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出版者:北京大学出版社

作者:张筑生

出品人:

页数:351 页

译者:

出版时间:2002-7

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787301056967

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现代几何学：从经典到前沿的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代几何学图景，内容横跨经典的微分几何、黎曼几何，并延伸至当代数学物理和拓扑学的前沿领域。我们不关注任何特定的教材或专著，而是力求构建一个知识体系的宏观框架，展示几何思想如何驱动数学的深刻变革。 第一部分：经典基石与微分几何的复兴 本部分聚焦于构成现代几何学不可或缺的分析基础和结构描述。 第一章：流形的基础结构 我们从光滑流形的定义出发，详细阐述其局部坐标系、图册和转移映射的概念。重点讨论拓扑结构与光滑结构之间的微妙关系，以及如何通过张量场、向量场和微分形式来定义流形上的分析结构。流形不仅是研究广义相对论和微分方程的必需工具，更是现代拓扑学深入分析的平台。我们详细探讨李导数，它如何度量沿向量场的函数变化，并引出李群和李代数的概念，这是理解对称性在几何中作用的关键。 第二章：张量分析与曲率的引入 本章深入讨论协变导数和联络的构造。通过平行移动的概念，我们引入了曲率张量。黎曼几何的精髓在于曲率，我们详细分析黎曼曲率张量、里奇张量和斯卡拉曲率，它们是衡量空间弯曲程度的内在量度。我们还将讨论度量张量在定义测地线、距离和体积元素中的核心作用，为后续的动力学和优化问题打下基础。对这些基本工具的熟练掌握，是进入更抽象理论的先决条件。 第三章：微分形式与德拉姆上同调 本部分将几何结构与代数拓扑联系起来。我们系统地介绍微分形式的外积、楔积和外微分算子 $d$。外微分不仅是光滑函数梯度推广的自然结果，更是勒贝格积分推广到高维流形的基石。我们详尽论述了著名的德拉姆定理，它揭示了微分形式的代数结构——德拉姆上同调群——与流形的拓扑结构之间的深刻同构关系。对上同调的理解，使得我们可以利用代数工具来区分具有相同维数但拓扑结构不同的流形。 第二部分：高级结构与拓扑学的交叉 在打下坚实的微分几何基础后，本部分将视角转向更具几何物理意义的高级结构，以及它们如何与代数拓扑相互渗透。 第四章：纤维丛与联络理论 纤维丛是现代几何学中描述“在每一点上附加一个空间”的标准框架。我们定义了向量丛、主丛和联络，并将联络的概念推广到更一般的纤维丛上。重点讨论了何尔曼联络、规范场理论中的联络概念，以及曲率如何与规范势联系起来。霍奇理论作为联络理论的必然产物，将在后续章节中发挥作用。 第五章：辛几何与泊松结构 辛几何是研究保辛变换的几何分支，它在经典力学和相空间理论中占据核心地位。本章介绍辛形式、辛流形、泊松括号的构造以及泊松流。我们探讨了李维尔定理和哈密顿系统的几何意义。辛结构提供了一种不同于黎曼度量的、描述相空间动力学的基本框架，它强调体积保持性和某些类型的拓扑不变性。 第六章：拓扑不变量的代数提取 本部分回归拓扑学的核心目标：寻找在连续形变下不变的量。我们系统地介绍奇异同调群（欧拉拓扑学的基石）的构造及其公理体系。随后，我们将回到德拉姆上同调，展示如何利用 De Rham 陪集的推广——辛-德拉姆上同调——来研究纤维丛上的上同调理论。对贝蒂数的深入分析，使得我们可以量化流形的“洞”的数量和维度，这是区分拓扑空间的有力工具。 第三部分：现代几何的动态前沿 最后一部分着眼于几何学在解决当代数学和物理难题中的应用。 第七章：调和分析与霍奇理论 本章将微分几何、分析和拓扑学融合在一起。我们引入了拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$。在紧黎曼流形上，拉普拉斯算子与德拉姆上同调之间存在深刻联系。霍奇定理表明，每一个上同调类都包含一个唯一的调和微分形式。这不仅为上同调群提供了精密的分析表示，也成为研究流形上势能理论和势场分布的关键。 第八章：规范场理论的几何基础 现代物理学严重依赖于几何语言。本章探讨规范场理论如何被几何化。我们通过纤维丛上的联络来描述规范场，并将规范变换解释为这种联络的变换。杨-米尔斯理论的几何框架使得物理学家能够使用拓扑工具（如汤姆斯的理论）来分析场论的性质。我们讨论了Chern-Simons作用量及其在低维拓扑中的重要应用，展示了几何如何成为连接高能物理和代数拓扑的桥梁。 第九章：可积系统与几何动力学 本章讨论在几何背景下，动力学系统如何演化。我们考察了流形上的哈密顿流，并引入了可积系统的概念，特别是费利斯-诺斯瑟姆定理在保守系统中的几何解释。本章试图揭示，在某些高度对称的系统中，几何结构如何强制性地将复杂的动力学简化为有限维的、可完全积分的子空间，例如阿诺索夫流上的作用。 本书的目的是提供一个结构严谨、内容丰富的几何学概览，强调几何概念的内在联系和相互启发性，从而让读者能够独立地进入这些前沿领域的更深层次研究。

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从实用性的角度来看，这本书的价值远超一般教材。它不仅仅停留在理论构建上，对于如何运用这些理论解决实际问题，也提供了非常深入的探讨。收录的习题部分，设计得层次分明，从基础的计算练习，到需要深度思考的证明题，再到一些开放性的探索性问题，覆盖面极广。更重要的是，它的答案和提示部分处理得恰到好处——它们不会直接给出最终的完整解法，而是提供必要的引导和关键步骤的提示，迫使读者必须自己动脑筋去填充中间的细节。这种半开放式的习题设计，是检验和巩固学习成果的最佳途径。我通过解决其中的几道难题，才真正体会到理论知识是如何转化为解决实际问题的能力的。对于那些希望将微分拓扑应用于物理、工程或其他交叉学科的读者而言，这本书提供的工具箱是极其丰富和实用的，它教会的不仅是知识，更是一种解决复杂数学问题的思维模式和韧性。

