学本身，在物理学、工程学等领域也具有重要的意义。
评分这书给我最大的印象就是习题里有黎曼猜想。。。
评分柯西公式多种身份：柯西黎曼方程的解，或从变分原理得到，同时也具有整体同调性质和局部的版本。黎曼映射定理 单连通转化到单位圆 整函数对应有多项式亚纯函数对应有理函数 米塔列夫勒将有理函数分解为部分多项式定理推广到亚纯函数。运算看做映射，函数视为空间。单连通（等价于可缩空间概念）可以使得点的值提升为包含点的开集，复分析用了很多代数概念schwarz引理圆盘自同构和自同态，也用了拓扑的同伦和同调。全纯是可微的，而解析可展开为幂级数，在复分析中证明全纯（可微）就是解析函数。解析函数的实部是调和函数。解析函数的原函数等价于向量场找势函数，泊松公式就是根据解析函数的实部来表达解析函数，复分析的结果仅仅是局部平面映射的问题，得到的结果对于高维推广都十分有限，其整体性仅仅是连通性带来的结果
评分这书给我最大的印象就是习题里有黎曼猜想。。。
评分这书给我最大的印象就是习题里有黎曼猜想。。。
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