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Contemporary Abstract Algebra, 7e, International Edition provides a solid introduction to the traditional topics in abstract algebra while conveying to students that it is a contemporary subject used daily by working mathematicians, computer scientists, physicists, and chemists. The text includes numerous figures, tables, photographs, charts, biographies, computer exercises, and suggested readings giving the subject a current feel which makes the content interesting and relevant for students.
代数几何中的现代视角：从经典结构到前沿应用 本书旨在为读者提供一个深入、现代的抽象代数学习体验，重点关注代数结构的基本性质、它们在不同数学分支中的应用，以及当代代数研究中常用的工具和视角。它不仅仅是对群、环和域的传统介绍，更强调理解这些结构背后的深刻联系和高级概念。 第一部分：群论的深入探索 本卷的开篇聚焦于群论的精髓，但超越了基础的定义和例子。我们首先系统地回顾了群的构造、同态和同构定理，但随即转向更具挑战性的主题。置换群的结构分析是关键部分，尤其是对 $S_n$ 的子群——交错群 $A_n$ 的深入研究。我们将详细探讨 $A_n$ 在 $n ge 5$ 时的单群性证明，并以此为基础，构建伽罗瓦理论的代数框架。 有限群的结构是本部分的核心。除了叙述 Sylow 定理及其逆定理之外，我们还将侧重于利用 Sylow 子群来分析特定阶数的群的结构。可解群 (Solvable Groups) 的概念被引入，并与群的导群（Derived Series）紧密联系。我们将研究 Nilpotent 群作为可解群的一个重要特例，探讨其中心列和下中心列的性质，以及它们在分类小阶有限群时的作用。 在无限群方面，我们将探索自由群 (Free Groups) 的构造和性质，特别是使用生成元和关系式来定义群，并介绍生成元-关系表示 (Generators and Relations) 作为描述复杂群结构的有力工具。此外，商群的概念将被提升到更高层次，引入对群作用 (Group Actions) 的详尽分析，包括轨道-稳定子定理、Burnside 引理，以及它们在计数问题中的经典应用，例如波利亚计数定理的代数基础。我们还将触及一些特殊结构的群，例如有序群 (Ordered Groups) 和局部有限群 (Locrally Finite Groups) 的初步概念。 第二部分：环论与模论的桥梁 在环论部分，本书强调从模论的角度理解环的性质。在复习了基本概念如理想、商环和域扩张之后，我们将迅速进入主理想域 (Principal Ideal Domains, PIDs)、唯一因子域 (Unique Factorization Domains, UFDs) 和局部环 (Local Rings) 的深入对比。我们探究了这些结构类别的相互包含关系，并着重分析了分数域 (Field of Fractions) 的构造及其在代数数论中的初步意义。 同态与扩张的概念被推广到环之间。Noether 环的定义和结构被详细阐述，特别是其等价条件，如每个上升链都会稳定（Ascending Chain Condition, ACC）。我们将深入研究 Artin 环，并探讨它们与幂零理想之间的联系。 模论作为理解环的“线性代数”视角，占据了重要地位。我们将从模 (Modules) 的角度重新审视理想，并引入射模 (Projective Modules)、内射模 (Injective Modules) 和投射分解 (Projective Resolutions) 的概念。对于 PID 上的有限生成模，我们将详细阐述基本定理 (Fundamental Theorem for Finitely Generated Modules over a PID)，这为理解线性代数中 Jordan 标准形等概念提供了更深层次的代数基础。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的现代重构 域论是本书的理论高潮之一。我们不仅构造了简单的代数扩张和超越扩张，还详尽分析了正规扩张 (Normal Extensions) 和可分扩张 (Separable Extensions)。伽罗瓦群 (Galois Groups) 的定义和性质是核心，特别是关于 基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory) 的完整证明，它建立了域扩张与子群之间的完美对应关系。 本书的独特之处在于对伽罗瓦理论的现代应用和扩展： 1. 不可解性：利用伽罗瓦群的结构，我们给出了五次及以上多项式方程不可用根式求解的严格证明，重点分析了 $S_5$ 的单群性质。 2. 无限伽罗瓦群：介绍了绝对伽罗瓦群 (Absolute Galois Group) 的概念，它被定义为所有有限域扩张的伽罗瓦群的逆极限。我们探讨了其拓扑结构（Profinite Groups）和算术性质。 3. 分圆域 (Cyclotomic Fields)：对 $mathbb{Q}(zeta_n)$ 的结构进行详细分析，计算其伽罗瓦群，并展示了 Kronecker-Weber 定理的理论背景（尽管不完全证明）。 4. 代数数论的萌芽：引入了代数整数 (Algebraic Integers) 的概念，并展示了在某些情况下（如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$），UFD 性质的失效，这为理解代数数论 (Algebraic Number Theory) 中的理想理论（而不是元素理论）埋下了伏笔。 第四部分：与几何和拓扑的交叉 最后一部分将代数结构与其在几何和拓扑中的具体应用连接起来，展示抽象代数的实际效力。 环论与代数几何：我们将介绍交换代数 (Commutative Algebra) 的基本工具，包括张量积 (Tensor Products) 的更深入应用，以及局部化 (Localization) 在构造出更精细的代数结构中的重要性。我们引入了素理想谱 (Prime Spectrum) $ ext{Spec}(R)$ 的概念，将其作为代数环 $R$ 的一个拓扑空间，从而奠定了现代代数几何的语言基础。 群论与拓扑：我们将探讨基本群 (Fundamental Group) 的概念，并展示如何使用群论工具（如覆盖空间理论）来计算某些拓扑空间的代数不变量。我们将证明 Seifert-van Kampen 定理的代数对应物，并展示其在计算 $n$ 维球面（$S^n$）基本群时的应用。 通过这种结构，本书旨在培养读者不仅能熟练运用代数工具，还能理解这些工具在数学前沿交叉领域中所扮演的关键角色的能力。全书力求在理论的严谨性、概念的清晰性与现代应用的前瞻性之间取得平衡。
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