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出版者:国防工业出版社

作者:老大中

出品人:

页数:456

译者:

出版时间:2004-9-1

价格:20.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787118036183

丛书系列:

图书标签:

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变分法基础 内容简介： 《变分法基础》是一本系统阐述变分法基本理论、方法与应用的经典教材。本书旨在为读者构建一个清晰、严谨的理论框架，使其能够深入理解变分法的核心思想，并熟练掌握解决实际问题的工具。全书结构合理，循序渐进，从最基础的概念入手，逐步深入到高级专题，力求让不同背景的读者都能有所收获。 第一章：引论与历史背景 本章将带领读者回顾变分法的起源与发展历程。从古希腊的几何学问题，如最短路径、最小表面积等，到牛顿、莱布尼茨等人对微积分的奠基，再到欧拉、拉格朗日、高斯等数学巨匠在变分学领域的开创性工作，我们将看到变分法如何一步步从解决具体问题演变成一门独立的数学分支。通过了解历史的脉络，读者将对变分法的普适性与重要性有更深刻的认识，并理解其在物理学、工程学、经济学等诸多领域扮演的关键角色。本章还会简要介绍变分法在现代科学研究中的前沿应用，激发读者学习的兴趣。 第二章：变分法的基本概念 本章将正式引入变分法的核心概念。我们将定义“泛函”这一在变分法中至关重要的数学对象，并解释其与普通函数之间的区别。通过一系列具体的例子，如积分泛函、微分方程的变分形式等，读者将理解泛函的构造方式及其在描述物理系统中的作用。接下来，我们将深入探讨“变分”的概念，即泛函自变量的微小变化所引起的泛函值的变化。类比微积分中函数的变化率，我们将引入“变分导数”的概念，并初步探讨如何利用变分原理来寻找泛函的极值。本章的重点在于培养读者对泛函及其变分操作的直观理解。 第三章：欧拉-拉格朗日方程 欧拉-拉格朗日方程是变分法中最核心的工具之一，本章将对其进行详尽的推导与分析。我们将从定义泛函的极值条件出发，利用分部积分等数学技巧，推导出欧拉-拉格朗日方程。我们将详细阐述该方程的物理意义，即满足该方程的函数（称为“极值曲线”或“零阶变分曲线”）能够使泛函取极值。通过对不同形式的泛函，如只依赖于自变量、未知函数及其一阶导数的泛函，进行求解，读者将掌握利用欧拉-拉格朗日方程来解决经典变分问题的技巧。本章还将讨论欧拉-拉格朗日方程的解的存在性与唯一性等问题。 第四章：边界条件与齐次边界条件 在许多实际问题中，我们不仅需要求解欧拉-拉格朗日方程，还需要考虑边界条件对解的影响。本章将系统介绍不同类型的边界条件，包括第一类（狄利克雷）边界条件、第二类（诺依曼）边界条件以及混合边界条件。我们将分析这些边界条件如何在变分法的框架下被引入，以及它们如何影响泛函的变分。特别地，本章将详细推导与分析“齐次边界条件”，并说明其在简化问题和理论分析中的重要作用。通过大量的算例，读者将熟练掌握在给定边界条件下求解变分问题的能力。 