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出版者:Mathematical Assn of Amer

作者:Ross Honsberger

出品人:

页数:191

译者:

出版时间:1976-6

价格:USD 15.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780883853023

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• 数学
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《代数结构导论：群论、环与域》 内容简介 本书旨在为学习高等代数的学生提供一个全面且深入的入门指南，重点聚焦于抽象代数的三大核心支柱：群论、环论和域论。我们不仅仅满足于罗列定义和定理，更致力于构建清晰的数学直觉，引导读者理解这些结构在解决具体数学问题中的强大威力。全书的叙事逻辑严谨，从最基础的集合论概念出发，逐步过渡到复杂的代数结构，确保读者能够平稳、扎实地掌握抽象代数的精髓。 第一部分：群论的基石与应用 本书的开篇将读者带入群论的世界。我们从二元运算的性质出发，严谨定义了群的公理，并详细探讨了有限群的特性。 子群与陪集： 深入分析了子群的判定准则、正规子群的概念及其重要性。通过对陪集的细致剖析，我们为拉格朗日定理的证明奠定了基础。拉格朗日定理（Lagrange’s Theorem）被视为群论的第一个里程碑，本书对其证明给出了多种视角，包括基于集合作用的直观理解。 群同态与同构： 同态和同构是理解不同群之间关系的关键工具。我们详细阐述了核（Kernel）和像（Image）的性质，并重点讨论了第一同构定理（First Isomorphism Theorem），将其视为连接商群与同态像的桥梁。 生成元与循环群： 循环群作为最简单的非平凡群，是理解更复杂结构的起点。本书探讨了循环群的结构特性，并引入了生成元的概念。 置换群： 置换群，特别是对称群 $S_n$，是理解有限群结构的绝佳模型。我们详细讨论了置换的分解、奇偶性（Sign）以及交错群 $A_n$ 的性质，为后续讨论解方程的可解性问题埋下伏笔。 Sylow 定理： Sylow 定理是有限群结构理论的巅峰之作。本书将 Sylow 三大定理（第一、第二、第三）的证明过程分解为易于理解的步骤，并展示了如何利用这些定理来确定给定阶数的群的结构，例如对 60 阶、100 阶群的分类实例分析。 群的作用： 群作用（Group Action）的概念将抽象的群与具体的集合联系起来。我们详细讨论了轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念，并利用它们来导出重要的计数公式，如 Burnside 引理，并展示了其在计数几何对象中的实际应用。 第二部分：环论的拓展与深化 在群论的基础上，我们引入了第二个核心结构——环。环是对具有两个运算（加法和乘法）的代数结构的抽象。 环的基本性质： 从具有单位元（Ring with Unity）的定义开始，我们考察了交换环、整环的特性。加法群的结构在环的分析中起着基础作用。 子环、理想与商环： 理想（Ideal）是环论中类似于群论中正规子群的核心概念。我们详细研究了左理想、右理想和双边理想，并证明了商环的构造及其性质，同样强调了第二同构定理在环论中的对应应用。 整环中的特殊理想： 为了更好地研究多项式和数论问题，我们深入探讨了特殊的理想结构：最大理想（Maximal Ideal）与素理想（Prime Ideal）。我们证明了在交换环中，商环同构于一个域（Field）当且仅当其除环是一个最大理想，并证明了商环同构于一个整环当且仅当其除环是一个素理想。 整环中的可除性与因子分解： 这一部分是环论最引人入胜的部分之一。我们定义了整环中的整除性、公约式（GCD）和最小公倍式（LCM）。重点区分了主理想整环（PID）、唯一因子分解整环（UFD）和欧几里得整环（Euclidean Domain）之间的层次关系，并提供了明确的例子和反例来说明它们之间的包含与被包含关系。 多项式环： 我们将研究重点放在 $F[x]$ 这种特殊的环上，其中 $F$ 是一个域。利用带余除法，我们证明了 $F[x]$ 是一个欧几里得整环，进而证明了 $F[x]$ 是一个主理想整环和唯一因子分解整环。这为代数几何和伽罗瓦理论的后续学习打下了坚实的基础。 第三部分：域论——代数方程的根基 第三部分转向域，这是使得除法运算有意义的代数结构，也是研究多项式根的自然环境。 域的基本特性： 域被定义为满足所有域公理的交换环。我们考察了有限域（Galois Fields）的存在性和结构，并证明了任何有限域的阶数必须是素数幂。 域的扩张： 域扩张是伽罗瓦理论的基石。我们引入了子域、扩张次数 $[E:F]$ 的概念，并利用向量空间理论来刻画域的扩张。 代数元与超越元： 我们区分了代数元素和超越元素，并讨论了代数扩张的性质。关键是构造最小多项式（Minimal Polynomial）的概念，证明了最小多项式是不可约的，并且是生成代数扩张的最小多项式。 初等伽罗瓦理论： 尽管本书不深入伽罗瓦群的复杂性，但我们引入了伽罗瓦扩张的基本概念，讨论了正规扩张和可分扩张。重点解释了“求根”这一代数问题在域扩张理论中的地位，例如证明了 $sqrt{2}$ 所在的域 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 的结构。 本书特点与教学目标 本书的编排注重于从具体到抽象的螺旋上升过程。每一章后都附有大量的习题，这些习题不仅巩固了基本概念，更包含了许多启发性的探索性问题，鼓励读者独立思考。我们相信，通过对群、环和域这三种基本代数结构的深入学习，读者将不仅掌握一套抽象的数学工具，更能培养出严密的逻辑推理能力和对数学结构本质的深刻洞察力。本书适合作为大学数学专业“抽象代数”或“高等代数”课程的教材，也可供对数学结构有浓厚兴趣的自学者使用。

