Selfsimilar Processes pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Paul Embrechts

出品人:

页数:152

译者:

出版时间:2002-7-16

价格:USD 46.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691096278

丛书系列:

图书标签:

概率论
随机过程
自相似性
分形
统计物理
数学建模
时间序列分析
信号处理
混沌理论
应用数学

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具体描述

The modeling of stochastic dependence is fundamental for understanding random systems evolving in time. When measured through linear correlation, many of these systems exhibit a slow correlation decay - a phenomenon often referred to as long-memory or long-range dependence. An example of this is the absolute returns of equity data in finance. Selfsimilar stochastic processes (particularly fractional Brownian motion) have long been postulated as a means to model this behavior, and the concept of selfsimilarity for a stochastic process is now proving to be extraordinarily useful. Selfsimilarity translates into the equality in distribution between the process under a linear time change and the same process properly scaled in space, a simple scaling property that yields a remarkably rich theory with far-flung applications. After a short historical overview, this book describes the current state of knowledge about selfsimilar processes and their applications. Concepts, definitions and basic properties are emphasized, giving the reader a road map of the realm of selfsimilarity that allows for further exploration. Such topics as noncentral limit theory, long-range dependence, and operator selfsimilarity are covered alongside statistical estimation, simulation, sample path properties, and stochastic differential equations driven by selfsimilar processes. Numerous references point the reader to current applications. Though the text uses the mathematical language of the theory of stochastic processes, researchers and end-users from such diverse fields as mathematics, physics, biology, telecommunications, finance, econometrics, and environmental science will find it an ideal entry point for studying the already extensive theory and applications of selfsimilarity.

