An Introduction to Measure Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Terrence Tao

出品人:

页数:206

译者:

出版时间:2011-9-14

价格:USD 53.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821869192

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 测度论
• Mathematics
• 陶哲軒
• Textbook
• 英文原版
• Probability
• Analysis
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《测量论导引》旨在为读者提供一个全面而严谨的数学基础，以理解和运用测度理论这一强大的工具。本书不仅梳理了测度论的核心概念，更深入探讨了其在现代数学各个分支中的广泛应用。 本书的开篇，我们将从集合论的基本概念出发，特别是勒贝格可测集，为后续的理论构建奠定坚实的基础。读者将学习到如何构造非测度集，以及测度空间的概念，理解集合的“大小”是如何被精确定义的。在此过程中，我们将详细介绍一些重要的测度，例如勒贝格测度，以及它们在几何和分析中的重要作用。 接着，本书将转向测度论的核心——积分理论。我们将从可测函数开始，逐步引入勒贝格积分的概念，并与黎曼积分进行比较，清晰地展示勒贝格积分的优越性。收敛定理，如单调收敛定理、控制收敛定理等，将是本书的重要组成部分，它们为处理无穷序列的积分提供了严谨的工具，并且在概率论、泛函分析等领域有着至关重要的应用。 为了使读者对抽象的测度空间有更直观的理解，本书将引入概率测度的概念。我们将详细探讨概率空间、随机变量、期望以及条件期望等核心概率论概念，并展示测度论如何为这些概念提供严密的数学框架。独立性、鞅以及其收敛性等更高级的概率论主题也将得到介绍，为读者理解复杂的随机过程打下基础。 此外，本书还将触及一些更高级的测度论主题，例如乘积测度、Fubini定理及其在多重积分中的应用。我们将探索 Radon-Nikodym定理，它揭示了两个测度之间的关系，并在概率论和统计学中有着广泛的应用。Banach-Tarski悖论等一些令人着迷的数学结果也将作为案例，展示测度论在理解数学宇宙的边界和可能性方面的作用。 本书的特色在于其严谨性与启发性的结合。我们不仅提供了详细的定理证明，更通过丰富的例子和练习题，帮助读者加深对抽象概念的理解。从初等分析到更高级的拓扑和几何，测度论的应用无处不在，本书旨在培养读者发现和运用测度理论解决实际问题的能力。 《测量论导引》适合于数学专业本科高年级和研究生，以及任何对数学基础和应用感兴趣的读者。无论您是致力于抽象数学的研究，还是希望在统计学、概率论、傅立叶分析、泛函分析等领域进行深入探索，本书都将成为您不可或缺的参考。通过本书的学习，读者将掌握一种强大的数学语言，能够更深刻地理解和分析数学世界中的复杂现象。

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这本书的封面设计简洁到近乎朴素，那种深蓝色的底色配上雪白的宋体字，初看之下确实有点令人望而却步，仿佛直接把我带回了大学数学系那间堆满旧书的阅览室。我记得当时拿到它的时候，心里其实是怀着一种复杂的期待的。我一直对概率论和泛函分析抱有浓厚的兴趣，但对“测度论”这个概念总感觉隔着一层迷雾。这本书的开篇并没有急于抛出那些拗口的定义和定理，而是花了大篇幅去铺陈集合论的基础知识，这对我这种基础不太扎实的读者来说，简直是雪中送炭。作者的叙述方式非常注重逻辑的连贯性，就像是带着你一步步攀登一座知识的高峰，每走一步，都会清晰地指出前一步的立足点。我尤其欣赏它在引入“可测集”和“可测函数”概念时所采用的几何直觉引导。比如，它用直观的例子解释了为什么我们需要超越勒贝格测度，去构建一个更普适的测度空间。这种从直观到严谨的过渡处理得极其老道和细腻，读起来不至于觉得枯燥乏味，反而有一种探索的乐趣。尽管书中的习题分量不轻，但它们绝不是那种为了凑数而存在的练习题，每一道都精心设计，旨在加深对核心概念的理解，让我感觉每一次解题过程都是一次小小的思维飞跃。

