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出版者:

作者:瀋子興

出品人:

頁數:544

译者:

出版時間:2011-5

價格:26.00元

裝幀:

isbn號碼:9787811187687

叢書系列:

圖書標籤:

• 高中數學
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• 基礎知識
• 學習手冊
• 數學輔導
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• 復習
• 應試
• 公式
• 定理
• 知識點

《解密微積分：通往高等數學的基石》 這是一本專為渴望深入理解數學世界，尤其是即將踏入高等數學殿堂的學生量身打造的入門指南。本書並非簡單羅列公式與定理，而是著重於揭示微積分核心概念的內在邏輯與思想精髓，幫助讀者建立堅實的數學基礎，為後續更復雜的學習打下牢固的根基。 內容梗概： 本書共分為四個主要部分，層層遞進，引導讀者逐步掌握微積分的精妙之處。 第一部分：預備知識的梳理與強化 在正式進入微積分的世界前，充分的準備至關重要。本部分將迴顧並強化高中階段學習過的關鍵數學概念，確保讀者擁有必要的知識儲備。這包括： 函數的概念與性質： 深入探討函數的定義、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本性質，並通過大量實例加深理解。重點分析函數的圖像與其性質之間的對應關係，以及復閤函數、反函數的構造與應用。 數列與極限的初步認識： 引入數列的概念，探討數列的通項公式與遞推關係，並為極限思想埋下伏筆。介紹數列極限的基本性質，如收斂、發散的定義，以及一些簡單的數列極限的求法，為理解函數極限奠定基礎。 三角函數與指數對數函數的性質： 係統梳理三角函數的定義、圖像、性質、恒等變換公式，以及它們的周期性與對稱性。同時，復習指數函數與對數函數的性質、圖像及其相互關係，強調它們在描述變化過程中的重要作用。 平麵幾何與解析幾何的基礎： 迴顧點、綫、麵之間的基本關係，以及直綫、圓、橢圓、雙麯綫、拋物綫等基本二次麯綫的方程與幾何性質。強調代數方法在解決幾何問題中的強大威力，為後續的幾何應用打下基礎。 第二部分：導數——變化的量化工具 導數是微積分中最核心的概念之一，它將靜態的幾何與動態的變化聯係起來。本部分將以直觀易懂的方式，帶領讀者認識導數的本質。 瞬時變化率的引入： 從生活中的實際問題齣發，如速度、加速度、瞬時利率等，引齣平均變化率和瞬時變化率的概念。通過實例分析，讓讀者理解瞬時變化率代錶的是某一特定時刻的變化快慢程度。 導數的定義與幾何意義： 嚴格定義導數，並闡釋其幾何意義——函數圖像上某一點切綫的斜率。通過圖像的直觀演示，幫助讀者理解導數如何描述麯綫的局部形狀。 基本初等函數的導數計算： 係統講解多項式函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的導數公式，並通過推導過程加深理解。 導數的運算法則： 詳細介紹導數的加法、減法、乘法、除法法則，以及復閤函數的鏈式法則。通過大量例題，訓練讀者熟練運用這些法則進行復雜函數的求導。 導數的應用： 單調性與極值： 利用導數判斷函數的單調區間，並找齣函數的極大值與極小值。 方程根的分布： 結閤導數分析函數的圖像，判斷方程根的個數與分布範圍。 函數圖像的描繪： 綜閤運用導數信息，準確描繪復雜函數的圖像。 優化問題： 將導數應用於解決實際生活中的最優化問題，如最大利潤、最小成本等。 第三部分：積分——纍積與總量的計算 積分是與導數相對立的概念，它用於計算纍積量，解決麵積、體積、功等問題。本部分將深入淺齣地介紹積分的奧秘。 不定積分——導數的逆運算： 引入不定積分的概念，將其理解為求導運算的逆運算。詳細講解基本不定積分的公式，以及湊微分法、換元法、分部積分法等基本積分技巧。 定積分——麵積與纍積量的計算： 定積分的定義與幾何意義： 通過“分割、近似、求和、取極限”的思想，直觀地解釋定積分如何錶示麯邊梯形的麵積。 牛頓-萊布尼茨公式： 介紹定積分與不定積分之間的內在聯係——牛頓-萊布尼茨公式，展示其強大的計算能力。 定積分的計算方法： 講解定積分的綫性性質、換元積分法、分部積分法在定積分中的應用。 定積分的應用： 麵積計算： 計算直綫、麯綫圍成的平麵圖形的麵積。 體積計算： 介紹鏇轉體體積的計算方法。 麯綫長度計算： 講解利用定積分計算麯綫的弧長。 物理學中的應用： 如計算功、路程、平均值等。 第四部分：微積分的初步應用與拓展 在掌握瞭導數和積分的基本概念與計算方法後，本部分將帶領讀者初步領略微積分在更廣闊領域的應用，並為進一步的學習指明方嚮。 微積分基本定理的再認識： 再次強調微積分基本定理作為聯係導數與積分的橋梁的重要性，通過不同角度的闡述加深理解。 微分方程入門： 簡要介紹微分方程的概念，以及如何利用微積分知識求解一些簡單的一階微分方程，展示其在描述動態係統中的強大能力。 多元函數導數與積分的預告： 簡要介紹多元函數導數（偏導數）和多元函數積分的基本思想，為讀者打開進入多維空間數學世界的大門，激發進一步學習的興趣。 數學建模的初步探索： 結閤微積分的知識，引導讀者思考如何利用數學工具來解決實際問題，培養初步的數學建模意識。 本書特色： 循序漸進的教學設計： 內容安排邏輯嚴謹，從基礎概念到復雜應用，層層遞進，確保讀者能夠逐步掌握。 直觀生動的講解方式： 避免枯燥的理論推導，大量運用幾何圖形、實際案例和類比，幫助讀者建立直觀理解。 豐富的例題與練習： 配備瞭大量的例題，涵蓋各種題型，並附帶適量的練習題，幫助讀者鞏固知識，提高解題能力。 強調數學思想： 不僅教授計算技巧，更注重培養讀者對數學思想的理解，如極限思想、變化率思想、纍積思想等。 銜接高等數學： 為讀者學習大學數學中的微積分課程打下堅實基礎，減少學習上的障礙。 目標讀者： 高中生，尤其是對數學抱有濃厚興趣，希望在高中階段深入理解微積分概念的學生。 準備參加高等數學相關考試（如高考數學、競賽數學）的學生。 希望迴顧和鞏固微積分基礎知識的大學生。 對微積分感興趣的任何人士。 《解密微積分：通往高等數學的基石》 將帶領您穿越嚴謹的數學符號，抵達邏輯清晰的數學殿堂，讓您在掌握強大的數學工具的同時，體驗數學的邏輯之美與應用之魅。

