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出版者:

作者:王治军

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003-1

价格:18.00元

装帧:

isbn号码:9787801595157

丛书系列:

图书标签:

• 1111
• 线性代数
• 高等数学
• 大学教材
• 数学
• 理工科
• 考研
• 数值计算
• 矩阵
• 向量
• 解题技巧

好的，以下是一份关于一本名为《经典数论导引》的图书简介，内容详实，力求自然流畅，不提及任何线性代数的内容。 --- 图书简介：《经典数论导引》 卷首语：探寻数字的内在和谐 自古以来，人类对数字的兴趣从未减弱。从巴比伦泥板上的计数，到古希腊哲人对素数本质的沉思，数论始终是数学皇冠上最璀璨的明珠之一。它以最简洁的符号系统——整数，构建了一个充满深刻结构与惊人规律的宇宙。 《经典数论导引》并非旨在罗列枯燥的定理和冗长的证明，而是致力于引导读者领略数论的内在美学与逻辑张力。本书将读者从最基础的算术概念出发，稳步提升，直至触及现代数论的若干核心思想。我们相信，理解数论，就是理解我们所处世界最基本秩序的构建方式。 --- 第一部分：基础篇——算术的坚实地基 (Foundation: The Solid Ground of Arithmetic) 本部分旨在为初学者构建起扎实的数论基础，着重于清晰的定义、直观的例子和必要的预备知识。 第一章：整数的构造与基本性质 整除性与欧几里得算法的威力： 详细探讨了整除的定义、传递性、公因数的唯一性等基本性质。着重剖析了辗转相除法（欧几里得算法）的几何直观与高效性，并展示其在求解贝祖等式（Bézout's identity）中的核心作用。 素数的定义与初步认识： 引入素数和合数的概念。对有限集合上的素数分布进行初步观察，为后续深入探讨素数的神奇世界打下基础。 最小公倍数与最大公约数： 阐述 $ ext{lcm}$ 和 $ ext{gcd}$ 之间的基本关系，并利用质因数分解的唯一性定理来计算它们。 第二章：算术基本定理与唯一性 算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）： 深入证明了每一个大于 1 的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。本书强调此定理在所有数论研究中的基石地位。 扩展的欧几里得算法： 不仅求解 $ ext{gcd}(a, b)$，更重要的是，如何利用扩展算法找到满足 $ax + by = ext{gcd}(a, b)$ 的整数解 $x$ 和 $y$。这为后续的同余理论打下了代数基础。 素数的无穷性证明： 回顾并详细阐述欧几里得的经典反证法，体会数学证明的优雅。 第三章：同余理论的引入 同余关系的建立： 严格定义模运算 $a equiv b pmod{n}$，并系统地探讨其反射性、对称性和传递性。 同余的代数运算： 研究加法、乘法在模 $n$ 意义下的保持性。 线性同余方程： 探讨形如 $ax equiv b pmod{n}$ 的方程何时有解，以及解的个数和结构。这是解决许多实际问题的关键工具。 --- 第二部分：核心篇——数论的经典工具箱 (The Classic Toolbox of Number Theory) 本部分聚焦于数论中最具影响力和实用价值的工具——数论函数和一次同余的应用。 第四章：数论函数与积性结构 加性与乘性函数： 引入数论函数 $ au(n)$（因子个数）、$sigma(n)$（因子和）的概念，并着重分析它们的积性（Multiplicative）性质。 欧拉 $phi$ 函数 (Euler's Totient Function)： 详细介绍 $phi(n)$ 的计算方法，特别是当 $n$ 为素数幂或乘积形式时的简化公式。