好的，这是一本关于《拓扑数据分析与复杂网络中的几何结构》的图书简介。 --- 图书简介：拓扑数据分析与复杂网络中的几何结构深度探索数据世界的内在形状在当今大数据时代，我们面对的数据集日益庞大且结构复杂，它们不再是简单的向量或矩阵，而是隐藏着深刻拓扑结构的复杂形体。传统的统计学方法往往依赖于数据的线性或局部特征，难以揭示数据背后的全局形态和内在关联。本书《拓扑数据分析与复杂网络中的几何结构》正是为了填补这一空白而创作的，它系统地介绍了如何运用拓扑学工具，特别是持久同调（Persistent Homology）理论，来分析和理解复杂系统中的几何属性和网络结构。本书的目标读者是数学家、计算机科学家、数据分析师、物理学家以及任何对高维数据结构和复杂系统建模感兴趣的研究人员和工程师。我们旨在提供一个既有坚实的理论基础，又具备丰富实践指导的综合性指南。 --- 第一部分：基础理论的奠基——从点云到拓扑特征第一部分聚焦于建立分析复杂数据结构所必需的数学和计算基础。我们不假设读者拥有深厚的代数拓扑背景，而是从直观的几何概念出发，逐步引入现代拓扑数据分析（TDA）的核心工具。第一章：数据的几何表示与尺度空间本章首先探讨了高维数据，特别是点云（Point Cloud）数据的几何表示问题。我们讨论了在嵌入空间中如何感知数据的“形状”，并引入了$epsilon$-邻域图和Čech复合体、Vietoris-Rips 复合体等基础拓扑构造。重点分析了参数 $epsilon$（尺度参数）对构造结果的敏感性，并引出持续性（Persistence）的概念——即某一拓扑特征在不同尺度下保持稳定的现象。第二章：持久同调的代数核心持久同调（PH）是TDA的理论核心。本章深入讲解了有向同调群和链复形的概念。我们详细阐述了如何从几何构造（如Rips复合体）过渡到代数结构——即链复形，以及如何计算该复形的同调群 $H_k(X)$。关键在于解释边界算子和商空间的运算，从而定义出拓扑特征的产生与湮灭。章节末尾，我们介绍了矩阵简化算法，为后续的计算实现打下基础。第三章：持久性图谱的解读与特征提取拓扑特征最终通过持久性图谱（Persistence Diagram, PD）可视化。本章专注于PD的解读艺术。我们区分了不同维度 $k$ 上的特征： $k=0$：连通分量（“洞”的缺失）。 $k=1$：一维环路或“洞”（如甜甜圈的空心）。 $k=2$：二维空腔（高维的“空心”结构）。我们讨论了如何量化PD的质量，包括截断持久性和持久性景观（Persistence Landscapes）等统计工具，这些工具将离散的图谱转化为可用于机器学习的向量表示。 --- 第二部分：复杂网络中的拓扑结构建模第二部分将视角转向由离散节点和边构成的复杂网络（如社交网络、生物网络、信息流网络）。我们不再将网络视为简单的图论对象，而是探讨其潜在的、嵌入在高维特征空间中的拓扑几何形态。第四章：网络嵌入与拓扑表征本章讨论了如何将网络数据转化为适合TDA分析的几何对象。我们引入了基于节点特征相似性构建的权重图和邻接矩阵，并讨论了如何利用谱嵌入或度量学习将网络映射到低维欧氏空间，以构建距离矩阵，进而生成用于PH分析的Rips复合体。重点在于如何选择合适的距离或相似性度量，以保留网络的本质结构。第五章：网络拓扑的尺度演化分析将持久同调应用于网络，我们能够分析网络在不同连接阈值下的拓扑稳定性。我们着重分析了网络演化过程中的拓扑相变。例如，在社交网络中，早期阶段可能充斥着大量的零维连通分量，随着连接的增加，高阶环路（如三元闭合或更高阶的团簇结构）的出现和消失，揭示了社群的形成与解体的动力学。本章通过案例研究展示了如何利用持久性模块来区分不同类型的网络社群结构。第六章：拓扑描述符在网络分类中的应用本部分聚焦于如何将抽象的拓扑信息转化为可用于模式识别和分类的特征。我们详述了如何将持久性图谱转化为Betti 数序列、持久性签名（Persistence Signatures）、持续性景观向量或拓扑特征张量。这些描述符被用于构建机器学习模型，以解决如：网络类型识别、异常结构检测以及基于拓扑特征的节点重要性排序等实际问题。 --- 第三部分：高级主题与计算实现第三部分深入探讨了TDA在特定复杂系统中的应用前沿，并提供了实际的计算指南。第七章：高阶同调与高维关联超越最常见的一维环路分析，本章探索了高阶同调在揭示复杂关联中的作用。我们讨论了Simplicial Nerve 定理的应用，特别是在分析多模态数据（如同时包含空间、时间和属性信息的数据）时，如何利用二维空腔（$k=2$）来捕捉三元或更高阶的局部关联结构。这对于理解基因调控网络或多层物理系统中的涌现现象至关重要。第八章：拓扑特征在时间序列分析中的应用时间序列数据天然具有顺序性，将其转化为拓扑结构需要特别的方法。本章介绍了延迟嵌入（Time-Delay Embedding）技术，通过构建相空间轨迹，将时间序列转化为点云数据，从而应用PH进行分析。我们探讨了如何利用持久性特征来识别时间序列中的周期性、突变点以及不同时间尺度下的模式锁定现象。第九章：计算工具与实践案例本书的最后部分提供了实用的计算指南。我们详细介绍了当前主流的开源TDA库（如Gudhi, Ripser, Dionysus）的使用方法，强调了计算效率和大规模数据处理的挑战。通过详细的Python或R代码示例，读者可以亲手复现书中的关键分析流程，从原始数据点云到最终的统计报告。案例涵盖了材料科学中的晶体结构分析和金融市场波动性中的拓扑变化检测。 --- 总结：重塑对复杂性的理解《拓扑数据分析与复杂网络中的几何结构》不仅仅是一本关于新颖数学方法的教科书，更是一种范式转变的倡导。它教导读者跳出传统线性模型的束缚，学会“看见”数据深处的“形状”和“洞”。通过掌握这些工具，研究人员将能以前所未有的精度和深度，揭示隐藏在看似随机的复杂现象背后的几何秩序。本书致力于将抽象的拓扑学概念转化为解决现实世界复杂问题的强大引擎。