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出版者:Cambridge University Press

作者:Bryce DeWitt

出品人:

页数:428

译者:

出版时间:1992-6-26

价格:USD 82.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521423779

丛书系列:Cambridge Monographs on Mathematical Physics

图书标签:

数学
物理
微分几何
超流形
数学
拓扑学
代数几何
超对称性
物理学
数学物理
高等数学
几何学

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具体描述

This is an updated and expanded second edition of a successful and well-reviewed text presenting a detailed exposition of the modern theory of supermanifolds, including a rigorous account of the super-analogs of all the basic structures of ordinary manifold theory. The exposition opens with the theory of analysis over supernumbers (Grassman variables), Berezin integration, supervector spaces and the superdeterminant. This basic material is then applied to the theory of supermanifolds, with an account of super-analogs of Lie derivatives, connections, metric, curvature, geodesics, Killing flows, conformal groups, etc. The book goes on to discuss the theory of super Lie groups, super Lie algebras, and invariant geometrical structures on coset spaces. Complete descriptions are given of all the simple super Lie groups. The book then turns to applications. Chapter 5 contains an account of the Peierals bracket for superclassical dynamical systems, super Hilbert spaces, path integration for fermionic quantum systems, and simple models of Bose-Fermi supersymmetry. The sixth and final chapter, which is new in this revised edition, examines dynamical systems for which the topology of the configuration supermanifold is important. A concise but complete account is given of the pathintegral derivation of the Chern-Gauss-Bonnet formula for the Euler-Poincare characteristic of an ordinary manifold, which is based on a simple extension of a point particle moving freely in this manifold to a supersymmetric dynamical system moving in an associated supermanifold. Many exercises are included to complement the text.

