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出版者:Cambridge University Press

作者:Boris Zilber

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:2010-3-22

价格:USD 89.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521735605

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

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《代数拓扑中的纤维丛与上同调理论》 内容简介： 本书深入探讨了代数拓扑学的核心概念，特别是纤维丛、谱序列以及同调与上同调理论在现代数学中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为读者提供一个全面而深入的视角，理解这些复杂结构是如何相互联系并解决拓扑空间中关键问题的。 第一部分：拓扑基础与向量丛 本书伊始，我们将回顾必要的拓扑学预备知识，包括同伦群、基本群与纤维化映射等概念。随后，重点转向向量丛（Vector Bundles）的构建与分类。我们将从切丛（Tangent Bundles）和法丛（Normal Bundles）的具体实例出发，阐释如何利用截面（Sections）的概念来理解向量丛的几何性质。讨论将涵盖典范丛（Canonical Bundles）的定义，以及如何通过张量积、直和与对偶等代数运算来构造新的向量丛。我们还将引入欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的平凡丛（Trivial Bundles）作为基准，并探讨局部平凡性（Locally Trivial）的严格定义及其重要性。 第二部分：纤维丛的结构与分类 本部分是全书的理论核心之一。我们首先正式定义纤维丛（Fiber Bundles），包括主丛（Principal Bundles）与向量丛的内在联系。关键在于理解结构群（Structure Group）的作用，特别是正交群 $O(n)$、酉群 $U(n)$ 以及一般线性群 $GL(n)$ 在不同类型丛中的角色。我们将详细讨论如何通过“庞加莱截面定理”（Poincaré Section Theorem）来理解局部结构的粘合过程。 分类理论是本部分的主题。我们会深入研究陈类（Chern Classes）的构造。陈类作为向量丛最基本的拓扑不变量，其定义将从欧拉类（Euler Class）推广而来，利用截面消失的条件来定义。我们将详细阐述第一陈类 $c_1(E)$ 的几何意义，它与第一庞加莱对偶类（First Poincaré Dual Class）之间的深刻联系。此外，本书还将介绍韦伊代数（Weil Algebras）和庞加莱对（Poincaré Duality）在陈类计算中的应用，以及如何利用这些工具来区分本质上不同的向量丛。 第三部分：谱序列与上同调理论 本部分将拓扑学的研究工具提升到代数层面，重点聚焦于谱序列（Spectral Sequences），特别是高志列谱序列（Leray-Serre Spectral Sequence）。高志列谱序列是处理纤维丛上同调理论的核心机器。 我们将从纤维丛 $F o E o B$ 的结构出发，系统地推导其高志列谱序列： $$E_2^{p, q} = H^p(B; H^q(F)) implies H^{p+q}(E)$$ 详细的讨论将围绕谱序列的收敛性、微分（Differentials）的计算，以及如何利用此序列来计算复杂空间（如球束 $S^n$ 上的丛）的上同调群。我们将通过具体实例，如史泰因伯格纤维化（Steenrod Fibration），展示如何利用谱序列的 $E_2$ 项信息来反推出总空间的上同调环结构。 此外，本书将详尽介绍上同调环（Cohomology Rings）的构造。卡普尔-纽曼乘积（Cup Product）和截面乘积（Cap Product）的定义与性质将被严格阐述。如何利用上同调环上的运算来识别拓扑空间中映射的度数（Degree of a map）以及判断空间的同伦等价性，将是本部分的实践重点。 第四部分：特殊几何结构与应用 最后，本书将这些理论应用于特定的几何背景中。我们将探讨卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）和赫兹伯格空间（Hopf Fibrations）。在卡拉比-丘流形的研究中，零第一陈类（$c_1(E) = 0$）的意义将被深入挖掘，它与里奇平坦度（Ricci-flatness）之间的关系将通过怀尔定理（Weil’s Theorem）得到阐释。 对于赫兹伯格纤维化 $S^1 o S^3 o S^2$，我们将利用高志列谱序列计算 $S^3$ 的上同调环，并展示如何通过这个例子来理解上同调中的扭曲（Torsion）现象。此外，本书还会简要介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology）与奇异上同调之间的对偶关系（通过霍奇分解的观点），强调微分形式在代数拓扑问题解决中的辅助作用。 本书力求在严谨的代数框架下，为读者勾勒出现代拓扑学中纤维丛、谱序列与上同调理论交织出的壮丽图景。它既适合高年级本科生和研究生作为深入学习的教材，也为研究人员提供了一个可靠的参考工具书。

