具体描述
《高等数学及其应用(第2版)学习辅导与习题选解》是与同济大学数学系编写的普通高等教育“十一五”国家级规划教材《高等数学及其应用》（第二版）配套的学习辅导书。全书按原教材的章节编排，每章按节（或相关的几节）编写了内容要点、教学要求和学习注意点、释疑解难、例题增补、习题选解等栏目，针对学生学习中的问题和需要进行辅导。全书对原教材中约三分之一的习题作了解答。
《高等数学及其应用(第2版)学习辅导与习题选解》内容切合学生实际、针对性强，注重帮助学生掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，可作为工科和其他非数学类专业学生学习高等数学的参考书，也可供使用《高等数学及其廊用》（第二版）的教师作为教学参考。
《微积分的奥秘：从直观理解到严谨证明》 图书简介 内容概述： 本书旨在为读者提供一个深入、全面且富有启发性的微积分学习体验。不同于传统教材侧重于公式堆砌和机械计算，本书将微积分的核心思想——变化率与累积——置于中心位置，强调直观的几何和物理图像，并辅以必要的、严谨的数学论证。全书内容覆盖单变量微积分的全部核心主题，并为进入多变量微积分和更高级的数学领域打下坚实的基础。 本书结构清晰，逻辑严密，共分为十章，循序渐进地引导读者掌握微积分的精髓。 第一部分：极限、连续性与导数的基础（第1章至第3章） 第1章：函数的极限与逼近 本章是微积分的基石。我们从直观上理解“无限接近”的概念，通过数列的极限引入$epsilon-delta$语言的初步形态。重点讨论了函数在某一点的极限、单侧极限以及无穷极限。我们详细分析了极限存在的充要条件，并引入了极限的代数性质。此外，本章将通过大量与实际问题（如瞬时速度的定义）相关的例子，展示极限在建模中的强大威力。特别辟出章节讨论函数在无穷远处的行为，即渐近线的确定。 第2章：连续性：连接性与不动点 在理解了极限之后，本章深入探讨函数的连续性。我们首先定义了函数在一点连续、区间连续的概念，并着重分析了连续函数在闭区间上的性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大值-最小值定理（Extreme Value Theorem）。这些定理不仅是理论工具，更是解决实际优化问题的理论保证。我们还将探讨不连续点的分类及其几何意义。 第3章：导数：瞬时变化率的精确度量 本章将导数定义为极限的一种特殊形式——差商的极限。我们详细推导了基本函数的求导法则（幂、三角、指数、对数），并对这些法则的几何意义进行深入解读。链式法则的推导采用了清晰的分解步骤，确保读者理解其在复合函数求导中的核心作用。本章的重点不仅在于“如何求导”，更在于“导数代表什么”，包括切线斜率、速率、边际变化率等物理和经济学意义。 第二部分：导数的应用与积分的萌芽（第4章至第6章） 第4章：利用导数分析函数行为 本章充分展示了导数在函数图像分析中的核心作用。我们引入了导数的正负性与函数增减性的关系，以及二阶导数与函数凹凸性（Concavity）的关系。通过零点和拐点的分析，读者将能够精准地描绘任何复杂函数的图像。本章包含了详尽的极值（局部和全局）求解方法，并专注于解决实际中的优化问题，例如最小化成本、最大化面积或距离等。 第5章：微分与近似 本章介绍了微分的概念，阐释了微分$dy$与自变量微小变化$dx$之间的关系，以及微分在函数近似计算中的应用。通过线性逼近，我们展示了如何快速估计复杂函数在某点附近的函数值，这对于工程和科学计算至关重要。 第6章：定积分：累积量的精确计算 本章从物理学中的功的计算或几何学中的面积问题出发，自然而然地引入定积分的概念。我们使用黎曼和（Riemann Sums）来定义定积分，详细分析了不同取样点（左矩形、右矩形、中点矩形）对近似精度的影响。本章强调定积分的几何意义是“有向面积”。 第三部分：微积分学的基本定理与积分技术（第7章至第9章） 第7章：微积分基本定理 这是全书的中心高潮部分。本章清晰阐述了微积分基本定理（FTC）的第一部分和第二部分，揭示了导数和积分之间的深刻对偶关系。我们详细剖析了如何利用FTC简化定积分的计算过程，将原本复杂的黎曼和极限求解转化为反导数的计算。 第8章：积分的技巧 本章系统地介绍了求解不定积分和定积分所需的各种技巧。内容包括：换元积分法（Substitution Rule，强调其与链式法则的对应关系）、分部积分法（Integration by Parts，及其在求解涉及指数和三角函数乘积时的应用）、三角代换法、以及有理函数积分中的部分分式分解法。每种方法都配有大量的例题和需要读者思考的变式。 第9章：积分的应用拓展 在掌握了积分技巧后，本章将积分的应用范围扩展到更广阔的领域。内容包括：计算旋转体的体积（圆盘法、薄壳法）、弧长计算、曲面的面积计算，以及利用定积分解决物理学中的质心、转动惯量、压力分布等问题。本章强调将实际问题转化为合适的积分模型的能力。 第四部分：超越有限：反常积分与级数初步（第10章） 第10章：反常积分与收敛性考察 本章处理积分区间为无穷大或被积函数存在不确定的积分——反常积分。我们利用极限的概念来定义并计算反常积分，并探讨了反常积分的收敛与发散问题，为读者理解无穷过程提供了更进一步的工具。 本书特色： 1. 概念先行，计算殿后： 每引入一个新概念，首先从其几何或物理背景进行阐释，确保读者理解“为什么”要学习这个工具，而非仅仅学习“如何”使用它。 2. 严谨性与直观性的平衡： 在保证数学论证严谨性的同时，大量使用可视化图示和类比，帮助读者建立深刻的直观理解。 3. 丰富的例题与习题： 书中包含大量精心设计的例题，分为基础练习、概念辨析题和综合应用题三类，以适应不同层次的学习需求。 4. 数学史话穿插： 在关键定理的介绍中，穿插简短的数学史背景，增加阅读的趣味性，展现数学思想的演变历程。 本书适合所有需要扎实掌握微积分基础知识的理工科学生、经济学学生以及对数学有浓厚兴趣的自学者。通过阅读本书，读者将不仅掌握求解问题的能力，更能领悟到数学思维的优雅与力量。
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