第五章：约束变分问题 本章将探讨更为复杂的变分问题，即带有约束条件的变分问题。我们将引入“拉格朗日乘数法”这一强大的数学工具，用于处理等式约束和不等式约束。通过将约束条件转化为无约束问题，或通过构造新的拉格朗日函数，我们可以有效地求解受约束的变分问题。本章将深入分析拉格朗日乘数法的原理，并展示其在解决实际问题中的应用，例如悬链线问题在特定约束下的推广，以及一些物理系统中的能量最小化问题。 第六章：变分法的若干进阶专题 在掌握了基本理论和方法后，本章将引导读者进入变分法的进阶领域。我们将介绍“达布方程”，它提供了一种新的途径来判断欧拉-拉格朗日方程的解是否为极值。接着，我们将探讨“第二变分”的概念，并介绍判断极值类型的判据。此外，本章还将涉及“自轭算子”和“Green函数”在变分法中的应用，这些工具在求解微分方程和分析线性系统时具有重要的理论和实践意义。最后，我们将简要介绍与变分法密切相关的“辛几何”和“Hamilton力学”等概念，为读者进一步深入研究打下基础。 第七章：变分法在物理学中的应用 本章将重点展示变分法在解决物理学中各类问题时的强大威力。我们将从经典力学入手，详细阐述“最小作用量原理”，并解释如何利用拉格朗日方程和哈密顿方程来描述粒子的运动。随后，我们将深入到场论，介绍“麦克斯韦方程组”的变分原理，以及“广义相对论”中的爱因斯坦-希尔伯特作用量。此外，本章还将涉及量子力学中的“变分法”及其在近似求解薛定谔方程中的作用，以及连续介质力学中的弹性力学和流体力学问题。通过这些丰富的应用实例，读者将深刻体会到变分法作为一种统一的数学语言，贯穿于现代物理学的各个分支。 第八章：变分法在工程学中的应用 工程领域的许多实际问题都可以归结为变分法的范畴。本章将聚焦于变分法在工程学中的典型应用。我们将从结构力学出发，介绍“能量原理”在求解应力、应变和位移问题中的作用，例如“虚功原理”和“最小势能原理”。接着，我们将探讨在热力学和传热学中的应用，如热传导方程的求解。此外，本章还将涉及控制理论中的“最优控制问题”，通过变分法来设计最优控制策略，实现系统的最佳性能。此外，我们还将触及一些数值方法，例如有限元方法，它是基于变分原理发展起来的强大数值求解技术，在解决复杂的工程问题时尤为重要。 第九章：变分法在数学及其他领域的应用 本章将进一步拓展变分法的应用范围，展示其在数学及其他交叉学科中的价值。我们将探讨变分法在几何学中的应用，例如曲面的最小面积问题以及测地线的存在性。在微分几何领域，我们将看到变分法在研究黎曼流形上的几何性质时所起的作用。此外，本章还将触及一些现代数学分支，如偏微分方程的理论研究，以及优化理论中的目标函数极值问题。最后，我们将简要介绍变分法在经济学、生物学以及机器学习等领域的潜在应用，展现其作为一种通用数学工具的广泛前景。 《变分法基础》力求以严谨的数学推导为根基，辅以丰富的例题和应用，帮助读者建立坚实的理论基础，培养解决实际问题的能力。本书不仅适合高等院校相关专业的研究生和高年级本科生作为教材使用，也同样适合从事科研和工程领域的专业人士作为参考书，深入了解变分法的理论与应用。通过学习本书，读者将能够更深刻地理解自然界和工程系统中的基本规律，并掌握用数学语言描述和解决复杂问题的强大工具。

