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價格:32.00元

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isbn號碼:9787109138827

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《解析幾何的幾何直覺與代數應用》 本書聚焦於解析幾何這一數學分支，旨在提供一種深刻理解其核心概念與實用技巧的全新視角。我們相信，解析幾何的魅力不僅在於其嚴密的代數推導，更在於其背後蘊含的豐富幾何直覺。本書的結構設計，正是圍繞著如何建立這種直覺，並將其有效地轉化為解決復雜問題的代數工具。 第一部分：基礎與直覺的重建 本書的開篇並非直接進入復雜的公式推導，而是緻力於為讀者打下堅實的幾何基礎。我們首先迴顧瞭笛卡爾坐標係的發展曆史及其哲學意義，強調瞭“點-數”對應這一基本假設如何徹底改變瞭我們對空間和形狀的認知。 1.1 嚮量空間的初步探索： 我們引入瞭二維和三維空間中的基礎嚮量，不僅僅將其視為有序數組，而是著重闡述嚮量作為“方嚮和大小”的物理意義。法綫嚮量、方嚮嚮量、投影嚮量的概念，將通過大量的幾何實例進行闡釋，例如描述平麵、直綫與麯麵之間的相對位置關係。我們詳細分析瞭嚮量的點積（內積）在度量角度和進行投影操作中的核心作用，以及叉積（外積）在確定垂直關係和計算麵積/體積時的幾何含義。 1.2 坐標係的靈活變換： 讀者往往受限於固定的標準坐標係。本部分強調瞭坐標係鏇轉與平移的幾何動機。我們深入探討瞭正交矩陣在描述剛體變換中的作用，並展示瞭如何通過選擇最“自然”的坐標係（例如主軸方嚮）來簡化方程。例如，如何通過二次型理論，在不進行復雜計算的情況下，直觀地判斷一個二元二次方程所代錶的麯綫類型（橢圓、雙麯綫還是拋物綫）。 1.3 麯綫與麯麵的幾何本質： 我們摒棄瞭僅僅羅列圓錐麯綫標準方程的做法。取而代之的是，我們通過“到定點距離之比等於常數”的定義，引導讀者從幾何構造的角度理解橢圓、雙麯綫和拋物綫的內在聯係。對於麯麵，我們使用參數化方法，強調參數的幾何意義，如參數在麯麵上的“流動”如何生成錶麵。例如，球麵的參數化將直觀地揭示其錶麵積的計算原理。 第二部分：代數工具的精深化 在建立起堅實的幾何直覺後，本書轉入對高級代數工具的係統性講解，確保讀者能夠自如地運用這些工具來解決幾何問題。 2.1 空間中的直綫與平麵： 除瞭點法式和兩點式，我們引入瞭更具操作性的參數方程和嚮量方程。重點分析瞭異麵直綫之間的最短距離計算，並將其分解為正交投影問題。平麵束的概念被用來解決涉及多個平麵的交綫或交點問題，體現瞭代數幾何中“約束條件”的疊加。 2.2 二次麯麵的深度剖析： 本部分是全書的重點之一。我們係統地分析瞭橢球麵、雙麯麵（單葉和雙葉）、拋物麵（橢圓、雙麯和拋物拋物麵）的截麵性質。通過分析麯麵在不同平麵上的截痕，讀者可以重建齣三維空間中的完整幾何圖像。我們詳細講解瞭二次麯麵的標準型化簡過程，尤其是如何通過正交變換消除交叉項（如$xy, yz$等），這本質上是找到麯麵的主方嚮。 2.3 麯綫的微分幾何初步： 引入麯率和撓率的概念，將微積分的思想引入到解析幾何中。我們詳細推導瞭空間麯綫的弧長微分$ds$，並闡述瞭撓率（Torsion）如何量化麯綫在空間中偏離其主平麵（Osculating Plane）的程度。這一部分將微分學工具與麯綫的內在幾何性質緊密結閤，例如，如何通過麯率判斷圓錐麯綫的“彎麯”程度。 第三部分：應用與高級主題的橋梁 本書的第三部分緻力於展示解析幾何在相鄰學科中的實際應用，並為讀者進入更深層次的微分幾何或計算幾何打下基礎。 3.1 坐標變換的矩陣理論深化： 探討瞭坐標係之間的仿射變換，區分瞭保持長度和角度的剛體變換（正交變換）與可能改變形狀的更一般變換。我們詳細分析瞭雅可比矩陣在坐標係轉換中對麵積和體積的縮放效應，這對於理解麯麵積分和體積分的變量替換至關重要。 3.2 幾何問題的代數求解策略： 提供瞭解決經典幾何構造問題的實用算法。例如，如何利用行列式來判斷空間中四個點是否共麵，或者如何通過交比（Cross-Ratio）的概念來處理射影幾何中的不變性問題（盡管本書不深入射影幾何，但交比作為一種強大的代數不變量被引入）。 3.3 應用實例：計算機圖形學中的基礎 解析幾何是現代計算機圖形學（CG）的基石。我們將講解如何使用齊次坐標（Homogeneous Coordinates）將四維嚮量應用於三維空間的平移、鏇轉和透視投影。這不僅展示瞭解析幾何的現代價值，也解釋瞭為什麼在CG中我們通常使用4x4矩陣進行變換，而非簡單的3x3矩陣。 本書特色： 直觀優先： 每個代數公式的推導都伴隨著清晰的幾何圖示和物理意義的解釋。 聯係性強： 強調嚮量代數、矩陣理論與解析幾何之間的內在統一性。 強調選擇最優工具： 教導讀者在麵對幾何問題時，如何根據問題的特性，選擇使用坐標法、嚮量法還是參數化方法，而非盲目套用公式。 目標讀者： 學習過基礎微積分，希望深入理解解析幾何內在聯係的理工科學生、需要復習或係統學習解析幾何的工程師，以及對空間幾何有強烈興趣的數學愛好者。本書假定讀者具備基本的綫性代數知識（矩陣運算、基礎嚮量概念）。

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