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我花瞭很大精力對比瞭這本書中關於解析幾何和數列的章節，希望找到一些能夠啓發思維的亮點。解析幾何部分，麯綫方程的推導過程還算清晰，特彆是圓錐麯綫的標準方程，講解得比較標準。然而，當我翻到橢圓和雙麯綫的焦半徑公式時，我發現書中的推導過程遺漏瞭非常關鍵的一步，即如何根據定義推導齣與離心率相關的代數錶達式。這讓我非常疑惑，一個“基礎知識手冊”怎麼能在核心公式的推導上齣現這種“跳躍”？這對於初學者而言，是非常不友好的，因為他們無法理解公式背後的幾何意義。而在數列部分，這本書的錶現更是令人失望。它完整地介紹瞭等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式，但對於遞推關係式的求解，特彆是涉及到非典型遞推（如$a_{n+1} = pa_n + q$這類常見題型）的處理方法，幾乎是空白的。書裏隻提供瞭一個最簡單的等比數列遞推例子，然後就草草收場。這讓我不得不懷疑作者對“基礎”的定義。在現行的高考體係中，數列的綜閤應用是得分的重頭戲，如果這本書對這部分內容避而不談或一筆帶過，那麼它的“手冊”之名就顯得名不副實瞭。

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從函數與導數這一章來看，這本書的編排邏輯顯得有些脫節。微積分思想的引入，特彆是導數在研究函數單調性、極值和最值上的應用，是高中數學的靈魂所在。這本書對導數的幾何意義——即麯綫在某點的切綫斜率——的闡述倒是比較到位，配的圖也比較直觀。但是，當涉及到利用導數求解不等式恒成立的問題時，書中的例題和解析就開始顯得力不從心瞭。它似乎假設讀者已經完全掌握瞭利用導數構建新函數的技巧，卻從未詳細解釋如何通過構造函數來轉化問題。例如，一個典型的“求參數範圍”的問題，本書給齣的解法是直接應用瞭某個結論，而沒有展示如何通過導數工具來“剝離”參數，這個過程的缺失，使得這本書在“應用”層麵上完全失效瞭。對於依賴這類手冊來構建解題框架的學生來說，他們得到的是一個無法復現的答案，而非一套可以遷移的方法論。此外，對於函數的“零點”問題，書裏隻是提瞭一下介值定理的簡單應用，對於利用導數確定零點個數的分析，也隻是蜻蜓點水，沒有給齣足夠多的變式練習來鞏固這一重要技能。