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我最欣赏这本书的一点是它对“泛函微分”这一核心概念的细腻处理。作者没有急于抛出那些复杂的变分不等式，而是花费大量篇幅，借助多变量微积分中的链式法则和方向导数的概念，层层递进地引出了泛函导数的定义。这种“慢工出细活”的教学策略，极大地增强了我对变分原理的信心。书中的插图，虽然数量不多，但张张经典，尤其是那些描述曲面上最短路径或最小曲面张力的示意图，几乎是“一图胜千言”，瞬间打通了空间想象的障碍。另一个亮点是它对“泛函的极值点”的判别方法，除了经典的二阶条件（Legendre条件），书中还涉及了一些更现代的条件判断，这使得这本书不仅仅停留在“求导为零”的初级阶段，而是真正迈入了优化理论的殿堂。如果说有什么不足，那就是某些涉及高等泛函分析的定理引用时，缺乏对前提条件的充分回顾，使得读者如果跳过前面的分析章节，直接阅读应用实例时，可能会感到措手不及。

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坦白讲，市面上关于变分法的书籍不少，但大多要么过于侧重数学分析的严格性，要么沦为简单应用公式的教程。这本书的独到之处在于它对“正则性”和“稳定性”的讨论，这在很多入门读物中是被刻意回避的“硬骨头”。作者没有避开变分理论中的深水区，比如处理不光滑解或者涉及分布函数的场景时，是如何通过适当的松弛（Relaxation）来维持理论框架的。我尤其欣赏它在介绍拉格朗日乘子法时，不仅给出了代数推导，还从对偶问题的角度进行了剖析，这让“约束优化”的概念变得立体起来。书中还穿插了一些历史性的脚注，提到诸如狄利克雷积分等经典难题的解决历程，这种“讲故事”的方式，极大地缓解了纯理论推导带来的枯燥感。不过，我认为书中在涉及现代计算变分法（如有限元方法的基础）的部分可以再扩展一些，虽然提到了能量投影，但读者可能需要借助其他数值分析教材来完成从理论到实践的跨越。

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这本书在处理变分法在控制理论中的应用时，展现出了极强的洞察力。作者将最优控制问题视为一类特殊的无约束变分问题（通过适当的构造），巧妙地将庞杂的系统转化为易于处理的泛函优化形式。特别是对庞特里亚金最大值原理的阐述，它不仅仅是给出了一个结论，而是通过对“边界控制”和“内部控制”的细致区分，揭示了这一原理背后的深刻含义——即最优路径必须在每一点都满足某种局部的“贪婪”原则。阅读这些章节时，我仿佛能看到工程师们如何在复杂的动态系统中寻找最优策略的思维过程。该书在语言组织上非常注重逻辑的连贯性，段落之间的衔接自然流畅，几乎不需要读者进行过多的思维跳跃。唯一让我略感遗憾的是，在涉及随机过程的变分问题时，篇幅相对有限，这使得对于那些希望将变分法应用于金融工程或随机动态系统建模的读者来说，可能需要另觅高阶读物来补充这方面的知识。

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这本《变分法基础》的作者显然是下了一番大功夫的，从目录的编排就能看出来，它试图为初学者搭建一个扎实而又循序渐进的知识阶梯。开篇对于变分问题的基本设定，比如泛函的定义和微分，介绍得非常清晰，即便是像我这种半路出家，对数学物理的交叉领域抱有强烈兴趣但基础不算特别牢固的读者，也能跟上节奏。书中对欧拉-拉格朗日方程的推导过程，绝非简单的公式堆砌，而是结合了大量的几何直观和物理背景来阐述，这使得抽象的数学概念变得可感、可触。我特别欣赏它在讲述等周问题时引入的极小曲面理论的雏形，虽然只是蜻蜓点水，却足够激发读者的好奇心，让人愿意去探索变分法在几何学中的深刻应用。作者似乎深知初学者容易在哪里“卡壳”，因此在每章的末尾都配有精心设计的习题，这些习题不仅检验了对基本原理的掌握，更重要的是，它们引导我们去思考变分法解决实际工程问题的潜力。总的来说，这本书的叙述风格是严谨中不失温度，是那种能陪伴你度过一段攻克难关时光的良师益友。

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我拿到这本书时，第一印象是它的“厚重感”，但这并非指页数过多，而是指内容上的密度和广度。它没有停留在纯粹的变分原理的数学形式上，而是巧妙地将其嵌入到了更广阔的物理学和工程学框架中。例如，书中关于哈密顿原理的论述，简直是一场关于力学史的精彩回顾，将牛顿力学、拉格朗日力学与变分法完美地串联起来，展现出数学工具如何深刻地揭示物理世界的底层逻辑。对于偏微分方程的求解者来说，这本书中的“直接法”和“能量泛函最小化”的视角提供了迥异于传统数值方法的思考路径，这对于深化理解偏微分方程的本质特性至关重要。我个人对其中关于自然边界条件和自然约束的讨论印象深刻，它清晰地解释了为什么在某些物理系统中，某些边界条件是“自发产生”的，而不是人为强加的。这本书的语言风格偏向学术性，对于有一定背景的读者来说，阅读起来酣畅淋漓，但对于纯粹的门外汉，可能需要反复咀嚼那些涉及泛函分析的片段。

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国内变分法的教材比较少，这本书写得比较基础，用来参考还是不错的。

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这书不好

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知识结构完整 低级错误N多 不影响阅读

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