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这本书给我带来的最深远的价值，在于它能够培养一种“数学思维”。作者在引导我理解某个数学概念时，不仅仅是展示了它的结果，更重要的是展示了其推导的过程和背后的逻辑。我学会了如何去分析问题，如何去寻找解决问题的路径，如何去评估不同的解决方案。这种“解决问题的能力”的培养，对于我在生活和学习中的其他方面都非常有帮助。我发现，很多看似复杂的问题，都可以通过拆解和逻辑分析来找到解决之道。我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在学习一种思考世界的方式。作者的这种“思维训练”的价值，远远超出了书本本身所包含的知识。我非常感激这本书能够赋予我这样的能力，让我能够以更清晰、更理性的方式去面对生活中的种种挑战。这本书，与其说是一本数学书，不如说是一本关于如何思考的书。

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《Mathematical Gems II》在细节的处理上也做得十分到位。无论是数学符号的规范使用，还是公式推导的清晰展示，亦或是图表的精准标注，都体现了作者严谨的治学态度。我作为一名对细节比较敏感的读者，对于这种精益求精的态度表示由衷的赞赏。在学习数学的过程中，任何一个微小的错误或者模糊不清的表述，都可能导致整个理解的偏差。而这本书，则将这种风险降到了最低。我感觉自己就像是在一个一丝不苟的实验室里，每一个实验步骤都经过了反复的验证和优化。作者的这种严谨，让我能够完全信任他所提供的知识，并且能够专注于对概念本身的理解，而不用担心其他因素的干扰。我非常感谢作者能够用如此专业的态度，为我们呈现如此高质量的数学内容。这本书的专业性，让我在阅读时感到安心和踏实。

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在阅读《Mathematical Gems II》的过程中，我逐渐发现，这本书的受众群体似乎相当广泛。它既能满足那些对数学有一定基础的读者，又能吸引那些刚刚接触数学的初学者。作者在讲解过程中，始终注意保持语言的清晰和逻辑的严密，同时又不失生动性和趣味性。我曾经尝试过阅读一些只针对专业人士的数学书籍，常常因为概念过于抽象和晦涩而感到沮丧，但这本书却给了我截然不同的体验。它能够用一种非常包容和友好的方式，将数学的魅力传递给每一个读者。我感觉自己就像是在一个充满活力的数学社区里，和许多志同道合的人一起学习和交流。作者的这种“普适性”的教学理念，让我觉得数学不再是少数人的专利，而是属于所有热爱思考和探索的人。我非常喜欢这本书能够跨越门槛，让更多的人感受到数学的乐趣。它不仅仅是传递知识，更是在构建一个更广泛的数学爱好者群体。

