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isbn号码:9787030347671

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《近世代数讲义》图书简介 《近世代数讲义》是一部旨在系统阐释现代代数核心概念与理论的学术专著。本书内容涵盖了群论、环论、域论以及模论等多个基础而重要的代数领域，力求以严谨的数学语言、清晰的逻辑结构和丰富的例证，引导读者深入理解抽象代数代数结构的内在规律和深刻内涵。 第一部分：群论的基石 本书的开篇将从群论的定义与基本性质入手，为读者构建现代代数的基础框架。我们将深入探讨群的定义、子群、陪集、正规子群以及商群等核心概念。读者将学习如何判断一个集合在何种运算下构成群，并理解群的同态与同构定理，这些定理揭示了不同群结构之间的内在联系，是理解群论体系的关键。 群的定义与例子： 介绍群的四大公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并列举各种典型的群，如整数加法群、非零实数乘法群、对称群、矩阵群等，通过具体例子加深对抽象定义的理解。 子群与陪集： 讲解子群的判定方法，以及陪集在分解群结构中的作用。拉格朗日定理作为群论中的一个基本而重要的结论，将得到详尽的阐述和证明。 正规子群与商群： 强调正规子群在构造商群中的关键地位，并深入分析商群的性质。同态定理将在这里得到详细的推导和解释，揭示了群同态映射与正规子群之间的深刻联系。 循环群： 重点讲解循环群的结构及其应用，包括有限循环群和无限循环群的分类。 置换群： 介绍置换群的概念，并探讨其在多项式方程根的性质研究中的重要作用，例如伽罗瓦理论的萌芽。 第二部分：环论的结构 在掌握了群论的基础后，本书将转向环论，探讨具有两种运算（加法和乘法）的代数结构。我们将从环的定义出发，逐步深入到理想、商环、整环、域以及多项式环等关键概念。 环的定义与例子： 阐述环的加法和乘法运算性质，并提供常见的环的例子，如整数环、多项式环、矩阵环、函数环等。 子环与理想： 详细介绍子环的定义和性质，并重点阐述理想的概念，包括左理想、右理想和双边理想，以及它们在构造商环中的作用。 商环与同态： 讨论商环的构造和性质，以及环同态的定义与基本定理。第一同态定理和第二同态定理将得到详细的证明，揭示了理想与商环之间的密切关系。 整环与零因子： 定义整环，并探讨零因子的概念及其对环结构的影响。 域： 深入研究域的性质，包括域的定义、子域、扩域等。将重点分析有限域的结构及其在数论、编码理论等领域的应用。 多项式环： 详细讨论多项式环的性质，包括多项式的加法、乘法、次数、可约与不可约多项式等。将介绍多项式环的理想结构，以及在域上多项式环的唯一因子分解性质。 第三部分：域论的拓展 域论是现代代数中一个至关重要的分支，它为解决古典代数问题（如三等分角、倍立方等）提供了理论工具。本书将带领读者深入探索域的结构和性质。 域的扩张： 介绍域扩张的概念，包括代数扩张和超越扩张。将讲解域扩张的次数，并引入极小多项式的概念。 伽罗瓦理论： 本书将花费大量篇幅介绍伽罗瓦理论，这是近世代数的核心内容之一。我们将阐述伽罗瓦群的定义，并详细证明基本定理，该定理将域扩张与域自同构群联系起来，揭示了多项式方程根的对称性。 可解群与多项式方程的可解性： 利用伽罗瓦理论，我们将探讨多项式方程的可解性问题，例如五次方程的不可解性以及尺规作图问题的可解性。 第四部分：模论的初步 在现代代数中，模论作为线性代数的进一步推广，扮演着越来越重要的角色。本书将为读者引入模论的基本概念，为进一步学习打下基础。 模的定义与例子： 介绍模的定义，即将一个加法阿贝尔群赋予一个环的乘法作用。我们将提供多种模的例子，如向量空间（域上的模）、阿贝尔群（整数上的模）等。 子模与商模： 讲解子模和商模的概念，以及模同态的性质。 自由模与有限生成模： 介绍自由模的概念，并探讨有限生成模的性质。 内容特色与读者收益： 体系完整： 本书结构严谨，从基础概念到高级理论，层层递进，形成了一个完整的近世代数知识体系。 语言严谨： 采用规范的数学语言，准确定义每一个概念，确保理论的严谨性。 例证丰富： 每一章节都配有大量的例题和习题，帮助读者巩固理解，并提供练习机会。 深度适中： 内容的深度设计既能满足初学者对近世代数基本理论的掌握，也能为有一定基础的读者提供进一步深入研究的跳板。 学以致用： 书中所涵盖的理论知识在密码学、编码理论、计算机科学、物理学等众多领域都有广泛的应用。阅读本书将有助于读者理解这些领域背后的数学原理。 《近世代数讲义》适合作为高等院校数学专业本科生和研究生的教材或参考书，也欢迎对现代代数感兴趣的读者进行学习和研究。通过本书的学习，读者将能够掌握现代代数的核心工具和思想方法，为进一步学习更高级的数学分支打下坚实的基础，并能对数学的抽象之美有更深刻的体会。

