数值分析算法描述与习题解答 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:徐士良

出品人:

页数:173

译者:

出版时间:2003-1

价格:29.90元

装帧:简裝本

isbn号码:9787111117810

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 算法
• 数值计算
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• 高等数学
• 工程数学
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• 计算方法

深入解析现代计算的基石：数值计算方法与实践 导言：计算的精确性与效率的永恒追求 在科学研究、工程设计乃至金融建模的广阔领域中，我们常常面对无法通过解析方法求解的复杂数学问题。无论是求解微分方程以模拟物理现象，还是通过迭代逼近来确定优化问题的最优解，对“数值”的精确和高效处理已成为现代科学计算的生命线。本书旨在系统而深入地探讨数值计算的核心理论、经典算法及其在实际问题中的应用，为读者提供一套坚实的理论基础和丰富的实践经验。 本书聚焦于数值分析的核心领域，并以严谨的数学推导和清晰的算法描述为骨架，辅以大量的应用案例分析，旨在弥合纯数学理论与工程实践之间的鸿沟。我们不满足于仅仅介绍算法的步骤，更着重于探究其收敛性、稳定性和计算复杂性，这是衡量任何数值方法优劣的关键标准。 第一部分：误差的本质与函数逼近的基础 数值计算的基石在于对误差的理解和控制。本书的开篇将全面剖析浮点数的表示、舍入误差的来源与传播机制。我们详尽讨论了绝对误差、相对误差以及机器精度（Epsilon）的概念，并展示了如何通过精心设计的算法来最小化这些误差对最终结果的累积影响。 随后，我们将深入探讨函数逼近的理论。插值法是理解函数特性的重要工具。我们详细阐述了拉格朗日插值的多项式形式及其局限性，随后重点分析了牛顿插值的优越性，特别是其差商的递推特性。为了解决高次插值可能引入的龙格现象（Runge’s Phenomenon），本书引入了分段插值的概念，并对样条插值（Spline Interpolation），特别是三次样条插值的构建原理、边界条件处理和几何意义进行了细致的讲解。样条插值以其优异的局部性和光滑性，成为工程绘图和数据平滑的首选工具。 第二部分：线性系统的求解——数值计算的核心战场 线性方程组的求解是工程计算中最常见、计算量最大的任务之一。本书将此部分作为重点，力求全面覆盖直接法和迭代法的精髓。 在直接法方面，我们从基础的高斯消元法（Gaussian Elimination）入手，详细分析了其计算步骤、存储需求，并引入了主元选择的必要性——即部分选主元和完全选主元策略，以确保算法在面对病态矩阵时的稳定性。在此基础上，本书系统地推导并阐述了LU分解、LDU分解以及Cholesky分解的理论基础和应用场景。矩阵分解不仅是求解线性系统的利器，更是后续特征值问题和优化算法的基础。 针对大规模、稀疏矩阵系统，迭代法展现出无与伦比的优势。我们系统地介绍了雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，并着重分析了它们的收敛条件和收敛速度。为了加速收敛，本书深入探讨了迭代法的加速技术，特别是超松弛（Successive Over-Relaxation, SOR）方法的引入及其最优松弛因子的确定。更进一步，我们介绍了处理非对称系统和大型稀疏系统时更高效的Krylov子空间方法，如共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）和双共轭梯度法（BiCG）的基本思想和应用框架。 第三部分：非线性方程的求解与优化 求解 $f(x) = 0$ 形式的非线性方程是数值分析中的另一大支柱。本书从最直观的区间套缩法（Bisection Method）出发，分析了其可靠性但收敛缓慢的特点。随后，我们重点讲解了牛顿法（Newton’s Method）的二次收敛特性，并详述了其在局部收敛性上的依赖性。为了结合两者的优点，本书详尽介绍了割线法（Secant Method）和抛物线法，以及如何在实际应用中结合阻尼技术来保证牛顿法的鲁棒性。 在多维非线性方程组的求解方面，本书将多维牛顿法的泰勒展开和雅可比矩阵的求解过程进行了清晰的梳理，并介绍了拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是BFGS算法，作为一种避免显式计算和存储雅可比矩阵的有效替代方案。 第四部分：数值积分与微分方程的求解 对函数进行积分和求解微分方程是连接数学模型与物理现实的关键环节。 在数值积分（Quadrature）方面，本书从基础的梯形法则和辛普森法则开始，阐述了复合积分的原理。我们深入分析了牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式的构造，并介绍了高斯求积（Gaussian Quadrature）如何通过最优选择节点和权重，以更少的函数评估次数达到更高的代数精度。 对于常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs），本书侧重于初值问题（Initial Value Problems, IVPs）的数值解法。我们系统地讲解了单步法，包括欧拉法（Euler’s Method）的稳定性和局限性，以及龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是经典的四阶RK法的构造与应用。对于需要更高精度的长时程积分，本书介绍了多步法，如Adams-Bashforth（开型）和Adams-Moulton（闭型）公式，并讨论了其稳定域和局部截断误差的分析。此外，我们还简要探讨了刚性方程组（Stiff Equations）的特殊处理方法，如隐式方法。 结语：算法的实现与展望 本书的最终目标是培养读者将理论转化为高效代码的能力。我们强调算法实现的细节，包括如何选择合适的数据结构（如稀疏矩阵存储格式）来优化内存和计算效率。通过对每种算法的复杂度分析，读者将能根据问题的规模和精度要求，做出最优的算法选择。本书为后续深入研究优化理论、偏微分方程数值解（如有限元法和有限差分法）打下了坚实而全面的基础。它不仅仅是一本工具书，更是理解现代科学计算范式的必读之作。