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總結一下我對這本“手冊”的整體觀感，它更像是一份高中數學教學大綱的“骨架”梳理，而非一本能填充血肉的工具書。我試著查找一下關於概率與統計基礎知識的部分，希望能找到一些關於排列組閤的限製條件處理技巧，或者條件概率的貝葉斯公式的初步介紹。結果發現，排列組閤的講解過於側重於“公式記憶”，比如“先選後排”和“捆綁法”的描述非常晦澀，沒有通過清晰的分解步驟來指導讀者如何判斷使用哪種方法。更彆提統計中的迴歸分析和假設檢驗這些現代統計學的初步概念，書中完全沒有涉及，這在現代高中課程標準中是不可想象的。總體而言，這本書在知識覆蓋麵上存在明顯的“斷層”——基礎定義和公式記憶部分尚可（盡管有瑕疵），但一旦涉及到需要邏輯推理、問題轉化和綜閤應用的部分，這本書就顯得力不從心瞭。它或許能幫助一個已經有紮實基礎的學生在考前快速瀏覽一下，但對於需要通過一本“手冊”來建立穩固基礎的學生來說，這本書帶來的睏惑和缺失的信息量，遠大於它提供的便利。

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這本書的排版和字體選擇，說實話，讓我有一種迴到瞭上世紀九十年代的感覺。紙張的質量尚可，但內頁的印刷略顯粗糙，有些地方的黑白對比度不夠強烈，長時間閱讀下來，眼睛很容易感到疲勞。我主要關注瞭立體幾何部分的敘述方式。立體幾何往往是學生公認的難點，需要清晰的空間想象力和嚴謹的邏輯推理。在這本書中，作者對綫麵關係的判定，比如如何判斷異麵直綫所成的角，處理得過於依賴文字描述，而缺乏高質量的立體圖形輔助。我嘗試跟著書中的步驟去推導一個涉及二麵角的計算，結果發現，由於圖示過於簡化，我不得不自己動手畫瞭三四遍草圖纔能勉強跟上作者的思路。更令人費心的是，書中對嚮量在三維空間中的應用介紹得十分模糊。嚮量法解決空間幾何問題是最簡潔有力的工具之一，但這本書似乎對這部分內容有所保留，沒有給予應有的篇幅和深度。我期待看到嚮量的坐標錶示法如何係統地應用於求距離、求夾角，但書中僅僅停留在基礎的嚮量加減法和點乘的定義上，這使得這本書在現代高中數學教學體係中的實用性大打摺扣。對於追求解題效率的學生來說，這本書提供的幫助非常有限，更像是一份過時的教學大綱提要。

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拿到這本號稱“高中數學基礎知識手冊”的書時，我心裏其實是打瞭個大大的問號的。現在的教輔市場，名字起得花哨的太多瞭，內容卻往往是老生常談，甚至有些錯誤百齣的地方。我花瞭整整一個下午的時間，仔細翻閱瞭這本書的每一頁，特彆是那些公式推導和例題解析的部分。首先要說的是，這本書的裝幀設計非常樸實，封麵沒有過多花哨的圖案，直接點明瞭主題，這倒是給人一種專注做學問的感覺。然而，內容上，我發現它在對數和指數函數的處理上顯得有些倉促。雖然基本定義都列齣來瞭，但涉及到復雜函數圖像的變換和實際應用題的建模過程，講解得非常簡略，仿佛隻是點到為止。比如，關於指數函數在實際增長模型中的應用，書裏隻給齣瞭一個簡單的幾何增長例子，對於指數衰減或更復雜的復閤增長情況，完全沒有深入探討。這對於一個想要真正吃透基礎知識的學生來說，遠遠不夠。它更像是一本快速查閱公式的工具書，而非一本能夠係統構建知識體係的教材。我尤其失望的是，對於高中數學中很關鍵的三角函數的圖像周期性分析，作者似乎隻是機械地羅列瞭公式，缺乏對“角”和“弧度製”之間內在聯係的直觀解釋。讀完這些章節後，我感覺我的知識點像是零散的珍珠，而非串成一串精美的項鏈。這本書的價值更多體現在快速迴顧上，想要通過它來打牢基礎，恐怕還需要藉助其他更深入的材料。

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