$phi$ 函数在密码学和群论中扮演着不可或缺的角色。 完全积性函数： 引入狄利克雷函数，特别是单位函数 $epsilon(n)$ 和恒等函数 $id(n)$，为狄利克雷卷积做准备。 狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）： 定义两个数论函数的乘积，并证明积性函数在卷积下依然保持积性。这是组织和发现新函数关系的强大工具。 第五章：费马、欧拉定理与原根 费马小定理（Fermat's Little Theorem）： 证明 $ ext{a}^{p-1} equiv 1 pmod{p}$，并讨论其在素性测试中的初步应用。 欧拉定理（Euler's Totient Theorem）： 将费马小定理推广到一般模数 $n$ 的情形，即 $a^{phi(n)} equiv 1 pmod{n}$（当 $ ext{gcd}(a, n) = 1$ 时）。 模幂运算与简化： 利用欧拉定理简化大指数下的模幂计算。 原根（Primitive Roots）： 深入探讨模 $n$ 下的乘法群结构，定义原根的概念。研究哪些模数存在原根，并展示如何找到它们。原根是理解离散对数问题的关键。 第六章：二次剩余与二次互反律 二次同余与勒让德符号： 引入二次剩余的概念，定义勒让德符号 $left(frac{a}{p} ight)$，并探讨其基本性质，如欧拉判别法。 高斯引理与二次互反律的证明： 这是数论中最优美和深刻的定理之一。本书将提供一个清晰的、基于几何或组合的证明，展示奇素数 $p$ 和 $q$ 之间关于二次剩余地位的对称关系。 雅可比符号（Jacobi Symbol）： 将勒让德符号推广到奇合数模数，并利用二次互反律进行高效的计算。 --- 第三部分：进阶篇——素数的深层结构 (Deeper Structures of Prime Numbers) 本部分将触及数论中更具挑战性和前沿性的领域，特别是素数的分布和丢番图方程。 第七章：线性丢番图方程与同余方程组 线性不定方程（Diophantine Equations）： 再次回顾形如 $ax + by = c$ 的方程的整数解，并详细说明如何构造所有可能的解集。 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）： 详尽阐述 CRT 的理论基础、构造性证明，以及它在将一个大模数问题分解为多个小模数问题中的巨大威力。 第八章：素数分布的渐近规律 算术级数中的素数： 介绍狄利克雷对算术级数 $ ext{an} + ext{b}$ 中素数的分布定理，强调 $ ext{gcd}(a, b) = 1$ 的必要性。 素数定理的直观理解： 介绍 $pi(x) sim x/ln(x)$ 的含义，探讨素数出现频率的下降趋势，而非深入复杂的分析证明。 孪生素数猜想的背景： 简要介绍孪生素数问题作为数论中未解难题的代表。 第九章：数论中的连续分数（选读） 连分数的构造与表示： 介绍如何将有理数和无理数表示为连续分数的形式，并展示其与欧几里得算法的内在联系。 实数逼近： 探讨连续分数如何提供对实数的最佳有理数逼近，以及其在佩尔方程（Pell's Equation）求解中的应用。 --- 结语：开放的领域 《经典数论导引》旨在提供一个完整、严谨且充满启发性的学习旅程。数论的世界没有尽头，从费马的笔录到现代代数几何的复杂框架，每一个看似简单的整数问题背后都可能隐藏着深邃的数学真理。本书的完成，希望能够激发读者继续探索数论的无限魅力，投身于这个永恒的数学领域。 --- 适用读者： 本科数学、计算机科学专业学生，对数学有浓厚兴趣的自学者，以及需要扎实数论基础的密码学从业人员。 全书特色： 强调证明的逻辑清晰性，提供大量精心设计的练习题，并辅以历史背景介绍，使学习过程既充实又富有趣味。

