复变函数与积分变换 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:

出品人:

页数:150

译者:

出版时间:1995-5

价格:11.10元

装帧:

isbn号码:9787040051681

丛书系列:

图书标签:

• 复变函数
• 积分变换
• 数学分析
• 高等数学
• 复分析
• 工程数学
• 数学物理
• 信号处理
• 图像处理
• 数值分析

《解析几何基础与解析空间探索》 本书简介 本书旨在为读者构建坚实而深入的解析几何知识体系，并以此为桥梁，引导读者进入更高维度的解析空间探索。我们避开了复变函数和积分变换的传统论述路径，专注于纯粹的、基于实数域和欧几里得空间的几何结构与代数表达。全书内容覆盖从基础的二维平面几何的解析化描述，到三维空间中的曲面与曲线方程，再到抽象的 $n$ 维欧几里得空间中的线性代数与几何形态的统一。 第一部分：平面解析几何的严谨重构 本部分首先对解析几何的基石——笛卡尔坐标系——进行细致的回顾与形式化定义。我们不满足于初等数学中的直观认识，而是从集合论的角度定义点、线、面，并严格推导出它们在平面上的代数表示。 第一章：坐标系与基本变换 详细阐述了直角坐标系、极坐标系之间的精确转换公式，并着重分析了这些转换下，几何对象（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）的方程形式如何保持其内在几何性质的不变量性。我们引入了仿射变换（Affine Transformations）的概念，包括平移、旋转和缩放，并使用 $2 imes 2$ 矩阵来描述线性变换，展示了如何通过矩阵乘法来简洁地表示几何操作，为后续的高维推广奠定基础。 第二章：二次曲线的判别与标准化 本章的核心在于对一般二次曲线方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的深入分析。我们将重点讲解如何利用判别式 $Delta = B^2 - 4AC$ 来精确区分双曲线、抛物线和椭圆。随后，我们将详细推导如何通过旋转坐标轴（使用特征值分解的几何意义）来消除交叉项 $Bxy$，从而将任意二次曲线化为标准形式。这一过程完全基于实系数矩阵的对角化理论，避免了任何复数运算。 第三部分：三维空间几何与向量代数 进入三维空间，本书将向量代数提升到核心地位。我们采用严格的公理化方法定义向量的加法、标量乘法以及最重要的两个乘积：点积（内积）和叉积（外积）。 第三章：空间向量的运算与几何意义 点积被用于精确计算两个向量的夹角和投影，从而定义空间中的距离和正交性。叉积则被赋予其独特的几何解释：生成一个同时垂直于原两个向量的向量，其模长等于由这两个向量构成的平行四边形的面积。我们详细讨论了混合积（标量三重积）如何与四面体的体积建立联系。 第四章：空间曲线与曲面的解析表示 空间曲线不再仅仅是简单方程的交集，而是通过参数方程 $mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 来精确描述其运动轨迹和曲率。对于曲面，本书侧重于二次曲面（Quadric Surfaces）的分类。我们系统地分析了椭球面、单叶/双叶双曲面、抛物面等，并展示了如何通过对曲面方程进行坐标轴的平移和旋转，将其归纳为标准形式，从而揭示其内在的对称性和拓扑结构。我们专门讨论了主截面的概念，即曲面与坐标平面的交线，这是理解复杂曲面形态的关键工具。 第三部分：高维欧几里得空间的概念推广 本部分是本书最具挑战性但也最富启发性的部分，它将解析几何的工具推广到任意有限维度的实数空间 $mathbb{R}^n$。 第五章：$n$ 维空间中的线性结构 我们首先的形式化定义了 $n$ 维向量空间。一个点在 $mathbb{R}^n$ 中被表示为一个有序的 $n$ 元实数组 $(x_1, x_2, ldots, x_n)$。本书强调内积（General Inner Product）的推广，它定义了角度、长度和正交性。我们详细阐述了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），展示了如何从任意一组基向量中构造出一组正交基或标准正交基。 第六章：高维几何对象与线性子空间 在 $n$ 维空间中，直线和平面被推广为仿射子空间（Affine Subspaces），即超平面（Hyperplanes）。我们展示了 $k$ 维子空间如何由 $n-k$ 个线性无关的法向量张成的超平面所定义。本书将大量篇幅用于讨论如何利用正交投影（Orthogonal Projection）来求解高维空间中点到子空间的最短距离，这完全基于最小二乘法的几何解释，是理解线性回归和数据降维的纯粹几何基础。 第七章：张量与二次型在空间分析中的应用 为了在高维空间中分析二次曲面（如椭球或双曲面）的推广形式，我们引入了二次型（Quadratic Forms）的概念，表示为 $mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $A$ 是一个实对称矩阵。我们利用特征值与特征向量的理论（仅限于实对称矩阵的谱定理），将任意二次型对角化。这一对角化过程在几何上对应于找到一个最佳的坐标系（主轴），使得高维二次曲面能被分解为相互正交的坐标轴上的简单平方和，从而彻底消除了交叉项，清晰地揭示了其空间形态，无需任何涉及虚数单位的运算。 总结 《解析几何基础与解析空间探索》致力于提供一套严谨、全面且不依赖于复分析工具的解析几何学框架。本书的重点在于几何直觉与代数工具（矩阵、线性变换、特征值）的深度融合，使读者能够精确地描述、分析和理解从二维到任意 $n$ 维空间中的几何形态。本书适合数学、物理、工程和计算机科学中需要扎实几何基础，但其核心问题主要在实数域内解决的专业人士和学生。

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