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这本书的语言风格，可以称得上是“清醒的浪漫主义”。它在保持数学语言的严谨性和精确性的同时，并没有完全舍弃掉一种对数学美感的追求。作者在关键时刻会适当地引入一些历史背景或者哲学思考，让冰冷的公式仿佛拥有了生命和温度。例如，在阐述某些拓扑不变量的动机时，作者会回顾研究这些概念的历史缘由，讲述那些伟大的数学家是如何一步步揭示世界本质的。这种叙事方式极大地提升了阅读的趣味性，也让学习过程不再是枯燥的重复和记忆，而变成了一场智力上的探险。我常常在某一个公式推导完毕后，抬起头来，对数学世界中存在的这种优雅和规律感到由衷的敬畏。这种“润物细无声”的感染力，是很多教科书所欠缺的——它们只负责告知“是什么”，而这本书则更侧重于引导你理解“为什么会是这样”，以及这种“这样”的美好之处。

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这本书的封面设计着实吸引人，那种深邃的蓝色调配上简洁的几何图形，让人一眼就能感受到其中蕴含的数学之美。我一开始是抱着一种既期待又有些忐忑的心情翻开它的。毕竟“微分拓扑”这个名字本身就带着一种高深莫测的气场，担心内容会过于晦涩难懂。然而，初读几章后，我发现作者在引导读者进入这个领域时，采取了一种非常平易近人的方式。他似乎很懂得初学者的思维定势和容易困惑的地方，总能在关键概念出现时，用一些形象的比喻或者非常直观的例子来打通关节。比如，对于那些复杂的流形概念，作者并没有一开始就抛出繁复的定义，而是先从曲线和曲面的直观理解入手，逐步过渡到更高维度的抽象结构。这种循序渐进的叙事节奏，极大地降低了学习的心理门槛。读完这部分内容，我感觉自己仿佛是跟着一位经验丰富、耐心十足的向导，在广袤的数学森林中稳步前行，每走一步都能清晰地看到脚下的路径，而不是迷失在迷宫之中。这种扎实而又不失灵巧的讲解方式，是这本书最大的亮点之一，它让抽象的理论变得可触可感，极大地激发了我继续探索下去的欲望。

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随着阅读的深入，我越来越体会到作者在内容组织上的匠心独运。它不是简单地堆砌知识点，而是精心构建了一个逻辑严密的知识体系。不同章节之间的衔接处理得异常自然，你会发现，上一章看似独立的概念，在下一章的语境下突然焕发出新的意义，形成了一种奇妙的“知识共振”。这种结构上的连贯性，避免了知识点碎片化的问题，让读者能够从宏观上把握微分拓扑的整体框架，而不是仅仅掌握零散的技巧。尤其是在处理那些跨越不同数学分支（如代数、分析与几何）的交叉点时，作者的叙述尤其精彩。他没有回避其中的复杂性，但却能用一种非常克制和精炼的语言，将背后的核心思想提炼出来，使得读者在理解具体工具的同时，不会迷失于背景知识的汪洋大海。对于渴望系统掌握这门学科的进阶学习者来说，这种深度的结构梳理是极为宝贵的财富，它帮助我们建立起一个坚实的认知基座，而不是停留在表面操作的层面。

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这本书的排版和装帧质量给我留下了极为深刻的印象。纸张的选择很考究，有一种略带粗糙的质感，拿在手里非常舒服，即便是长时间阅读，手指也不会感到油腻或疲惫。更值得称赞的是内文的布局。数学书籍的阅读体验往往受制于公式和图表的展示方式，很多时候，过于拥挤的版面或是模糊不清的插图会严重干扰思考的连贯性。然而，这本书在这方面做到了近乎完美。每一个定理、每一个推论，都被清晰地框选或用不同的字体凸显出来，既保证了视觉上的层次感，又方便了快速检索和回顾。图示部分尤为出色，那些关于纤维丛和切空间的几何描绘，线条干净利落，空间关系表达得一目了然，完全没有一般教材中那种为画而画的敷衍感。我甚至愿意花额外的时间去仔细揣摩那些精妙的插图，因为它们本身就是一种无声的论证，将抽象的代数结构可视化了。这种对细节的极致追求，无疑体现了出版方和作者对读者阅读体验的尊重，也让这本书不仅仅是一本工具书，更像是一件值得收藏的学术工艺品。

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张老师希望把所有东西尽量写清楚，然而都写清楚就会很啰嗦伤害可读性。这就是作者的苦口婆心和悲剧性

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微分拓扑，我也就懂到这程度了

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2014.10.25两年过后，读到这本书感觉这本书是把国外经典的书籍的内容的一个减肥，入门时候去读这样的书籍完全就是浪费时间的行为国内的许多数学书都是对于经典数学书的减肥，而减去的所谓的废话都是学科的本质。张筑生的书《微分拓扑新讲》完全就是把关于学科重要的意义给删除了！如果没有读过国外的书，我感觉我读这本书的时候，仅仅是一大堆逻辑推理，完全没有意义

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张老师希望把所有东西尽量写清楚，然而都写清楚就会很啰嗦伤害可读性。这就是作者的苦口婆心和悲剧性

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其实还是不错的一本书，前几章讲的不错，最后五章完全可以再压缩一下，讲得有点繁琐。有个证明让我觉得作者很装逼