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我一直认为，一本优秀的数学书籍，除了内容的严谨和深刻之外，还需要具备一定的“趣味性”。而《Mathematical Gems II》恰恰在这方面做得非常出色。作者在讲解过程中，穿插了许多有趣的数学谜题、悖论和历史轶事，让原本可能枯燥的数学学习过程变得生动有趣。我会在解决这些谜题的过程中，不自觉地运用书中所学的知识，并在成功解决后获得极大的满足感。这些小插曲，就像在漫长的数学旅途中遇到的风景，让我的旅程充满了惊喜和乐趣。我发现，原来数学并不只是冰冷的数字和公式，它也可以是充满智慧和趣味的游戏。这种学习方式，让我对数学的抵触情绪彻底消失，取而代之的是一种强烈的求知欲。我喜欢这种“寓教于乐”的教学方式，它让我在不知不觉中掌握了知识，并且对数学产生了浓厚的兴趣。我感觉这本书不仅仅是一本教材，更是一位充满智慧和幽默的朋友，它在轻松愉快的氛围中，引导我走向更广阔的数学世界。

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刚拿到《Mathematical Gems II》这本书，就被它沉甸甸的质感和封面设计深深吸引。作为一个热爱数学，但又对那些晦涩难懂的纯理论教材有些望而却步的读者来说，我一直在寻找能够激发我对数学的兴趣，同时又不至于让人产生畏难情绪的书籍。从第一眼看到这本书的名字《Mathematical Gems II》，我就隐约感觉到这可能是一本与众不同的数学读物。我期待它能像它的名字一样，蕴含着一颗颗璀璨的数学瑰宝，以一种优雅而深刻的方式展现在我面前。翻开书页，扑面而来的是一种清新的排版风格，字体大小适中，图表清晰明了，给人一种阅读的愉悦感。我迫不及待地开始阅读，渴望着在文字中寻找到那些隐藏的数学智慧，感受数学之美。我希望这本书能够带我进入一个全新的数学世界，在那里，每一个概念都如同闪耀的宝石，等待着我去发掘和欣赏。这本书的装帧设计也很用心，纸张的触感温润，书脊的装订牢固，这些细节都让人感受到出版方在内容之外的品质追求。我特别喜欢封面上的设计，它似乎在暗示着书中那些等待被揭示的数学真理，带着一种神秘而引人入胜的魅力。我期待着这本书能够成为我数学学习旅程中的一颗璀璨明珠，照亮我前行的道路，让我对数学的理解更加深刻，对数学的热爱更加炽烈。这本书的作者也一定是一位对数学有着深刻理解和独到见解的学者，我非常好奇他将如何引导我进入这个充满魅力的数学世界。

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《Mathematical Gems II》给我最大的感触之一，是它能够激发读者对数学的“好奇心”。作者在介绍某个数学概念时，总是会提出一些引人深思的问题，或者描述一些尚未解决的数学难题，让读者对数学的边界和可能性产生无限的遐想。我会被这些问题所吸引，并开始主动去寻找答案，去探索数学的未知领域。这种“吊足胃口”的写作方式，让我对数学充满了敬畏和好奇。我发现，原来数学的世界远比我想象的要广阔得多，还有无数的奥秘等待着我去揭示。我感觉自己就像一位探险家，站在一个巨大的未知大陆的边缘，充满了想要一探究竟的冲动。作者的这种引导方式，让我不仅仅是在学习书本上的知识，更是在培养一种主动探索的精神。我非常欣赏作者能够用文字的力量，点燃我对数学的好奇之火，让我对数学的未来充满了期待。这本书不仅仅是提供了知识，更是提供了一种对未知探索的渴望。

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《Mathematical Gems II》在数学内容的编排上也显得十分巧妙。它并没有按照传统的教材那样，一本正经地从基础概念开始，而是将一些看似独立的数学主题，通过巧妙的逻辑线索串联起来。我惊喜地发现，原来这些看似毫不相关的数学领域，竟然可以如此紧密地联系在一起，形成一个和谐而完整的知识体系。这种“网状”的学习方式，让我能够更全面地理解数学的内在联系，也为我打开了新的视野。我开始能够从一个更高的角度去审视数学，理解不同分支之间的相互影响和促进。作者的这种编排思路，无疑是对传统教学模式的一种创新和突破。它让我看到了数学的统一性和内在的逻辑美，也激发了我对数学更深层次的探究欲望。我感觉自己就像一位考古学家，在作者的帮助下，挖掘出了埋藏在历史中的数学瑰宝，并将它们重新组合，展现出它们原有的光辉。我期待着在接下来的阅读中，能够继续感受这种“化零为整”的智慧，发现更多隐藏在数学世界里的精彩联系。