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这本书的讲解风格实在是太对我胃口了。它不像有些教科书那样干巴巴地堆砌定义和公式，而是充满了“人情味”。作者似乎非常懂得如何与读者“对话”，在关键概念出现的地方，总会穿插一些非常形象的比喻或者生活中的小例子来辅助理解。比如在解释向量空间的时候，作者用了城市交通网络的概念来做类比，一下子就把抽象的维度和基底给具象化了。这种讲解方式极大地降低了我的理解门槛，让我感觉原本高不可攀的线性代数知识变得触手可及。而且，书中的证明过程详细得令人感动，每一步的逻辑推导都交代得清清楚楚，生怕读者跟不上。很多我之前在其他地方看得一头雾水的证明，在这本书里竟然被拆解得如此透彻，几乎不需要我跳跃性地思考，就能完全跟上作者的思路，这种细致入微的教学态度，让人非常佩服。

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我特别欣赏这本书在习题设计上的独到之处。很多数学书的习题要么太简单，要么直接就是那种让人望而生畏的“难题怪兽”。然而，这本书的习题部分简直是教科书级别的典范。它不像其他书那样只提供一些机械的计算题，而是包含了大量的概念理解题和应用型题目。基础题用来巩固当天学到的知识点，确保你对基本操作了如指掌；而后面的挑战题则开始引导你去思考更深层次的理论联系，甚至有些题目需要你综合运用好几个章节的知识才能解出来。更妙的是，书后附带的答案和解析详尽得不像话，即便是那些需要灵感的难题，解析部分也能清晰地展示出解题的思维路径，而不是简单地给出一个最终结果。这对于自学的人来说，简直是救星，因为你可以真正从解析中学习到解决问题的策略。

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在知识覆盖的广度和深度上，这本书的表现堪称全面且平衡。我注意到它不仅覆盖了线性代数的基础核心内容，比如矩阵分解、行列式、特征值理论等，对于一些在工程和数据科学领域越来越重要的现代应用，比如SVD（奇异值分解）以及一些数值稳定的方法，也进行了恰到好处的介绍。它没有为了追求“新潮”而过度堆砌那些可能并不适合初学者的复杂算法，而是保持了一种稳健的学术风格，确保读者在扎实掌握经典理论的同时，也能对前沿有所了解。这种取舍拿捏得非常到位，既保证了教材的经典性和权威性，又没有脱离现代数学应用的需求，让人感觉学到的知识不仅“有用”，而且“耐用”，是能够经受住时间考验的真正硬核内容。

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这本书的封面设计得很有现代感，那种深邃的蓝色配上银色的字体，一眼看上去就给人一种严谨又专业的印象。我拿到手的时候，立刻被它厚实的质感吸引了，纸张的质量也非常好，印刷清晰，没有任何油墨残留或者模糊的地方。拿到书后，我迫不及待地翻开目录，发现它的结构组织得非常清晰，从基础概念的引入，到矩阵运算的详尽讲解，再到特征值、特征向量这些核心内容的深入探讨，层层递进，逻辑性很强。特别是对于初学者来说，这种循序渐进的编排方式非常友好，不会让人一上来就被复杂的数学符号吓到。感觉作者在内容编排上花了不少心思，力求让读者能够平稳地过渡到更高级的主题。这本书的排版布局也值得称赞，公式和定理的展示都非常规范和美观，阅读体验极佳，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这对于需要长时间啃读数学教材的人来说，简直是福音。

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这本书的语言风格真是令人耳目一新，它在保持数学严谨性的同时，居然还能读出一种哲学的思辨味道。作者在阐述一些核心原理时，经常会引用数学史上的典故或者哲学上的思考，比如关于“线性”这个概念的本质，是如何从几何直觉一步步发展成抽象代数工具的。这使得学习过程不再是一味地与数字搏斗，而更像是一场探索知识起源和演变的旅程。这种深层次的挖掘，让读者不仅学会了“如何计算”，更理解了“为什么这样计算”。读完一章，我常常会有一种茅塞顿开的感觉，觉得对世界运行的某种规律有了更深一层的认识。这本书绝对不只是一个工具书，它更像是一位循循善诱的导师，引导你用更开阔的视野去看待数学世界，实在是令人印象深刻的一部著作。

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