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出版者:McGraw-Hill/TAB Electronics

作者:Stan Gibilisco

出品人:

页数:608

译者:

出版时间:2009-10-23

价格:USD 28.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780071627023

丛书系列:

图书标签:

• Pre-Calculus
• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 解析几何
• 代数
• 学习指南
• 教材

深入探索微积分的基石：预备微积分的全面指南 本书旨在为渴望在高等数学领域取得成功的学生提供一个坚实而全面的基础。我们深知，微积分（Calculus）是通往物理学、工程学、经济学乃至现代科学核心概念的必经之路，而扎实的预备知识是攀登这座高峰的关键。因此，《深入探索微积分的基石》完全侧重于构建和强化学生在进入微积分学习前所必需的代数、函数、三角学和几何学的核心技能与理论理解。 本书的构建哲学建立在“理解先于记忆”的原则之上。我们不假设读者对所有概念都已了如指掌，而是通过循序渐进、逻辑严密的结构，引导读者系统地掌握每一个支撑微积分的知识点。 第一部分：代数与函数——微积分的语言 本部分是全书的基石，旨在确保读者在处理复杂的数学表达式时，能够自信、准确地进行操作。 第一章：复习与深化基础代数 本章将系统回顾并深化对实数、复数系统的理解，特别强调运算的顺序（PEMDAS/BODMAS）在复杂表达式中的精确应用。我们深入探讨因式分解（包括高阶多项式、特殊公式如立方和/差）、有理表达式的化简与运算，以及处理根式和分数指数的技巧。重点强调在微积分中经常遇到的“差异商”形式的代数重构能力。 第二章：函数的核心概念 函数是描述变化关系的基本工具。本章详细阐述了函数的定义、域（Domain）和值域（Range）的确定。我们深入研究了函数的表示法（解析式、表格、图象）及其相互转换。关键内容包括：复合函数（Composition of Functions）的计算与意义，反函数（Inverse Functions）的存在条件、求法及其性质——这是微积分中“反向思维”的先驱。此外，我们还探讨了函数的变换（平移、拉伸、反射）如何影响图象和代数表达式。 第三章：一次函数与二次函数 本章将线性关系和抛物线关系作为具体案例，来理解函数的一般性质。线性函数部分，我们将侧重于斜率的几何意义和变化率的初步概念。二次函数部分，我们将花费大量篇幅讲解配方法（Completing the Square）的技巧，如何从标准形式切换到顶点形式，并从中解读函数的最大值或最小值，这直接为后续优化问题奠定了基础。 第二部分：超越线性——多项式、有理函数与指数对数 随着问题的复杂化，我们需要更强大的函数模型来描述自然界和工程中的现象。 第四章：高阶多项式函数 本章深入研究了三次及更高次多项式函数的行为。我们引入了余式定理（Remainder Theorem）和因子定理（Factor Theorem），并详细演示了综合除法（Synthetic Division）的应用，这是高效求解多项式方程的关键工具。我们探索了多项式的根的性质，包括实根与复根的关系，以及图象的端点行为（End Behavior）——这直接预示了微积分中极限的概念。 第五章：有理函数及其分析 有理函数（两个多项式的比值）的分析是本章的重点。我们详细讲解了如何定位垂直渐近线（Vertical Asymptotes）、水平渐近线（Horizontal Asymptotes）和斜渐近线（Slant Asymptotes）。理解这些渐近线对于精确描绘函数在特定区域的行为至关重要。此外，我们还讲解了有理函数的除法及其在简化复杂表达式中的应用。 第六章：指数与对数函数 本章关注描述增长和衰减的强大工具。我们首先确立了指数函数的定义、性质及其在复利、人口增长等实际问题中的应用。随后，我们引入了自然底数 $e$ 的重要性，将其作为连续变化的基准。对数函数作为指数函数的逆运算，其换底公式、运算性质的推导和应用将被详尽阐述。解指数和对数方程的能力，是处理微分方程的先决条件。 第三部分：三角学——周期性现象的数学语言 微积分中对周期性现象（如振动、波浪）的建模严重依赖三角函数。本部分旨在建立一个无懈可击的三角学基础。 第七章：直角三角形与三角函数的定义 本章从基本的SOH CAH TOA规则入手，定义了六个基本的三角函数。我们随后扩展到任意角上的三角函数定义，引入了单位圆（Unit Circle）的概念，并强调了周期性、奇偶性等基本性质。通过大量的实例，确保读者能够熟练地在不同象限和角度间进行相互转换。 第八章：三角恒等式与方程求解 这是本部分的核心挑战。我们将系统推导和应用毕达哥拉斯恒等式、和角与差角公式、倍角公式和半角公式。对这些恒等式的掌握程度，直接决定了读者能否在微积分中简化复杂的三角导数和积分表达式。最后，本章详细讲解了如何利用这些恒等式来求解复杂的三角方程。 第九章：三角函数的图象与变换 本章侧重于将代数知识应用于周期函数的视觉表示。我们详细分析了正弦函数和余弦函数的振幅、周期、相移和垂直平移如何影响其图象。我们还将讲解正切、余切、正割和余割函数的特性，特别是它们在周期性中断点处的行为，这与微积分中的间断点概念相呼应。 第四部分：解析几何与数列——空间的描述与离散的连接 本部分将代数和几何结合起来，并引入离散数学的元素，为微积分中的极限和级数打下基础。 第十章：解析几何回顾与深化 本章复习了直线、圆的方程，并扩展到圆锥曲线：抛物线、椭圆和双曲线。我们将重点放在如何识别标准形式、找到焦点、顶点和准线。尤其重要的是，我们将练习将一般形式的二次方程转化为标准形式，这是在微积分中识别这些曲线微小段落形状的关键技能。 第十一章：数列、级数与极限的预备知识 虽然严格的极限理论属于微积分的范畴，但本章将介绍其直观概念和必要的工具。我们详细讨论了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。特别是等比级数（Geometric Series）的收敛性探讨，将为读者理解微积分中的泰勒级数和傅里叶级数提供必要的直觉。我们通过图表和数列的趋势分析，初步感受函数值趋近于某个特定值的过程。 通过对以上四个部分中每一个知识点的深入、细致的讲解和大量高质量的练习，本书确保读者在进入微积分课程之前，已经具备了处理复杂函数关系、进行精确代数操作以及理解周期现象建模的全部能力。本书的所有内容都严格围绕“预备”这一目标展开，不涉及微分、积分的正式定义、导数规则或积分技术。

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