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说实话，当我第一次拿到这本厚厚的书时，心里是有些忐忑的。近世代数这个领域常常被戏称为“抽象的极致”。然而，阅读体验远超我的预期。这本书的排版和符号使用非常规范，这在阅读复杂的代数证明时至关重要，能够有效减少因视觉混乱而产生的阅读障碍。更重要的是，它对“商结构”（如商群、商环）的引入和阐述简直是教科书级别的范例。作者没有急于给出商集上的运算规则，而是先用非常直观的方式解释了“等价类”和“模”这个概念的本质意义——即将一个大的结构分解成相互不重叠的、结构一致的小块。这种自上而下的讲解策略，让那些复杂的构造过程变得水到渠成。读完关于第一同构定理的那一章后，我豁然开朗，之前在其他资料中读到的模糊理解瞬间清晰起来。这本书的价值在于，它不仅教会你如何计算，更重要的是教会你如何“思考”代数结构。

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这本书简直是数学爱好者的福音，尤其是那些对抽象代数领域感到好奇或正在深入学习的读者。作者的讲解方式非常细腻，将那些初看起来晦涩难懂的概念，比如群、环、域的定义和基本性质，一步步地剖析开来，就好像在引导一个新手走过一个布置精巧的迷宫。我尤其欣赏它在引入新概念时所做的详尽铺垫，不是那种生硬的定义堆砌，而是通过直观的例子和历史背景来“讲述”这些概念是如何产生的，这极大地帮助我理解了为什么要引入这些结构，它们究竟是为了解决什么样的问题。书中的定理证明过程也写得非常清晰，逻辑链条一环扣一扣，让人很容易跟上思路，并且能够体会到证明的精妙所在。对于那些习惯了只看结论而不深究过程的学习者来说，这本书提供了一种扎实的、建立在坚实基础之上的学习体验。尽管内容严肃，但作者在行文中偶尔流露出的幽默感和对数学之美的洞察，让整个阅读过程充满了乐趣，而不是枯燥的啃书。这本书无疑是为那些寻求深入理解而非表面了解的读者量身打造的。

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我花了很长时间寻找一本既能保持严谨性又不至于让初学者望而却步的近世代数教材，直到翻开这本《近世代数讲义》，才算找到了心中的“定海神针”。它最让我惊艳的地方在于其对“同态”和“同构”概念的处理。许多教材要么一带而过，要么把它们讲得过于形式化，使得读者不清楚其背后的几何或代数直觉。然而，这本书却用大量的篇幅阐述了这些结构保持的“形态”和“关系”，甚至引用了更宏观的视角来看待这些代数结构之间的联系。阅读过程中，我感觉自己不是在记忆公式，而是在观察自然界中不同系统的相似性和转化规律。习题设计也极为巧妙，从基础的代数运算，到需要深刻理解才能完成的开放性探索题，梯度设置得非常合理。特别是那些需要结合群作用来解决的组合学问题，展示了代数工具在解决其他数学分支难题时的强大威力。这本书成功地搭建了一座从基础算术到高等结构之间的坚实桥梁，非常适合作为本科高年级或初次接触此领域的硕士生教材。

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我必须强调这本书在细节处理上的用心。很多经典的代数教材在讲述域扩张理论时，往往是直接给出了构造，让读者自行验证其性质。但在这本《近世代数讲义》中，作者花费了额外的篇幅，详细讨论了如何通过多项式构造新的数域，并细致地证明了这些构造的唯一性（在同构意义上）。这种对“构造性证明”的坚持，使得读者能够真正理解为什么某个特定的数域是必要的，而不是简单地接受一个既定的事实。此外，书中对有限域的介绍部分，也摆脱了传统教材的单调，引入了伽罗瓦理论的早期思想，虽然没有深入展开，但为读者提供了广阔的视野，激发了进一步探索的兴趣。对于渴望在代数领域打下扎实基础，并且对理论的完备性有较高要求的读者，这本书无疑是极佳的选择，它鼓励你质疑、探索，并最终构建自己的数学理解体系。

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这本书的价值在于其“讲义”二字的体现。它不像某些学术专著那样高冷，而更像是一位经验丰富的导师在面对面授课时，为你提供的详尽笔记和思维导图。特别值得称赞的是，书中对一些经典定理，比如Sylow定理的证明，提供了不止一种思路。一种是更直接、更依赖于群作用的组合式证明，另一种则是更依赖于代数运算的纯粹代数证明。作者清晰地对比了这两种路径的优劣和适用场景，这对于培养读者的数学敏感度至关重要——同一个目标可以用不同的工具达成，而理解每种工具的适用范围是成为优秀数学家的关键一步。这本书成功地平衡了理论的深度与教学的可及性，它既能满足那些追求高深理论的研究生，也能有效帮助本科生攻克这一核心课程。在我看来，它已经超越了一本普通的教科书范畴，更像是一部系统梳理近世代数思维精髓的导览手册。

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