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这本书在排版和图表运用上的精心设计，极大地提升了阅读体验。许多核心算法的步骤，作者都用流程图的形式清晰地展现了出来，这对于那些依赖视觉辅助来理解复杂逻辑的读者来说，简直是福音。我记得在讲解数值积分时，梯形法则和辛普森法则的推导过程，配上了详细的几何解释图，使得黎曼和的概念变得异常直观，即便涉及到高阶误差项的分析，也能通过图示辅助理解其几何来源。更令人称道的是，书中对算法复杂度的分析并非停留在简单的 $O(n^3)$ 这样的表述上，而是结合了实际的矩阵运算次数和存储需求进行了量化讨论，这对于需要编写高效代码的读者至关重要。可以说，这本书不仅教会了“怎么算”，更教会了“为什么要这么算”以及“这样算有多快”，这种注重实践效率的细节把控，是许多理论书籍所欠缺的宝贵特质。

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这本书的另一大亮点，在于其对算法“数值实现细节”的关注程度。许多教科书在理论推导完成后就戛然而止，但这里却花了大篇幅讨论了算法在计算机上实际运行可能遇到的“陷阱”。比如，在迭代过程中如何设置合理的停止判据，区分绝对误差和相对误差的重要性，以及如何处理由输入数据尺度差异导致的病态问题。作者甚至专门开辟了一个小节来讨论如何选择和实现“检查点”机制，以应对长时间运行的模拟过程中可能出现的中间结果溢出或精度丢失。这种对“编程实现”层面的深度关注，使得这本书不仅仅是一本数学书，更像是一本结合了数学理论与软件工程实践的工具手册。通过阅读这些实践性的建议，我感觉自己不仅仅是在学习理论知识，更是在向一位经验丰富的数值计算专家学习如何构建健壮、可靠的计算模型。

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这本教材的引入部分着实引人入胜，它没有直接跳入那些令人望而生畏的数学公式，而是通过一些非常贴近实际工程问题的案例，巧妙地搭建起数值计算与现实世界应用的桥梁。我记得书中开篇就深入剖析了金融模型中的迭代求解过程，用生动的语言解释了为什么解析解在很多复杂场景下根本不存在，从而凸显了数值方法的不可替代性。作者在阐述误差分析的章节时，也体现了极高的洞察力，没有仅仅停留在理论的阐述上，而是结合了不同计算机架构对浮点运算精度的影响进行了细致的讨论，这对于我们这些希望将理论应用于高性能计算环境的读者来说，无疑是宝贵的经验之谈。尤其欣赏它在介绍线性代数基础时所采用的视角，不再是孤立地讲解矩阵运算，而是紧密围绕着求解大型稀疏线性系统这一核心目标展开，每一种分解方法——无论是LU、QR还是SVD——的引入都紧密服务于计算效率和稳定性的权衡，这种高度的工程导向性，使得原本抽象的数学概念变得触手可及，极大地激发了我继续深入研读下去的兴趣。

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阅读过程中，我发现作者在讲解算法的收敛性与稳定性时，采取了一种非常严谨且深入的教学方法，这对我理解数值方法的本质大有裨益。特别是在处理非线性方程求解部分，对于牛顿法及其变体的讨论，不仅仅是罗列公式，而是深入到了局部二次收敛的数学证明，同时，书中还细致地对比了割线法和拟牛顿法（如BFGS）在迭代次数、每步计算量以及对初值敏感度上的差异。这种多维度的比较分析，帮助我构建了一个完整的决策框架：在实际应用中，我该如何根据问题的具体特性来选择最合适的迭代策略。此外，书中对插值与拟合的阐述也颇具匠心，它不仅仅停留于拉格朗日插值或样条函数，更着重分析了高次插值可能带来的龙格现象，并及时引出了更鲁棒的最小二乘拟合方法，体现了一种解决问题时追求稳定性和实用性的专业态度。这种处理问题的层次感和深度，远超出我预期的入门级教材的范畴。

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令人惊喜的是，作者对于偏微分方程（PDEs）的数值解法部分，并没有简单地草草带过，而是给予了相当的篇幅和深度。它清晰地阐述了有限差分法的基本思想，并详细分析了欧拉法和Crank-Nicolson格式在时间和空间离散化上的稳定性和精度差异，特别是对Von Neumann稳定性分析的引入，使得我对如何避免计算结果爆炸有了更深刻的认识。这种对离散化误差的细致剖析，对于处理热传导或流体力学模拟这类实际工程问题是至关重要的基础。此外，书中还对有限元法的基本框架进行了初步的介绍，虽然篇幅有限，但成功地搭建了一个知识的入口，暗示了更高级方法的广阔天地，这种前瞻性的引导，让读者在掌握基础技能的同时，也对数值分析的未来发展方向有所了解，极大地拓宽了视野。

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