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这本书的开篇就给人一种耳目一新的感觉，它没有直接抛出复杂的定义和定理，而是通过一些引人入胜的故事和历史背景，将读者引入到数学的世界。我尤其喜欢作者在介绍某个数学概念时，总是会追溯其历史渊源，讲述那些伟大的数学家是如何一步步探索和发现这些知识的。这种叙述方式不仅让学习过程更加生动有趣，也让我更加深刻地理解了数学概念的形成和发展过程。我仿佛置身于历史的长河之中，与那些伟大的头脑一同思考，一同探索。每一个数学概念的背后，都蕴含着无数个日夜的思索、无数次的尝试和无数的灵感闪现。作者用一种非常人性化的方式，将这些抽象的知识变得鲜活起来，让我感受到了数学的生命力。我甚至觉得，这本书不仅仅是一本数学书，更是一部关于人类智慧探索史的缩影。它让我看到了数学的魅力是如何在人类文明的长河中逐渐展现出来的，以及那些伟大的数学家们是如何用他们的智慧和毅力，为我们留下了如此宝贵的财富。我期待着在接下来的阅读中，能够继续沉浸在这种引人入胜的叙述之中，发现更多隐藏在数学背后的精彩故事。这本书就像一位耐心的向导，一步步带领我穿越数学的迷宫，指引我发现那些隐藏在角落里的宝藏。

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在阅读《Mathematical Gems II》的过程中，我发现作者非常擅长用浅显易懂的语言来解释复杂的数学概念。他会运用各种生动的比喻和形象的例子，将那些抽象的数学原理变得具象化，让非数学专业的读者也能轻松理解。例如，在解释某个关于集合论的概念时，作者就用了一个非常有趣的“袜子抽屉”的比喻，一下子就让我明白了其中的关键。我从来没有想过，如此抽象的数学概念，竟然可以用如此生活化的方式来呈现。这种教学方式极大地降低了我的学习门槛，让我能够更专注于理解数学的本质，而不是被复杂的符号和术语所困扰。我感觉自己就像是在和一位经验丰富的老师进行一对一的交流，他循循善诱，耐心解答我的每一个疑惑。这种阅读体验让我对数学的敬畏之心也逐渐转变为一种亲近感，我开始觉得数学并没有我想象的那么遥不可及。我非常欣赏作者这种“化繁为简”的能力，他能够抓住问题的核心，用最简洁明了的方式将其呈现出来。这种能力，正是区分一本好书和一本普通书籍的关键所在。我期待着在接下来的阅读中，能够继续感受到这种“点石成金”般的智慧，将我带入更深层次的数学探索。

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这本书最让我印象深刻的是，它不仅仅是在传授知识，更是在引导读者去思考。作者在提出某个问题后，并不会立刻给出答案，而是会留给读者一定的思考空间，鼓励我们自己去探索和尝试。他会提供一些提示和线索，但最终的解决方案，还是需要我们自己去发现。这种“授之以渔”的教学方式，让我受益匪浅。我发现，通过自己动手去解决问题，我对数学概念的理解会更加深刻，记忆也会更加牢固。我不再是被动地接受知识，而是主动地参与到知识的创造过程中。这种体验让我对数学产生了前所未有的兴趣，我开始享受解决问题的乐趣，并从中获得成就感。我感觉自己就像一位小小的探险家，在作者的指引下，去发现那些隐藏在数学世界中的奥秘。这种自主学习的方式，让我更加自信，也更加愿意去挑战更复杂的数学问题。我非常喜欢作者这种鼓励探索和思考的教学理念，它真正地让我体会到了数学的魅力所在。这本书不仅仅是提供了答案，更是提供了思考的方向和方法，让我能够独立地去解决问题。

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