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出版者:Springer

作者:Michael Struwe

出品人:

頁數:302

译者:

出版時間:2008-6-13

價格:USD 179.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540740124

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 變分法
• 數學分析
• 數值分析
• 優化
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 應用數學
• 科學計算
• 工程數學
• 近似計算

《復雜係統中的非綫性動力學與演化》 內容簡介 本書深入探討瞭復雜係統領域中非綫性動力學、混沌理論、突變理論以及復雜性科學的前沿議題。係統地梳理瞭經典動力學係統、耗散結構理論、自組織現象、以及信息熵在描述係統演化過程中的作用。全書旨在為讀者提供一套嚴謹的數學工具和深刻的物理洞察，以理解和分析自然界、工程技術和社會科學中普遍存在的非綫性、不可預測性和湧現現象。 第一部分：非綫性動力學基礎與穩定性分析 本部分奠定瞭理解復雜係統行為的數學基礎，重點關注常微分方程組（ODE）和偏微分方程（PDE）所描述的動力學係統的定性分析方法。 第一章：動力學係統的相空間描述與拓撲結構 詳細闡述瞭狀態空間、相軌綫、流的概念，引入瞭李雅普諾夫（Lyapunov）意義下的穩定性分析。深入討論瞭定常點（不動點）的綫性化分析，包括鞍點、結點、中心、極限環等拓撲結構。對保守係統和耗散係統的區分進行瞭嚴謹的數學定義，並引入瞭麵積（體積）收縮因子來定量描述係統的耗散性。 第二章：分支理論與係統演化的定性轉變 本章聚焦於係統參數變化時，平衡點和周期解的穩定性如何發生突變——即分支現象。係統分析瞭經典的分岔類型，包括：鞍結分岔 (Saddle-Node Bifurcation)、超臨界/次臨界 Hopf 分岔（涉及周期解的産生與消失）以及意大利麵分岔 (SNIC)。通過引入範式方程 (Normal Form Equations)，展示瞭如何將高維係統的局部行為簡化為低維可分析的模型，從而揭示係統從穩定狀態到不規則行為的臨界點。 第三章：極限環與周期性振蕩 深入研究瞭二維係統中周期解的存在性、唯一性和穩定性。詳述瞭龐加萊-伯蒂森定理 (Poincaré-Bendixson Theorem) 在保證極限環存在性中的應用。重點分析瞭自激振蕩係統的數學模型（如範德波爾振蕩器），探討瞭等溫綫（Isoclines）的幾何意義，並引入瞭平均場理論 (Averaging Method) 來近似分析具有小參數擾動的周期係統。 第二部分：混沌動力學與拓撲熵 本部分深入復雜性問題的核心——混沌現象的數學刻畫、識彆及其遍曆性。 第四章：混沌的數學特徵與度量 係統定義瞭拓撲混閤性 (Topological Mixing)、稠密性 (Density) 以及對初始條件的敏感依賴性 (Sensitive Dependence on Initial Conditions, SDIC)。SDIC 通過李雅普諾夫指數 (Lyapunov Exponents) 進行量化。本書詳細推導瞭多維係統中的最大李雅普諾夫指數的計算方法，並闡明瞭指數譜的符號與係統行為（穩定、周期、混沌）之間的嚴格對應關係。 第五章：奇異吸引子與分形幾何 混沌係統的長期行為被吸引在特定的集閤上，即奇異吸引子 (Strange Attractors)。本章將動力學與幾何學緊密結閤，介紹瞭豪斯多夫維數 (Hausdorff Dimension) 和容量維數 (Capacity Dimension) 的概念。通過洛倫茲吸引子（Lorenz Attractor）的經典案例，展示瞭吸引子如何具有非整數維度的分形結構，以及這種結構如何編碼瞭係統的無限復雜性。 第六章：拓撲熵與信息論在動力學中的應用 本章超越瞭傳統的相空間分析，引入瞭信息論工具來衡量復雜係統的內在不確定性。定義瞭拓撲熵 (Topological Entropy)，它衡量瞭係統在有限時間間隔內在相空間中産生新軌跡的速率。將動態熵 (Dynamical Entropy) 與經典的信息熵概念聯係起來，解釋瞭為什麼混沌係統在長期預測中本質上是不可約的，因為它在信息層麵上不斷産生新的、不可壓縮的信息。 第三部分：隨機性、噪聲與復雜係統演化 本部分將動力學係統置於真實世界的背景下，考慮環境噪聲和隨機漲落對係統演化的影響。 第七章：隨機微分方程與布朗運動 引入伊藤積分 (Itô Calculus) 的基本框架，用於處理包含隨機擾動的係統，即隨機微分方程 (SDE)。詳細分析瞭斯特拉托諾維奇 (Stratonovich) 和伊藤 (Itô) 積分方案的差異及其物理意義。討論瞭白噪聲對確定性動力學係統的平滑或增強作用，以及如何在SDE框架下定義穩定性和吸引子的概念。 第八章：噪聲驅動下的分岔與布萊剋-卡茨分岔 探討瞭噪聲如何改變係統對參數變化的響應。隨機分岔 (Stochastic Bifurcation) 描述瞭係統在接近臨界點時，噪聲如何誘發或抑製確定性係統中的定性轉變。重點分析瞭布萊剋-卡茨 (Kramers) 效應，即在勢壘驅動下，隨機跳變如何使係統穿越能量屏障，這在化學反應動力學和閾值係統中至關重要。 第九章：自組織與耗散結構 本書最後一部分轉嚮宏觀尺度的復雜性。基於普裏高津（Prigogine）的工作，詳細闡述瞭耗散結構 (Dissipative Structures) 理論，解釋瞭遠離熱力學平衡的開放係統如何通過與環境的物質和能量交換而産生宏觀有序性（如貝納爾對流）。討論瞭對稱性破缺 (Symmetry Breaking) 在自組織過程中的核心作用，以及漲落-耗散定理 (Fluctuation-Dissipation Theorem) 在描述係統尺度之間的聯係。 適用讀者 本書麵嚮具有紮實的微積分、綫性代數和常微分方程基礎的研究生和高年級本科生。它也是物理學、工程學、生物數學、金融數學及復雜性科學領域研究人員的理想參考書，為理解和建模非綫性、不可預測的自然及人工現象提供瞭必要的理論深度。

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评分☆☆☆☆☆

這本書不是textbook，因為寫得並不係統；也不是monograph, 書中絕大多數結果已經發錶；也不是對變分法的survey。但適閤作為變分課程的擴充，涵蓋的方法很廣，尤其對於處理非綫性PDE很有用。書不厚，因此證明較簡略，中間有不少gap，要瞭解細節的話需要讀作者給齣的references。最後一節很適閤作為瞭解harmonic maps的入門。

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