Linear Partial Differential Equations and Fourier Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Pivato, Marcus

出品人:

页数:630

译者:

出版时间:2009-12

价格:$ 75.71

装帧:

isbn号码:9780521136594

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 傅里叶分析
• 线性代数
• 数学分析
• 常微分方程
• 数值分析
• 应用数学
• 高等数学
• 工程数学
• 数学物理方法

现代数学物理中的偏微分方程专题研究 本书聚焦于现代数学物理和应用分析领域中几个核心且相互关联的分支——常微分方程（ODE）、非线性偏微分方程（PDE）、泛函分析在PDE中的应用，以及特定的几何分析问题。本书旨在为具备坚实微积分和线性代数基础的研究生和高级本科生提供一套严谨且深入的理论框架与计算工具。 第一部分：常微分方程（ODE）的深入探讨与稳定性分析 本部分首先回顾了常微分方程的基础解法，如级数解法、变分法在ODE中的应用。重点将转移到高阶非线性常微分方程的定性理论。我们将深入分析动力系统的基本概念，包括相平面分析、奇点的分类（鞍点、结点、焦点、中心）。 核心内容将集中于李雅普诺夫稳定性理论。我们将详细阐述李雅普诺夫函数构造的技巧，探讨全局渐近稳定性和指数稳定性的严格证明。此外，对于具有周期性或拟周期解的系统，我们将引入庞加莱截面法和霍普夫分岔理论，用以理解解的复杂行为，例如周期轨道的产生与消失。对哈密顿系统的分析也将被纳入考虑，着重讨论李维尔不变性和辛积分的保持性质。 第二部分：经典线性偏微分方程的理论基础与初步解法 本部分致力于构建对三类经典线性二阶偏微分方程——拉普拉斯方程（椭圆型）、热传导方程（抛物型）和波动方程（双曲型）——的全面理解。 对于拉普拉斯方程 $Delta u = 0$，我们将采用分离变量法，推导出在矩形、圆形和球形区域上的基本解和傅里叶级数/贝塞尔函数展开解。重点将放在最大值原理和唯一性定理的严格证明上。格林函数方法将被系统介绍，作为求解非齐次边界条件下核心工具，并讨论其在势论中的物理意义。 对于热传导方程（$u_t = k Delta u$），我们将分析其初边值问题的适定性。傅里叶变换方法将在无限域问题中得到详细展示，并讨论热核（高斯核）的性质及其在求解中的作用。对于有限域问题，傅里叶级数展开将是关键，着重分析解的平滑性和解的逐点收敛性。 波动方程（$u_{tt} = c^2 Delta u$）的分析将侧重于达朗贝尔公式的推导和物理诠释，尤其是在一维和三维空间中的解的结构。对于三维空间，我们将讨论惠更斯原理的成立条件及其在奇数维空间中的独特表现。此外，本部分还将引入能量守恒的概念，证明波动方程解的能量泛函是时间无关的。 第三部分：泛函分析在PDE中的应用与 Sobolev 空间 本部分将从更抽象的数学结构层面来分析PDE的解的存在性和正则性，这是现代PDE理论的基石。 我们将详细介绍巴拿赫空间和希尔伯特空间的基础知识，重点是内积、范数和完备性的概念。Riesz 表示定理和泛函的连续性将在后续内容中反复用到。 核心章节将聚焦于Sobolev 空间 $W^{k,p}(Omega)$ 和 $H^k(Omega)$（即 $W^{k,2}(Omega)$）。我们将定义广义导数的概念，并严格证明 Sobolve 嵌入定理（包括Moser 迭代和Poincaré 不等式）。Sobolev 空间的完备性是保证弱解存在性的关键。 在泛函分析的框架下，我们将重新审视椭圆型方程的弱解概念。利用Lax-Milgram 定理，我们将给出具有光滑边界和足够正则系数的二阶线性椭圆方程（如泊松方程）弱解的唯一性和存在性的完整证明，而无需依赖于传统的分离变量或格林函数方法。 第四部分：非线性PDE的初步探索与变分方法 本部分将从线性PDE的精确解法过渡到更具挑战性的非线性问题，主要采用变分法和能量最小化的视角。 我们将引入极小曲面方程作为处理非线性椭圆型 PDE 的典型案例。变分法的核心思想是寻找满足特定泛函最小值的函数，这自然引申出欧拉-拉格朗日方程，即我们要求的 PDE。 对于更一般的非线性椭圆方程，如 $Delta u + f(x, u) = 0$，我们将讨论山路引理 (Mountain Pass Lemma) 和极小值原理在寻找非平凡解中的应用。这要求对泛函的几何结构，如山路路径和临界点，有清晰的理解。 最后，本部分将简要探讨非线性波动方程（如简并形式的 KdV 方程的早期阶段分析）的定性特征，如解的破裂（blow-up）现象。重点放在能量的一阶时间导数的计算和控制上，以展示非线性项如何破坏能量的守恒性，导致解在有限时间内失去意义。 本书的结构旨在逐步引导读者从经典方法的掌握，迈向利用现代泛函分析工具解决复杂、高维和非线性偏微分方程问题的能力。所采用的证明方法强调严格性、清晰的数学结构和对物理意义的深刻洞察。

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