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坦白讲，我是在一个相当沮丧的时期接触到这本书的。此前我对该领域的一些基础概念总感到似懂非懂，像隔着一层毛玻璃看风景，心里着急却又无从下手。这本书的出现，简直就像一场及时的甘霖。它的叙事风格极其平实，甚至可以说是“朴素”得可爱，没有任何故作高深的术语堆砌。作者似乎有一种天生的魔力，可以将最尖锐的数学工具，包裹在一层温和易懂的外衣之下。我特别喜欢他穿插在正文中的“历史注脚”部分，那些关于先驱者们如何艰难地建立起这些理论的片段，使得冰冷的知识点变得有人情味。读到关于向量丛与上同调理论如何被巧妙地引入，以解决经典代数几何中遗留的难题时，我几乎是屏住呼吸读完的。这不仅仅是知识的传递，更像是在聆听一位智者讲述他毕生的心血结晶，字里行间充满了对真理的敬畏和追求。对于那些渴望真正扎根于这片知识土壤，而非仅仅停留在表面的人来说，这本书提供了坚实无比的地基。

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这本书的封面设计着实吸引人，那种深邃的蓝色调配上几何图形的线条勾勒，让人一眼就能感受到它蕴含的深邃与复杂性。初翻开扉页，便被作者那严谨而又充满哲思的引言所震撼。他没有急于铺陈那些晦涩难懂的数学概念，而是先从更宏观的视角，探讨了“结构”与“空间”在现代数学中的核心地位。我尤其欣赏他对抽象概念的类比能力，比如他将代数簇的闭子集比作某种“拓扑约束下的塑形”，这种描述方式极大地降低了初学者的理解门槛，使得原本冰冷的公式仿佛有了生命和形态。全书的行文节奏把握得非常好，从基础的概形理论娓娓道来，逐步深入到更精细的奇点处理，每一步的过渡都自然得像是精心编排的交响乐章，高潮迭起却又不失和谐。阅读过程中，我时常需要停下来，在笔记本上对照着插图反复揣摩作者的逻辑链条，那种豁然开朗的感觉，真是难以言喻的畅快。它不仅仅是一本教科书，更像是一场思想的探险，引导你进入一个由纯粹逻辑构建的美丽世界。

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这本书的排版和印刷质量简直是业界良心。在如今这个追求快速、轻量化的出版环境下，能看到如此用心对待实体书的出版商，实属难得。纸张的质感厚实而不失韧性，墨水的浓度均匀适中，即便是那些密度极高的公式矩阵，看起来也毫无费力。更值得称道的是，那些用来辅助理解复杂几何构造的图示，清晰度极高，线条干净利落，没有丝毫模糊不清的边缘。很多深度数学著作的图往往是最大的败笔，但在这本书里，图表不再是枯燥的补充，它们本身就是理解内容的关键辅助工具。我甚至将一些关键的图例剪下来，贴在我的工作区，以便随时回顾。这种对细节的极致关注，体现了编者对读者体验的尊重，也侧面印证了书中内容的权威性和严谨性，因为只有内容本身扎实，才值得如此精美的物理呈现。

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我必须承认，这本书对读者的前期知识储备有相当高的要求。它绝非市面上那些旨在“快速入门”的读物，更像是一份邀请函，邀请那些已经具备一定代数基础的同行者，一同攀登更高、更险峻的山峰。作者的态度是直截了当的：他相信读者愿意为获取知识付出努力，因此，他毫不客气地使用了领域内的标准符号和既有结论，并专注于深化理解和拓展前沿。书中对于那些高度专业化的定理的证明，往往简洁到令人拍案叫绝，但前提是你必须对前置的引理了如指掌。我个人体会最深的是，这本书迫使我回顾并重构了许多我以为自己已经掌握的知识点，它像一把手术刀，精准地切割出我知识体系中的薄弱环节。如果你已经准备好从“知道是什么”迈向“理解为什么”，那么这本书将是你不可多得的良师益友，它提供的不仅仅是知识，更是一种思维模式的重塑。

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这本书的结构安排有一种奇特的“螺旋上升”感。它不会让你感到被海量信息瞬间淹没，而是非常耐心地引导你完成每一个必要的概念积累。刚开始的章节似乎有些冗长，涉及到一些基础的拓扑和环论回顾，但如果你有耐心坚持下去，你会发现这些“慢热”的铺垫是多么至关重要。当真正进入到核心章节时，你会惊叹于作者如何巧妙地将前面所有的工具箱里的零件组合起来，构建出宏伟的理论大厦。比如，探讨局部化与范畴论的联系时，作者采用了对比分析的方法，先展示传统方法（如果存在）的局限性，再引出新的理论框架，这种“问题驱动”的学习路径，极大地激发了读者的求知欲和批判性思维。读完后，我感觉自己对“什么是精确的描述”这个问题有了全新的理解和更深的敬畏。

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