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阅读体验上，这本书给我最大的感受是其内在的秩序感和宏大视野。它不仅仅是一本关于测度论的教科书，更像是一部数学思想史的缩影。作者在构建整个理论框架时，似乎始终能看到它最终将如何融入更广阔的分析世界——例如如何为泛函分析提供坚实的积分基础，如何支撑随机过程的理论框架。在探讨测度空间的 Radon-Nikodym 定理时，书中的论述深度和广度都令人惊叹。它没有仅仅停留在技术层面的证明，而是将该定理置于测度分解的整体背景下进行解读，指出了其在函数空间理论中的核心地位。我注意到，书中对某些关键引理的证明，采用了不同于标准参考书的路径，这种差异化处理非常巧妙，它似乎在暗示：“看，解决同一个问题，可以有不同的思维路径。”这极大地激发了我主动探索和比较不同证明方法的兴趣。这本书的厚度与其内容的密度是成正比的，但一旦你攻克了其中的核心章节，你会发现自己对现代数学分析的理解深度已经迈上了一个全新的台阶，视野也随之开阔了许多。

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这本书的语言风格，如果用一个词来形容，那就是“克制”。它没有过多的花哨修辞，每一个词语的选择都精准地服务于数学概念的传达。我特别喜欢作者在引入测度空间理论时，对“测度”这个概念的几何直观解释。它没有直接跳到测度 $mu(E)$ 的抽象定义，而是先讨论了长度、面积、体积这些我们熟悉的“外测度”的概念，然后一步步引导我们理解为什么传统集合论在处理“不可测集”时的局限性，从而凸显了测度论的必要性。这种“先破后立”的叙事结构，对于初学者非常友好，它能有效缓解面对新数学范式时的恐慌感。此外，书中对于“外测度”的构造和性质的阐述极为详尽，这部分往往是其他教材中一笔带过的内容，但在这本书里却得到了足够的重视。作者似乎深知，外测度的性质是理解后续测度 $sigma$-可加性等关键特性的钥匙。即使是对于测度的外延性证明，也处理得极其细致入微，让人感觉作者完全站在读者的角度，预判了所有可能产生的困惑点，并提前予以解答。

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这本书的文字风格简直像一位耐心至极的老教授在深夜的咖啡馆里与你促膝长谈，每一个句子都经过了精心的打磨，力求精确无误，却又在关键时刻流露出人性的温度。我记得看到关于“测度”的拓扑性质那一章节时，我差点被那个复杂的拓扑结构绕晕过去，但作者巧妙地插入了一段历史背景的介绍，讲述了测度论发展过程中遇到的实际困难，这一下就让抽象的数学概念变得鲜活起来，让我明白了为什么非得如此定义不可。它没有采用那种冷冰冰的、纯粹演绎的写作手法，而是时不时地穿插一些对数学思想的深刻反思。比如，书中对于“可积性”与“收敛性”之间关系的探讨，不是简单地罗列几个定理，而是深入剖析了它们在物理学和工程学中的实际意义。对于我这种更偏向应用的研究者来说，这种深度挖掘非常有价值。更值得称赞的是，作者在排版上下的功夫也体现了专业水准，公式的排布清晰得令人心情舒畅，复杂的推导过程被拆分得井井有条，避免了在密集的符号中迷失方向。阅读过程非常顺畅，几乎不需要频繁地翻阅参考书来佐证某个基本概念，它构建了一个相对自洽的知识体系。

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坦白说，这本书的阅读体验算得上是一场马拉松式的挑战，但绝对是值得的。它的深度远超我预期的入门级读物，更像是一本中级到高级的桥梁书。我发现自己经常需要停下来，合上书本，对着白板默默地推演几遍那些关于$sigma$-代数和测度空间完备性的论证。作者在处理收敛定理，比如著名的法图定理（Fatou's Lemma）和测度收敛定理时，展示了令人赞叹的严谨性。他们不仅仅是给出了证明，更是在证明过程中揭示了背后的核心思想——即在特定条件下，交换极限与积分（或测度）操作的合理性基础。这种对“为什么”的深度剖析，使得最终掌握的知识不再是死记硬背的公式，而是一种可以灵活运用的思维工具。书中对勒贝格积分的构建，从简单函数开始，逐步扩展到非负可测函数，再到一般的可测函数，每一步的逻辑递进都如同精密的钟表齿轮咬合，无可挑剔。对于那些期望真正深入理解现代概率论和泛函分析基石的读者来说，这本书提供了一个不可替代的坚实平台。

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Terence has put a lot of his deep insight into this introductary book of measure theory. The large amount of exercises following the standard materials will help the reader improve its mathematical skill and train itself to be an analyst.

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年度Typo之王。

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生动

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