实用高等数学习题册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:许伟 编

出品人:

页数:126

译者:

出版时间:2010-5

价格:15.00元

装帧:

isbn号码:9787312026638

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学辅导
• 大学教材
• 习题集
• 工程数学
• 理工科
• 数学学习
• 解题技巧
• 考研数学
• 数学练习

智启未来：精选高等数学专题解析与应用 图书定位： 本书旨在为高等数学学习者提供一套系统、深入、富有启发性的专题训练材料，是传统教材学习的有力补充和高效的提炼。它不侧重于涵盖所有基础知识点的重复演练，而是聚焦于那些在课程学习、期末考试、乃至后续的专业课程（如工程数学、物理学、经济学等）中至关重要、但常令学生感到棘手的核心概念、典型方法和高难度应用问题。 目标读者群： 适用于已完成基础高等数学课程学习的本科生（理工科、经管类），考研学生，以及需要快速复习和巩固高等数学核心技能的在职工程师或教师。 --- 第一部分：极限、连续性与微积分基础的深度剖析 本部分着重于夯实微积分的理论基础，并通过精选的“陷阱”型题目，帮助读者避免常见的逻辑错误。 第一章：极限理论的精细化训练 $varepsilon-delta$ 语言的灵活运用： 不仅仅停留在定义公式的背诵，而是侧重于构造性证明。例如，对涉及绝对值不等式、分段函数在边界点处的极限，以及依赖于参数的极限的严格证明。特别关注“一致收敛”与“点式收敛”的初步辨析在极限求解中的作用。 无穷小与无穷大的阶别比较： 针对性训练洛必达法则的滥用辨析。例如，涉及函数复合、多次求导后极限的计算，以及如何利用等价无穷小替换的局限性（如 $sin(x^2)$ 与 $x^2$ 的精确替换时机）。 序列与级数的收敛性判定： 重点突破柯西收敛准则、比值检验法的临界情形（比值为 1 时的处理）、根式检验法的应用边界。引入 Abel 试验和 Dirichlet 试验，为后续的傅里叶级数打下基础。 第二章：导数、微分与中值定理的内化 高阶导数的计算策略： 梳理莱布尼茨公式在复杂乘积和复合函数求导中的应用技巧。例如，对形如 $y = f(x)g(x)e^{ax}$ 或隐函数求高阶导数的方法。 中值定理的几何意义与反证应用： 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理不再是简单的公式应用。本章设计了大量的“反证法”题型，要求读者根据中值定理的结论反推函数在特定区间内必须满足的性质（如单调性、凹凸性），以及证明某些函数不存在特定导数的情况。 函数的微分在近似计算中的局限性： 探讨高阶微分在泰勒展开中的角色，并对比一阶线性近似与高阶抛物线近似的误差范围分析。 --- 第二部分：积分学的理论深化与应用拓展 本部分聚焦于积分学的计算难度和其在几何、物理问题中的建模能力。 第三章：定积分的巧妙计算方法 定积分的变量代换与分部积分的串联： 强调如何根据积分上下限的特性选择最优的变量代换（如三角代换、万能代换）。设计多步分部积分法，要求读者识别出哪一部分函数适合连续或周期性地作为 $u$ 或 $dv$。 广义积分的处理： 严格区分瑕点类型，掌握比较判别法、极限判别法的具体应用场景。重点训练含参数的广义积分（如狄利克雷积分的初步接触）和无穷区间上的定积分。 定积分在几何量度中的建模： 侧重于体积和曲面面积计算的“反直觉”问题。例如，旋转体的“内陷”体积计算、表面积计算中对曲面参数化的选择困难。 第四章：不定积分的高级技巧与微分方程的连接 三角函数有理式的积分： 系统梳理三角函数有理式、代数函数有理式的积分技巧，特别是涉及 $R(sin x, cos x)$ 的精确步骤。 微分方程初步： 本章将常微分方程（ODE）的求解方法作为不定积分的延伸。重点放在一阶线性 ODE、可分离变量法、恰当方程的判定与求解。训练读者识别哪些积分问题实际上是对应于特定的微分方程形式。 --- 第三部分：多元函数微积分的几何直观与向量分析 本部分旨在突破二维平面思维，进入三维空间，强调向量场和多重积分的物理意义。 第五章：多元函数的偏导数与极值判定 方向导数与梯度向量的物理诠释： 不仅计算，更强调梯度向量指向函数增长最快的方向这一核心概念。设计多维空间中等高线的法线方向判断题。 多元函数的泰勒公式与二阶偏导数分析： 重点剖析海森矩阵（Hessian Matrix）在局部极值判别中的作用，特别是如何处理鞍点（Saddle Point）的几何特征。 多元函数的极值问题（约束与无约束）： 集中训练拉格朗日乘数法，并结合实际问题（如成本最小化、面积最大化），要求读者能正确构造拉格朗日函数和处理边界情况。 第六章：线积分、面积分与格林、斯托克斯公式的应用 路径依赖性与保守场： 通过检验 $frac{partial Q}{partial x} = frac{partial P}{partial y}$ 来快速判断保守场，并利用势函数（Potential Function）简化线积分的计算。 双重积分的区域划分与坐标系选择： 解决在极坐标系、柱坐标系和球坐标系下，积分区域的描述转换问题。重点训练不规则形状区域上的积分，以及利用对称性简化计算。 三大基本定理的融会贯通： 集中训练格林公式、高斯公式（散度定理）和斯托克斯公式（旋度定理）的相互转化与应用。例如，如何通过将面积分转化为闭合曲面积分来简化计算（反之亦然）。训练学生在三维空间中，准确区分“面积元”与“体元”在不同坐标系下的表达。 --- 附录：经典错题分析与方法论总结 本附录不提供标准答案的推导，而是专注于回顾和总结学习过程中最容易失分和混淆的知识点： 1. 连续性与可微性的层级关系辨析（例如，函数在某点连续，但不一定可微；在闭区间上连续，但不一定在开区间可微）。 2. 中值定理的适用条件自查清单。 3. 多重积分中坐标系转换的“陷阱”（如雅可比行列式符号的确定）。 4. 向量场中旋度和散度的物理意义区分。 本书的价值在于提供了一种“深度挑战”的学习路径，确保读者不仅“会做题”，更能“理解题背后的数学结构和物理模型”。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