《寰宇之镜：多维几何的深层探索》（图书封面设计理念：深邃的宇宙背景，点缀着复杂的、交织的光线与几何结构，暗示着超越传统认知的空间形态。核心视觉元素是一个由无数微小、精确的符号构成的、不断自我折叠的螺旋体。） --- 内容概要：超越欧几里得的边界《寰宇之镜：多维几何的深层探索》是一部旨在彻底重塑读者对空间、结构和相互作用理解的学术专著。本书摒弃了对经典欧几里得几何的路径依赖，深入挖掘了现代数学物理学中最前沿、最抽象的几何结构——拓扑空间、微分流形（不涉及超对称或超对称相关结构）、黎曼几何在非紧致空间中的应用，以及奇异性理论在描述物理边界时的角色。本书的写作风格严谨、逻辑缜密，目标读者是具备坚实高等数学基础（微积分、线性代数、基础拓扑学）的研究人员、高级研究生以及对纯数学和理论物理学交叉领域抱有浓厚兴趣的专业人士。全书共分为六个主要部分，层层递进，构建了一个宏大而精妙的几何理论框架。 --- 第一部分：拓扑基础与连续形变（The Topological Foundation and Continuous Deformation）本部分奠定了全书的几何语言。我们首先回顾了点集拓扑的核心概念，但重点迅速转向了更具建设性的代数拓扑工具。同伦与同调群的重构：详述了奇异同调理论（Singular Homology Theory）的构造过程，特别是其函子性质和维数公理的严格证明。重点分析了通过Mayer-Vietoris序列解决复杂空间连通性问题的技术。纤维丛与向量丛的视角：介绍了一般流形上的纤维丛结构，包括主丛和向量丛的定义。详细讨论了如何利用上同调理论（如De Rham上同调）来研究流形上的微分形式和积分不变量。不动点理论的几何应用：探讨了Brouwer不动点定理和Lefschetz不动点定理，并展示了它们如何作为几何形变分析的基础工具，用于判断特定映射的结构稳定性。 --- 第二部分：微分流形：局部与整体的桥梁（Differential Manifolds: Bridging Local and Global）本部分聚焦于可微结构，这是将拓扑空间提升到可以进行微积分运算的平台的关键。光滑结构与坐标图集：严格定义了光滑结构，并探讨了不同坐标图集之间保持光滑过渡的必要性（即转移映射的光滑性）。张量场与微分算子：系统介绍了切空间、余切空间、张量代数在流形上的推广。重点阐述了协变导数（Covariant Derivative）的定义，以及如何保持其在坐标变换下的张量性质，这是后续引入黎曼几何的先决条件。流与向量场：深入分析了向量场在流形上的动力学意义。通过常微分方程组的积分曲线，定义了流（Flow）的概念，并讨论了向量场积分存在的局部和全局条件。 --- 第三部分：黎曼几何的度量结构（The Metric Structure of Riemannian Geometry）几何的度量——长度和角度的精确测量——由黎曼度量张量赋予。本部分是对度量几何的深度剖析。黎曼度量与测地线方程：定义了黎曼度量$g_{ij}$，并推导了基于该度量的克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）。详细推导了测地线方程（Geodesic Equation）的拉格朗日形式和微分形式，强调了测地线是“局部最短路径”的严格含义。曲率的代数与几何：严格定义并分析了里奇曲率（Ricci Curvature）、里奇张量和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）。重点在于解读这些量如何量化空间在某一点上的弯曲程度。我们通过Riemann曲率张量的分量，展示了其在判定空间局部平直性上的核心作用。指数映射与局部测地线坐标系：阐述了指数映射如何从切空间“展开”到流形局部区域，并讨论了其在构建局部坐标系中的实际用途和局限性。 --- 第四部分：拓扑学与几何学的交汇：特征类（Intersections of Topology and Geometry: Characteristic Classes）本部分将前两部分的工具结合起来，引入了将拓扑不变量与微分结构联系起来的强大工具。陈类（Chern Classes）的构造：详细介绍了陈类如何从向量丛的曲率形式中构造出来，并通过上同调理论的配对性质来体现其作为拓扑不变量的稳健性。示性类与示性数的联系：讨论了Pontryagin类和Euler类，并展示了它们与流形拓扑性质（如Betti数）之间的深刻关系，特别是通过Weil代数和 Chern-Weil 理论的视角。高斯-邦内特定理的推广：探讨了高斯-邦内特公式在二维流形上的精确意义，并将其推广到更高维度，作为曲率积分与拓扑性质关联的经典范例。 --- 第五部分：几何结构的多样性与分类（Diversity and Classification of Geometric Structures）本书将视野扩展到超越标准黎曼结构的更广阔的几何领域。辛几何初步（Symplectic Geometry）：引入了预辛流形和辛流形的定义，重点分析了辛形式（Symplectic Form）的非退化性和闭合性。讨论了刘维尔定理在相空间理论中的几何意义。卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）：在不涉及弦论的背景下，纯粹从复几何和微分几何的角度，分析了凯勒流形（Kähler Manifolds）上的Ricci平坦条件。讨论了其特殊的拓扑约束以及如何通过Mori纲领进行分类研究。测地曲率与完全性：探讨了具有常曲率的几何空间（如球面、双曲空间）的全局结构，并引入了测地线完全性的概念，用于区分局部结构良好的空间与可能包含“穿孔”或“渐近线”的复杂结构。 --- 第六部分：几何边界与奇异性分析（Geometric Boundaries and Singularity Analysis）最后一部分考察了当光滑性假设被打破时，几何结构所展现出的复杂行为。退化流形与层论（Degenerate Manifolds and Sheaf Theory）：分析了度量张量在某些点上变得奇异（例如秩降低）的情况。引入了层论工具来描述这些局部信息的不连续传播。锥形空间与边界的几何重构：讨论了由光滑流形边界通过特定操作（如取商空间）形成的锥形结构。使用模空间（Moduli Spaces）的语言来研究这些结构在极限情况下的稳定性。奇点处的拓扑收敛：探讨了在几何结构趋于奇异点时，局部拓扑空间如何“收敛”或“坍缩”到更低维的结构，并利用Stratification（分层）理论对这些奇点进行分类。 --- 总结：《寰宇之镜》致力于构建一个统一的数学语言，用于描述宇宙中可能存在的、远比我们日常经验更丰富的空间形态。它强调的是严格的构造、深刻的代数关联，以及几何结构内在的张力与和谐。本书的阅读体验将是挑战性的，但对于渴望深入理解现代几何学核心思想的读者而言，它提供了一张通往下一代空间理论的路线图。