具体描述
《微积分学习指导》是为教科书《微积分》编写的学习指导书，书中除了回答学生在学习过程中可能提出的问题外，还为教科书中几乎所有的习题做了解答（包括习题选解）。另外，《微积分学习指导》还编选了与《微积分》章节内容同步的模拟试题，其中一部分选自历年（非数学专业）研究生入学试题数学一（理工类）和数学三（经济类），另一部分是编者根据历年考研试题的难易程度和命题人的设计思路编写的试题，并配备了解答或给初学者的提示，解题方法丰富。
《微积分学习指导》具有一定的独立性，可作为非数学类专业本科生微积分课程的学习辅导书或研究生入学考试的复习用书，还可供青年教师参考。
《高等代数：理论与应用》 图书简介 本书旨在为学习高等代数的学生提供一个全面、深入且富有启发性的学习资源。它不仅仅是一本传统的教科书，更是一部连接抽象理论与实际应用之间的桥梁。我们深知高等代数作为数学学科的基石，其重要性不言而喻，它为线性规划、密码学、量子力学乃至现代工程技术提供了不可或缺的数学框架。因此，本书在内容组织上力求严谨性、逻辑性和启发性的完美结合。 第一部分：代数结构基础 本部分将读者从线性代数的温和引入，平稳过渡到更抽象的代数结构。 第一章 集合、映射与二元关系： 回顾并系统整理集合论的基本概念，特别是等价关系和偏序关系的严格定义及其性质。着重探讨集合间的映射（单射、满射、双射）在构造代数结构中的作用。本章将通过大量的例子，特别是有限集上的关系，帮助读者建立对抽象概念的直观理解。 第二章 群论入门： 这是高等代数的核心基石之一。我们首先定义群的公理体系，并详细探讨子群、陪集和拉格朗日定理。拉格朗日定理的证明将采用清晰的分步解析，并引导读者思考其在有限群分类中的意义。本章的重点内容包括：正规子群、商群的构造，以及同态与同构的概念。我们将引入“规范性”的讨论，即子群如何“良好地”分解大群。范例部分将深入分析对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 的结构，展示抽象概念在具体几何变换中的体现。 第三章 环与域： 在群论的基础上，引入加法和乘法两种运算的结构——环。本书将区分交换环、带单位的环。重点讲解理想的概念，这是商环构造的基础，其重要性不亚于群论中的正规子群。随后，我们将进入域（Field）的讨论，强调域作为“完美”运算环境的性质。伽罗瓦理论的前置知识，如整环、域的特征等，将在此章得到详尽的阐述。我们特别安排了一节对比研究有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和有限域 $mathbb{F}_p$ 的特性。 第二部分：线性代数——向量空间的深化 虽然线性代数是基础，但在本书中，我们将以更成熟的代数视角重新审视向量空间，使其与第一部分的抽象结构紧密相连。 第四章 向量空间与线性变换： 向量空间被定义为阿贝尔群（满足加法交换律的群）加上一个域上的标量乘法结构。这种视角强化了对向量空间内在代数性质的理解。本章详细分析基与维数的概念，并严格证明维数公式。线性变换被视为群同态（或更精确地说，模同态）的一种特殊形式。核（Kernel）和像（Image）的讨论将直接与前述的群论中的正规子群和商群对应起来，凸显结构的一致性。 第五章 行列式与特征值理论： 行列式的定义将采用更具代数意义的（基于置换的或基于线性映射的）方法，而非仅仅停留在代数公式的计算。我们将证明行列式是唯一确定的映射性质。特征值和特征向量的讨论将聚焦于线性变换的不变子空间，这些子空间是理解矩阵对角化和 Jordan 标准形的基础。 第六章 矩阵的规范形： 这一章是理论与计算的交汇点。我们将详尽推导 Jordan 标准型的存在性和唯一性，这要求读者对最小多项式和特征多项式有深刻的理解。此外，本书会加入关于有理规范形（Rational Canonical Form）的讨论，这在域不是代数闭域时尤为重要，因为它完全避免了复数的使用。我们还将探讨二次型和实对称矩阵的谱分解，强调其在优化问题中的几何意义。 第三部分：模块论与更高维度的探索 这一部分将视角提升到更广阔的代数框架——模块论，并引入一些现代应用的前沿概念。 第七章 模：向量空间的推广： 模块被定义为域上的向量空间在任意环上的推广。本书清晰地阐述了为什么环上的模结构比域上的向量空间结构复杂得多，例如，模可能没有基。通过对比，读者可以更深刻地理解向量空间的“良好行为”的根源在于其标量域的结构。本章将包含关于自由模和投射模的初步介绍。 第八章 线性方程组的结构解： 重新审视线性方程组 $Ax=b$ 的解空间。当系数域为 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$ 时，解空间结构清晰。当 $A$ 是整数矩阵时，我们将探讨模的视角，引入 Smith 标准型（Smith Normal Form），这对于整数矩阵的分析和解决丢番图方程至关重要。 第九章 结构分解与应用前瞻： 介绍主理想环（PID）的概念，证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$（F为域）是 PID。这将作为理解有限生成阿贝尔群结构定理的坚实基础。最后，本书将简要介绍张量积（Tensor Product）的概念，并展示其在描述多线性映射和构建更高阶结构（如张量场）中的核心地位，为读者后续进入微分几何或代数拓扑做好铺垫。 本书特色： 1. 理论的内在统一性： 强调群、环、域、向量空间和模之间的内在联系，揭示代数结构的一体同源性。 2. 证明的详尽性： 关键定理的证明过程细致入微，力求每一步逻辑推导都清晰可见，帮助学生掌握数学的严谨思维。 3. 丰富的例证与反例： 每一抽象概念都配有具体的、易于理解的例子，同时穿插精心挑选的反例，以精确界定概念的适用范围。 4. 数学史话穿插： 在关键理论发展处，简要回顾相关数学家的思想历程，增加阅读的趣味性和历史厚度。 本书适合于数学、物理、信息科学、工程科学等专业高年级本科生或初研学生，作为其高等代数课程的教材或自学参考书。掌握本书内容，将为读者构建坚实的现代数学基础，并为其后续的高级专业学习打下坚实的基础。
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