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出版者:山东大学出版社

作者:于宗义

出品人:

页数:326

译者:

出版时间:2001-9

价格:19.50元

装帧:

isbn号码:9787560723358

丛书系列:

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《现代数学的基石：泛函分析导论》 本书为一本面向数学专业高年级本科生和研究生的入门级教材，旨在系统性地介绍数学的一个核心分支——泛函分析。它并非泛泛而谈，而是聚焦于最基本、最核心的概念和方法，为读者构建起坚实的理论基础，并引导其领略这一数学领域之美。 第一部分：线性空间与度量空间 开篇，本书将带读者走进抽象的线性空间世界。从向量空间的基本定义出发，逐步深入到巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构。我们将详尽讨论开集、闭集、稠密集、紧集等拓扑概念在度量空间中的意义，并引入完备性的重要性，理解完备空间为何是进行更多分析运算的基础。巴拿赫空间中范数的性质，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等，将得到细致阐述。希尔伯特空间则将引入内积的概念，探讨其几何直观，如正交性、投影定理等，这些概念是理解许多重要理论的关键。 第二部分：有界线性算子 在理解了空间结构之后，本书将转向研究在这些空间之间进行映射的“好”的函数，即有界线性算子。我们将严格定义有界线性算子的概念，并深入探讨其性质，例如算子范数、紧算子、自伴算子等。开闭定理、有界逆定理和巴拿赫-斯特因豪斯定理（一致有界原理）等泛函分析中的基本定理将得到清晰的证明和深入的剖析，帮助读者理解算子行为的内在规律。特别地，我们将通过大量的例子，展示有界线性算子在求解微分方程、积分方程以及其他数学物理问题中的应用潜力。 第三部分：谱理论初步 谱理论是泛函分析中最具挑战性也最迷人的部分之一。本书将为读者提供一个初步的认识。我们将引入算子谱的概念，包括连续谱、点谱、残缺谱等，并介绍其与算子特征值、特征向量的联系。对于自伴算子，我们将详细介绍其谱分解定理，这是理解这类算子行为的关键。虽然本书不会深入到无限维谱论的复杂细节，但将提供足够的工具和概念，为读者后续深入研究打下基础，例如通过谱理论理解无穷维向量空间的性质，以及它在量子力学等领域的重要作用。 第四部分：几种重要的空间 本书还将重点介绍几种在数学和应用中扮演重要角色的特殊函数空间，包括： $L^p$ 空间： 介绍 $L^p$ 空间的定义、范数以及闵可夫斯基不等式等性质。讨论其完备性，并说明其在概率论、调和分析和偏微分方程等领域的重要性。 Sobolev 空间： 介绍 Sobolev 空间的概念，它结合了函数的导数信息，对于研究偏微分方程至关重要。我们将探讨其嵌入定理和卷积性质。 紧算子空间： 进一步深入研究紧算子的性质，包括其谱的离散性以及与 Fredholm 算子的关系。 本书特色： 概念清晰，逻辑严谨： 本书以清晰的逻辑和严谨的数学语言，循序渐进地介绍泛函分析的核心概念。 重点突出，详略得当： 在保持全面性的同时，本书精选了最核心、最基础的内容，避免了不必要的枝蔓，适合初学者快速掌握。 例证丰富，应用导向： 书中穿插了大量的例子和练习，帮助读者理解抽象概念的实际意义，并初步体会泛函分析在解决实际数学问题中的强大力量。 为进一步学习奠定基础： 本书旨在为读者提供一个坚实的平台，为他们未来深入研究泛函分析的各个分支，如非线性分析、算子代数、调和分析等做好准备。 本书适合以下读者： 数学专业高年级本科生 应用数学、物理学、工程学等相关专业的硕士研究生 需要使用泛函分析工具进行研究的科研人员 通过学习本书，读者将能够： 深刻理解线性空间、度量空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构与性质。 熟练掌握有界线性算子的基本概念、性质及其重要定理。 初步掌握谱理论的基本思想和应用。 了解几种重要的函数空间及其在数学和应用中的地位。 为进一步深入学习和应用泛函分析打下坚实的基础。 本书不仅仅是一本理论教材，更是开启通往现代数学深层世界的一把钥匙。

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这本《泛函分析教程》的书名倒是很直接，一看就知道是面向高等数学或专业领域读者的工具书。我最初是带着一种敬畏之心翻开它的，毕竟泛函分析这个领域听起来就带着一股“高深莫测”的气息。然而，初读之下，我发现它并非那种只会堆砌晦涩定义和复杂证明的“天书”。作者在引入新概念时，似乎总是先给出一个直观的几何图像或者一个可以触摸到的物理背景，这对于我这种需要“看见”数学的人来说，简直是救命稻草。例如，在讲解赋范线性空间时，书中对“范数”的引入，不仅仅停留在数学符号上，而是用极其生动的语言描述了“距离”和“大小”在无限维空间中的意义，仿佛在搭建一个可以步入的抽象世界。这种处理方式，极大地降低了我对“抽象”的恐惧感。它不急于把我推向Banach空间或者Hilbert空间那片深海，而是耐心地在浅水区让我适应水温。我特别欣赏它对线性算子理论的阐述，那里通常是许多教材的“滑铁卢”，但这里却像是一次精心组织的徒步旅行，每一步都有清晰的标记和令人信服的理由。读完第一部分，我感到自己像是拿到了一把钥匙，可以开启通往更深层次数学结构的大门，而不是被一堆公式困在原地。

