线性代数学习指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:李承环 编

出品人:

页数:191

译者:

出版时间:2010-4

价格:15.30元

装帧:

isbn号码:9787107226496

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
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空间几何的探索与应用：欧几里得几何基础与现代拓扑概览 书籍简介 本书旨在为读者提供一个深入且富有启发性的几何学知识体系，涵盖从经典的欧几里得几何到现代拓扑学的基本概念与核心思想。我们试图构建一座桥梁，连接几何学历史上的经典成果与当代数学研究的前沿动态，着重于几何对象的内在结构、变换的性质以及空间连续性的本质。 第一部分：欧几里得几何的严谨基石 本部分回归几何学的源头——欧几里得体系，但视角更加现代和分析化。我们不再仅仅满足于直观的“点”、“线”、“面”的描述，而是通过公理系统和坐标表示，对基础概念进行严格的阐释。 第一章：公理系统的重构与逻辑基础 我们将详细审视欧几里得的五大公设，并着重探讨非欧几何（如双曲几何和椭圆几何）的出现如何挑战了传统观念。这一章的核心在于理解“公理”在数学建构中的角色，以及如何从一组基础假设出发，通过演绎推理构建一个自洽的理论体系。内容将涵盖： 欧氏公理群的现代诠释： 重点分析平行公设的不可替代性。 模型论初步： 引入几何模型的概念，如何通过特定结构（如球面或双曲面）来验证或反驳公理系统。 逻辑推理的精确性： 强调几何证明中的每一步逻辑跳跃都必须有充分依据。 第二章：平面几何的代数表达 传统的平面几何证明往往依赖于尺规作图的限制。本章将使用笛卡尔坐标系，将平面几何问题完全转化为代数方程的求解与分析，极大地增强了解决复杂问题的工具箱。 解析几何的起点： 直线方程、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的参数方程与一般方程。重点分析焦点、准线、离心率等核心不变量的代数定义。 向量在平面中的应用： 向量加减法、点积（内积）与角度、叉积（外积）的几何意义，用于判断共线性和垂直性。 仿射变换与刚体运动： 旋转、平移、反射等几何操作在矩阵表示下的行为，探讨哪些性质在这些变换下保持不变（不变量理论的萌芽）。 第三章：三维空间的扩展与定向 将二维空间的工具推广到三维，并引入必要的空间概念，为后续的微分几何和向量微积分做准备。 三维坐标系与空间曲面： 空间直线、平面方程的建立。球面、圆柱面、锥面等二次曲面的标准形与性质分析。 空间向量代数： 引入三维向量的叉积，理解其结果向量的几何意义——垂直于所生成平面的法向量。 定向性与手性问题： 讨论空间中“左”与“右”的区分，这是理解三维空间拓扑性质的关键起点。 第二部分：从度量到结构：非欧几何与微分几何的过渡 几何学的发展并非线性的，对空间的曲率和内在属性的关注，催生了更宏大、更具弹性的研究领域。 第四章：黎曼几何的先声——空间曲率的衡量 本章着眼于空间本身是否“平坦”的问题。欧几里得空间是零曲率的代表，而我们探索具有恒定正曲率（球面几何）或恒定负曲率（双曲几何）的空间。 测地线概念的引入： 在弯曲空间中，“最短路径”不再是直线，而是测地线。本章将通过球面上的“大圆”例子来具体阐释。 高斯曲率： 学习如何用局域的方式（即在空间中的任意小邻域内）来判断空间是否弯曲，而不是依赖于嵌入空间的外观。 三角形内角和的意义： 比较欧氏、椭圆和双曲空间中三角形内角和的变化，理解曲率如何直接影响几何度量。 第五章：流形的概念与切空间 现代几何学研究的对象大多是流形——局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。本章是进入微分几何和广义相对论的门户。 拓扑流形的直观理解： 为什么地球表面（球面）可以被看作是二维流形？局部坐标图（Chart）和整体结构（Atlas）的协调性。 切向量与切空间： 在流形上的某一点，切空间代表了所有可能的“方向”或“速度”，是局部线性化的欧氏空间。 张量分析的初步： 引入度规张量 $g_{ij}$，它是流形上长度和角度测量的核心工具，能够捕捉空间的弯曲信息。 第三部分：超越度量：拓扑学的核心洞察 拓扑学关注的是在连续形变（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。它关注的是连接性、洞的数量和封闭性，而非距离和角度。 第六章：拓扑空间的构造与邻域 本章是严谨拓扑学的起点，着重于“接近性”的代数描述。 拓扑空间的定义： 用开集的族来定义一个空间，而非依赖于度量。 开集、闭集、邻域与聚集点： 精确定义这些基本概念，并探讨开集和闭集之间的对偶关系。 连续函数的拓扑定义： 函数的连续性不再依赖于 $epsilon-delta$ 定义，而是要求原像保持开集性质。 第七章：形变的几何：同胚与不变量 同胚（Homeomorphism）是拓扑学中等价的标志，意味着两个空间在拓扑意义上是“相同的”。 同胚的直观案例： 甜甜圈（环面）与咖啡杯的同胚性。区分可收缩空间与不可收缩空间。 连通性： 空间是否可以被分割成两个不相交的开集？讨论路径连通性与连通性的关系。 紧致性： 这是一个重要的“有限性”概念，在度量空间中与有界闭集等价，但在抽象拓扑空间中是更本质的性质。它保证了在某些连续映射下，图像不会“逃逸”到无穷远。 第八章：洞的数量：基本群与同伦 这是拓扑学中最深刻的部分之一，它通过研究空间中“环路”的行为来识别空间的拓扑结构。 路径与环路： 定义空间中从一点出发，最终回到起点的连续路径。 同伦的概念： 两个环路是否可以通过连续形变互相转化？ 基本群 $pi_1(X)$： 将所有环路按同伦关系分类，形成一个群结构。这个群的性质直接编码了空间中“洞”的数量和性质。例如，圆的环路群是整数群 $mathbb{Z}$，而球面的环路群是平凡群 ${e}$，清晰地展示了“中间有一个洞”的拓扑差异。 总结：几何的统一视野 本书的最终目标是展示几何学是如何从对直线的精确测量（欧氏几何）发展到对空间内在结构（黎曼几何）和连续形变性质（拓扑学）的深刻理解。这些领域相互渗透，共同构筑了我们理解物理世界和抽象数学结构的强大框架。读者在完成本书后，将具备分析复杂空间形态和进行高级几何推理所需的坚实理论基础。

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