Cyclic Difference Sets (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Leonard D. Baumert

出品人:

页数:166

译者:

出版时间:1971-04-21

价格:USD 26.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540053682

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 组合数学
• 有限域
• 差集
• 循环差集
• 设计理论
• 代数结构
• 编码理论
• 离散数学
• 数学讲义
• 数论

探索数学新境：群论、组合设计与编码理论的交汇 《群论基础与有限域的几何结构》 简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探索群论在现代数学，尤其是在有限域几何、组合设计以及信息论基础中的核心作用。本书的结构设计旨在引导初学者逐步建立起坚实的理论基础，并最终能够理解如何利用抽象代数工具解决具体而复杂的组合问题。我们聚焦于那些构成现代数学大厦的基石——对称性、结构与精确的计数原理。 第一部分：群论的现代视角与基本结构 本部分将群体结构视为理解复杂系统的基本语言。我们不会停留于基础定义，而是迅速深入到更具应用价值的领域。 第一章：从代数到结构——群的拓扑与解析延展 本章首先回顾了群的基本概念，包括子群、陪集和同态，但其核心目标是将群论置于更广阔的数学背景之下。我们探讨了拓扑群（如李群的离散子群）的引入如何使得代数结构与连续性概念产生联系，这对于理解对称性的“平滑”变化至关重要。重点分析了有限阿贝尔群的分类定理，并将其与有限域 $mathbb{F}_q$ 上的加法群结构进行对比，揭示了它们在向量空间视角下的内在一致性。 我们深入考察了正规子群和商群的概念，并使用群作用的框架来重新定义同态定理。本章的难点在于对群的张量积的介绍，这不仅是理解更高维表示论的桥梁，也为后续讨论交错群（Alternating Groups）的性质奠定了代数基础。 第二章：表示论的初探：从酉性到特征标理论 表示论是连接抽象群与具体线性代数结构的桥梁。本章主要关注有限群的线性表示。我们详尽阐述了Maschke定理在半单群（Semisimple Groups）上的应用，强调了不可约表示（Irreducible Representations, Irreps）作为基本构建块的重要性。 核心部分聚焦于特征标理论（Character Theory）。我们详细推导了正交性关系，并展示了如何利用特征标表来确定群的结构，例如判断一个群是否是幂零群或单群。特别地，我们分析了诱导特征标（Induced Characters）的构造方法，这些方法在后续的组合对象计数中发挥着不可替代的作用。最后，我们讨论了由群表示导出的代数结构，如群环 $mathbb{C}[G]$ 的分解，并简要提及了其在量子信息理论中的潜在联系。 第二部分：有限域与几何的交织 本部分将代数结构从抽象的群理论延伸到具有乘法结构的有限域，探究这些域如何在几何构造中提供精确的“坐标系”。 第三章：有限域的构造与伽罗瓦理论的务实应用 本章超越了简单的域扩张，侧重于有限域的精确构造和性质。我们详细分析了伽罗瓦群（Galois Groups）在有限域扩张中的作用，特别是对于 $mathbb{F}_{p^n}$ 扩张，其伽罗瓦群是循环群 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$。 我们深入探讨了原根（Primitive Roots）的存在性证明，并将其与域的乘法群 $mathbb{F}_q^$ 的循环结构紧密联系起来。本章引入了迹（Trace）和范数（Norm）的线性代数视角，展示了它们如何作为域扩张之间的重要映射。我们还探讨了对偶性原理在有限域上的体现，例如，如何利用对偶基来构造特定的线性函数族。 第四章：射影空间与仿射空间的组合基础 有限域是构造离散几何结构的关键。本章详细介绍了射影空间 $PG(d, q)$ 和仿射空间 $AG(d, q)$ 的定义，这些空间是组合设计理论的自然背景。 我们首先通过向量空间 $V = mathbb{F}_q^{d+1}$ 的 1 维子空间来严格定义射影点，并计算了这些空间中点、线、平面等的精确数量。本章的重点在于点的交点定理：在 $PG(2, q)$ 中，任意两条不同的线恰好有一个交点，这一性质直接来源于域的唯一除环结构。我们还分析了这些几何结构中的超平面及其数量，并引入了割线/割平面的概念，这些概念是分析组合结构中“平衡性”的关键。 第三部分：组合结构与代数工具的融合 本部分将前两部分的理论工具应用于构建和分析特定的组合对象，强调代数方法在证明“存在性”和“唯一性”时的强大能力。 第五章：平衡不完全区组设计（BIBD）的代数解读 虽然本书不直接涉及特定的“差集”构造，但本章致力于提供分析所有平衡结构（包括 $t$-设计）的通用代数框架。我们利用群作用和表示论来研究设计的对称群。 重点在于Fisher不等式的群论推导：通过考虑点集在群作用下的轨道和稳定子，我们推导出设计参数之间的基本约束。我们详细分析了交集性质（Intersection Properties）的代数定义，例如，当设计关联矩阵的特征值具有特定性质时，其平衡性如何得到保证。本章强调了代数编码理论中使用的线性代数方法如何应用于平衡结构分析，例如，通过分析设计关联矩阵的零空间来寻找结构中的冗余或特殊子结构。 第六章：代数编码理论的几何视角与信息论前奏 本章探讨了如何利用有限域上的线性代数来构造具有特定纠错能力的编码。我们使用线性码作为研究对象，它本质上是 $mathbb{F}_q^n$ 上的一个子空间。 我们详细介绍了生成矩阵（Generator Matrix）和校验矩阵（Parity-Check Matrix）的概念，并展示了它们如何通过线性变换相互转换。核心内容放在汉明距离（Hamming Distance）与最小码距的关联上，以及如何利用秩论（Rank Theory）来计算码的参数。最后，本章引入了关联矩阵（Incidence Matrices）的概念，并将它们视为一种特殊的线性码，这些矩阵的性质（如满秩性）直接决定了其所代表的组合结构（如强正则图或特定类型的平衡不完全区组设计）的参数有效性。 总结 本书为那些希望深入理解抽象代数如何精确地描述和构建组合与信息结构的研究者提供了一个坚实的平台。通过群论的对称性、有限域的代数精确性和几何构造的结合，读者将获得一套强大的分析工具，用以探索离散数学中最深刻的问题。

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