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说实话，这本书的排版和装帧设计，首先就给我留下了极佳的第一印象。那种沉稳的墨绿色封皮，拿在手里就有分量感，不像现在很多轻飘飘的教材。内页纸张的质感也相当不错，长时间阅读下来眼睛不易疲劳，这对于攻克泛函分析这种需要长时间专注的学科来说，是至关重要的细节。内容上，我尤其称赞它在处理完基础拓扑概念之后，对于测度论和勒贝格积分的衔接处理。很多教材在这两部分处理得非常生硬，仿佛是强行嫁接了两门不相关的课程。但此书显然在编纂时投入了巨大的精力去寻找两者间的内在联系，通过泛函的观点重新审视积分的性质，使得原本零散的知识点一下子串联了起来，形成了一个有机的整体。这种“融会贯通”的编排思路，使得读者在学习过程中，能不断体验到“原来如此”的顿悟时刻。我印象最深的是作者对“泛函”这个核心概念的定义，它没有采用那种教科书式的、冷冰冰的陈述，而是将其置于更广阔的分析框架下，让读者理解它在解决微分方程、变分问题中的核心地位。这不只是一本纯数学书，更像是一本“数学思想方法论”。

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坦白讲，我阅读这本书时，内心深处对于“抽象代数”和“拓扑学”的知识储备并非达到炉火纯青的地步，但这本书的作者似乎早已预料到了这种情况。他们在需要用到相关概念时，往往会给予一个非常简洁但足够使用的回顾性定义，而不是要求读者必须先去翻阅另一本厚厚的拓扑学专著。这种“即取即用”的设计理念，极大地提高了阅读的流畅性和效率。书中在介绍紧算子和谱理论的部分，内容密度陡然增加，我最初有些担心会跟不上节奏。然而，作者通过大量的例子——特别是关于微分算子和积分算子的具体分析——帮助读者将抽象的特征值问题具体化。他们耐心地展示了如何从算子的矩阵表示，过渡到无穷维空间中的特征函数分解。与其说这是一本教材，不如说它更像是一位经验丰富、极富教学耐心的导师，在我的身边，随时准备解答我可能产生的每一个“为什么”。这本书的价值，在于它不仅教会了我“是什么”，更重要的是，它耐心地展示了“如何得到”和“为什么重要”。

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我习惯于在学习新领域时，会同时参考好几本不同的教材，以便进行交叉对比和理解上的互补。坦白说，在这轮比较中，《泛函分析教程》展现出了非常鲜明的个人风格和独特的教学侧重。它最吸引我的地方，在于它对“动机”的强调。很多时候，我们学了定理，却不知道这个定理是为了解决哪个实际问题而被提出来的。这本书巧妙地将一些经典问题，比如变分法中的能量最小化、或者偏微分方程的解的存在性与唯一性，嵌入到各个章节的讲解之中。比如，在讲解对偶空间时，作者并没有直接给出抽象的定义，而是先通过描述函数空间上的线性泛函如何作用于“测试函数”来引出对对偶性的直觉。这种“问题驱动”的叙事方式，极大地激发了我深入研究下去的兴趣。我不再觉得那些抽象的证明是空中楼阁，因为我知道，每条定理的背后，都有一个现实世界或数学前沿中亟待解决的难题在等着我。这种叙事手法，让学习过程充满了探索的乐趣。

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对于那些希望从传统实变函数或经典分析进入泛函分析领域的读者来说，这本书的过渡处理堪称教科书级别的典范。我注意到，作者在引入希尔伯特空间时，对内积和完备性的要求，处理得非常细致和审慎。他们并没有直接跳到无穷维，而是先用二维和三维欧几里得空间作为参照系，逐步抽象化。特别是对正交投影定理的阐述，那段文字犹如一幅精妙的几何画卷在眼前徐徐展开，清晰地展示了如何在闭凸子集中找到“最近点”，而这个“最近点”在泛函分析中往往就对应着最佳近似解或最小范数解。我曾被其他教材中关于单位球的描述搞得晕头转向，但此书通过类比有限维空间中的球面和平面的关系，让我瞬间领悟了在高维空间中“分离”和“逼近”的本质。这种层层递进的讲解，确保了读者在概念尚未完全稳固时，不会被过于复杂的符号系统所压垮。

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